PHÒNG GD&ĐT
YÊN PHONG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :14 tháng 04 năm 2014(đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

5− x

1− 2x



+
−
: 2
Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức: A = 
2 ÷
 1 − x x +1 1 − x  x −1
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để A = A .
Bài 2 (4 điểm): Giải các phương trình sau:
a. x3 – x2 – 12x = 0
1

b.

1

1

1

1

1

nửa chu vi .CMR : p − a + p − b + p − c ≥ 2( a + b + c )
b. (Phần dành cho thí sinh trường THCS Yên Phong)
a −b b−c c−d a −d
+
+
≥
Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng :
.
b+c c+d d +a a+b


PHÒNG GĐ & ĐT
YÊN PHONG

HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NGÀY THI 14/4/2014

MÔN THI: TOÁN 8
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang

0.5

Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0

0.5

+ ĐKXĐ: x ≠ ±1; x ≠

a
(2.0 điểm)

b
(1.5 điểm)

Ta có:
c

⇔

2
1
≥ 0 ⇔ 1− 2x > 0 ⇔ x

x – x – 12x = 0  x(x-4)(x+3) = 0

1.0

Vậy x = 4 hoặc x= -3 hoặc x=0

1.0

x − 214 x − 132 x − 54
+
+
=6
86
84
82
x − 214
x − 132
x − 54
⇔
(
− 1) + (
− 2) + (
− 3) = 0
86
84
82
x − 300 x − 300 x − 300
⇔
+
+


0.5

0.5
Chỉ ra ABED là hình bình hành .(AB//DE, AB=DE)
Chỉ ra ABED là hình thoi.
Chỉ ra ABED là hình vuông.

(AB=AD)

0.25
o

( góc BAD=90 )

+ Chỉ ra tam giác BEC vuông cân.

0.75

+ Từ đó suy ra AB=AD=a. DC=2a.

0.5

b
(2.0 điểm)

+ Diện tích của hình thang ABCD là S =

( AB + CD ) . AD



a
(2 điểm)

0.25
0.5
(4.0 điểm)

Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1
Do (x-y)2 ≥ 0 ; (y - 2)2 ≥ 0
Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 ≥ 1

0.75
0.5

Dấu ''='' xảy ra ⇔ x = y và y = 2

0.5

Vậy GTNN của A là 1 ⇔ x = y =2

0.25

3( x + 1)
3( x + 1)
3( x + 1)
3
= x 2 ( x + 1) + x + 1 = ( x 2 + 1)( x + 1) = 2
2

p−a
1
+
p −b
1
+
p−c

1
4
2
≥
=
p −b p −a + p −b c
1
4
2
≥
=
p −c p −b+ p −c a
1
4
2
≥
=
p−a p−c+ p−a b

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

0.5

(Trường
THCS
Nguyễn
Cao)

a +c b+d c+a d +b
+
+
+
−4
b+c c+d d +a a+b
1 
1 
 1
 1
= ( a + c) 
+
+
÷+ ( b + d ) 
÷− 4
b+c d +a
c+d a+b
4
4
≥ ( a + c) .
+(b+d).
−4=0
a+b+c+d
a+b+c+d


1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x + 2 dư 10, f(x) chia cho x − 2 dư 24, f(x)
chia cho x 2 − 4 được thương là −5x và còn dư.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
x2 – xy = 6x – 5y – 8
Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M = (1 +

1 2
1
) + ( 1 + )2
a
b

Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH
(H∈ BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D
cắt AC tại E .
1. Chứng minh rằng ∆ BEC đồng dạng ∆ ADC .Tính độ dài đoạn BE theo
m = AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng ∆ BHM đồng dạng ∆ BEC .
Tính số đo của góc AHM.
3. Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh :

GB
HD
=
BC AH + HC

…………….Hết………………




−2011
.
11

0,5điểm
0,25điểm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =

−2011
.
11

0,25điểm

b)

2điểm
Lập bảng xét dấu các nhị thức : x – 1 và x + 3
x
x–1
x+3

-3
–
–

0,25điểm


0,5 điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm


2)
Có ( x – y ) + ( y – z ) + ( z – x ) ≥ 0 với mọi x, y ,z
⇔ x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 ≥ 0
⇔ 2( x2 + y2 + z2) ≥ 2( xy + xz + yz )
⇔ x2 + y2 + z2 ≥ xy + xz +yz (đpcm)
2

2

2

Câu 2
1)

Giả sử f(x) chia cho x 2 − 4 được thương là −5x và còn dư là ax + b .
Khi đó: f ( x ) = ( x 2 − 4).(−5 x) + ax+b
Xét các giá trị riêng của x sao cho x2 – 4 = 0 ⇔ (x – 2 )( x + 2) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = - 2
Với x =2 ⇒ f(2) = 2a +b
Với x = - 2 ⇒ f(- 2) = - 2a + b
Theo đề bài, ta có:
7

 f (2) = 24

2

2điểm
0,5điểm
0,5 điểm
0,5điểm
0,5điểm

2

x2 − 6x + 8
( vì x =5 không là nghiệm của phương trình (2))
x −5
3
⇔ y=x–1+
. Vì x , y là nguyên nên x – 5 là ước của 3
x−5
⇔ y=

0,25điểm
2,5 điểm
0,5điểm
0,25điểm
0,25điểm

Hay x – 5 ∈ { - 1, 1, 3 , - 3}hay x ∈ { 4, 6 , 8 , 2}

0,5điểm

Khi x = 2 thì y = 0 . Khi x =4 thì y = 0

a
b
a
b
2
2
a b
b
a
M = 8 + ( 2 + 2 ) + 4( + ) ≥ 8+ 2 + 4 . 2 = 18
b a
a
b
2
a b
a
b2
( vì a > 0, b> 0 nên 2 + 2 ≥ 2 và + ≥ 2 )
b a
b
a
1
Dấu = xảy ra ⇔ a = b và a + b = 1 ⇔ a = b =
2
1
Vậy min M = 18 Khi a = b =
2

Câu 4


Góc C chung.

0,25điểm

CD CA
=
(Chứng minh trên)
CE CB
Do đó ∆ ADC : ∆ BEC (c.g.c).

0,25điểm
0

Suy ra : góc BEC = góc ADC = 135 ( vì tam giác AHD
vuông cân tại H theo giả thiết)
0,25điểm
0
Nên góc AEB = 45 .Do đó tam giác ABE vuông cân tại A . 0,25điểm
0,25điểm
Suy ra : BE = AB 2 = m 2


b)

2,5điểm
BM 1 BE 1 AD
= ×
= ×
(do ∆BEC : ∆ADC )
BC 2 BC 2 AC

0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
2,0điểm

c)
Tam giác ABE vuông cân tại A ,
nên tia AM còn là phân giác của góc BAC.

0,5điểm

GB AB
=
GC AC
AB ED
AH
HD
=
( ∆ABC ∼ ∆DEC ) =
( ED / / AH ) =
mà
AC DC
HC
HC

0,5điểm