1
Bài 1: (3.0 điểm)
1. Giải phơng trình:
2
2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x)+ + = +
(1)
2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
1 1 1 1
tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6
+ + =

Chứng minh tam giác ABC đu.
Bài 2: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di
động sao cho
1 1 1
AM AN l
+ =
(không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua
một điểm cố đnh
Bài 3: (3.0 điểm)
1.Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau:
6 3 2 2 2 2 3
15 3 ( 5)x z x z x y z y
+ = +

2. Chứng minh rằng:
2009 2007
2007 2009+

+
ù
ợ
trong đó -1 <a < 0
1. Chứng minh rằng: - 1 < U
n
< 0 với
n" ẻ Ơ
và (U
n
) là một dãy số giảm.
2. Tìm Lim U
n
Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau:

3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
9
2 2
a b c a b b c c a
abc
c ab a bc b ac
+ + + + +
+ + +
+ + +
Bài 6: (3.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai điểm di động
E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.
1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định
2. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất.

3 6


+ =
ữ ữ

0.5

1 cos 2x 3cos x
3 6


+ =
ữ ữ


2
2 cos x 3 cos x
6 6


=
ữ ữ


3
cos x 0 v cos x (loaùi)
6 6 2



1 1 1
1
tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB
+ + =
(1)
Đặt
1 1 1
x ,y ,z
tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB
= = =
thì từ (1) ta có: x + y + z = 1 (2)
Mặt khác:
3 3
3 3
3 3 2 2
1
1 x x
tg B.tg C
1
tg B.tg C tg B.tg C 1 x y z
1
tgB.tgC
= = =
+

0.5
Tơng tự:
3
3 3 2 2
1 y


do(2)
1 1 1 1
P (x y z) (x y z) P
6 6 2 6
+ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x y z
3
= = =
Khi đó tgA = tgB = tgC hay ABC đều (đpcm).
3.0
Bài 2:
2
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy
điểm N di động sao cho
1 1 1
AM AN l
+ =
(không đổi).Chứng minh rằng đờng
thẳng MN đi qua một điểm cố định
0.5
0.5
Kẻ đờng phân giác trong của góc BAC là At. Do A,B, C cố định => At cố định.
Gọi I là giao điểm của At với MN.
Ta có: S

AMN
= S

Vậy đờng thẳng MN qua 1 điểm cố định.
3.0
Bài 3:
1.5
Bài 3.1.
Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau:
6 3 2 2 2 2 3
15 3 ( 5)x z x z x y z y
+ = +
0.5
0.5
áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc
Dấu xảy ra
0.5
Từ phơng trình:
( phơng trình ớc số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đ áp số : nghiệm phơng trình là
1.5
Bài 3.2. Chứng minh rằng:
2009 2007
2007 2009+
chia hết cho 8.
0.5
Ta c :
2009 2007 2009 2007
2007 2009 (2007 1) (2009 1)+ = + + -
0.5
(2007 1). (2009 1).M N= + + -
(M, N là các đa thức)
0.5

n
U
U
+
< <
+
và
2
1
1 1 0
1
n
n
U
U
+
- < - <
+
tức là: - 1 < U
n+1
< 0
Vì - 1 < U
n
< 0 nên U
n
+ 1 và
2
0
n
U >

1
n n
V U q
a
= + =
+
ta c : 0 < q < 1, V
n
> 0
và
1
.
n n
V qV n
+
Ê "
0.5
Ta có:
2 1
. ( 1).V V q a qÊ = +

2
3 2
1
. ( 1).
...................................
0 ( 1).
n
n
V V q a q

1
1 ( 1) (3)
1
n n
n
U U n
U
+
+ = + "
+
Vì U
n
là dãy giảm; -1 < U
n
< 0 với mọi n và U
1
= a nên:
1 0
n
U a- < Ê <
với
n"
từ đó suy ra:
2 2
n n
U a U a
Do đó:
2 2
1 1
1 1

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
9
2 2
a b c a b b c c a
abc
c ab a bc b ac
+ + + + +
+ + +
+ + +
0.5
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a
VT
bc ac ab
c ab a bc b ac
+ + +
= + + + + +
+ + +
0.5
Mặt khác:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
; ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a a bc c c ab b b ac

a bc b ac c ab
+ + +
+ + + + + -
+ + +
+ + - =
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
3.0
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai
điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.
1.5
6.1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định
0.5
4
A E B K

H

F
D C
0.5
Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF .
∆ DFC = ∆ DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90
0
; DC = BC )
⇒ CF = CK .
Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK .
0.5
Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c)

2
– S
AEF
)
S
AEF
≥ 0 ⇒ S
CEF
≤ 1/2 a
2
. Dấu “=“ xảy ra “⇔ S
AEF
= 0
0.5
⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D .
Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S
CEF
đạt giá trị lớn nhất .
3.0 Bài 7:
1.5
7.1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7
chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4
1.5
Kết quả: 14406
1.5
7.2.Có hai bóng điện với xác suất hỏng là 0,1 và 0,2 (việc chúng hỏng là
độc lập với nhau). Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu:
a. Chúng được mắc song song.
b. Chúng được mắc nối tiếp.
1.5