SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x
2
+(m
2
-m)x - m
3
+1= 0 có một
nghiệm nguyên .
b) Giải bất phương trình
Bài 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x-4sin
2
x+2(sin6x+sin4x)+1=0
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2

Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’
và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S
1
,S
2
và S
3
lần lượt là diện tích của các tam giác
MBC,MCA ,MAB và đặt .
Chứng minh rằng: (y+z-1) S
1
+(x+z-1)S
2
+(x+y-1)S
3
=0

Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {u
n
} , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : .
Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+u
2
+…+ u
n

2
)1(
0
+
≤≤
nn
a
.cot)
2
(cot2
cot)
2
(cot2
)cot2(cotcot
gB
BA
g
gB
BA
g
gBgAgA
−
+
=
+
+
+
z
MC
MC

n
n
n
n
u
u
u
u
u
])
2
1
(1[
4
1
1
−
−+≥
n
π
2
3
)(
1
)(
1
)(
1
226226226
≥

0.5
0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm) + Biến đổi:
(1)
+Vì
nên
+

+Vậy
0.5
0.5
0.5
0.5
2



−=−
=+
1
1
2
mx
mx



=−

≤≤
x
Bài 2: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm) + Biến đổi 4sin
2
5x+1-sin
2
x+4sin5xcosx=3sin
2
x
4sin
2
5x+4sin5xcosx+cos
2
x=3sin
2
x
(2sin5x+cosx)
2
=3sin
2
x
+

+
+Vậy nghiệm hoặc hoặc
Hoặc
0.5
0.5

2
2
2
1
2
21
i
n
n
x
xnxx
tgxtgxtgx
.
3
4
=
x
)cos.sin...cos2.sin2cos(sin2
2211 nn
xnxnxxxxS
+++=
)cos...cos2)(cossin...sin2(sin2
2
2
2
1
22
2
2
1

≤
n
n
xn
xn
x
x
x
x
cos
sin
...
cos2
sin2
cos
sin
2
2
1
1
===







≤≤
=

5sin
)
6
5
sin(5sin
)
6
sin(5sin
π
π
−=
−=
xx
xx
224
ππ
kx
+−=
336
7
ππ
kx
+=
224
5
ππ
kx
+−=
336
11

+
=
====
2
0
)1(
2
sin
...
21
π
α
α
α
nn
a
xxx
n
]
2
)1(
[2 a
nn
a
−
+





)(
)
)(
1
)(
1
)(
1
(
)(
)(
)
111
(
).
1
.
1
.
1
(
))()()()(
)(
1
)(
1
)(
1
(
3

⇒++=
++
=
++=
=+
+
++
+
++
+
≥
≥+++++
+
+
+
+
+
cbabaaccb
bacacbcba
baaccb
bacacbcba
baaccb
cba
baaccb
cba
bac
bac
acb
acb
cba

0.5
5
)
2
(cot2cotcot)
2
(cot4)cot(cot
22
BA
ggBgA
BA
ggBgA
+
=+⇔
+
=+
)cos(1
)sin(2
)cos()cos(
)sin(2
sinsin
)sin(
cotcot
BA
BA
BABA
BA
BA
BA
gBgA

++
≥+
321
SSSS
++=
'
'
'
'
1
1
MA
AA
s
s
AA
MA
s
s
=⇒=
xMA
MA
MA
MAAA
s
ss 1
''
''
1
1