LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008
Bài 1. Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau:
2 3
3 2
29 (1)
log .log 1 (2)
x y
x y

+ =

=

(I)
Lời giải:
Dễ thấy, nếu (x, y) là các nghiệm của hệ (I) thì x > 1, y > 1 (3)
Đặt
3
log , 0x t t= >
(do (3)). Ki đó,
3
t
x =
và từ phương trình (PT) (2) có
1
2
t
y =
. Vì thế. từ PT (1)
ta có PT (ẩn t) sau:
1

y =
và
2
1
y
t
=
là các hàm nghịch biến và chỉ
nhận giá trị dương. Vì thế, trên khoảng đó,
1
2
8 .ln8
t
y
t
=
là hàm đồng biến. Suy ra, f’(t) là hàm số
đồng biến trên khoảng (0; +∞). Hơn nữa, do
256
1
' . '(1) 18(ln9 ln 2 )(ln 27 ln16) 0
2
f f
 
= − − <
 ÷
 
nên ∃t
0
∈ (0; 1) sao cho f’(t



Cách giải bài toán này tương tự như trên.
Trường hợp a = 17 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (
3
2 2; 9
)
(Trích từ báo Toán học và tuổi trẻ số 12/2008)