GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Tuần:
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
I. Mục tiêu
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
II. Tiến trình lên lớp
A. ổn định.
B. Kiểm tra
C. Bài tập
Câu 1 : a) Tính A =
322
1
322
1

+
++
b) So sánh :
2008 2009
2009 2008
+
và
2008 2009+
Câu 2 : a) Giải phơng trình : x
2


=++
=+
10143
21
222
222
zyx
tyx
Câu 4 :
1
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I đờng
kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đờng
tròn (M
)(),( KNI

) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn .
a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn
nhất .
Câu 5 :
Chứng minh rằng nếu
ba
+
> 2 thì phơng trình sau có nghiệm
2ax
2

++

=
2
39
)3333(2
=

++

b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này?
Ta có
2008 2009
2009 2008
+
=
2009 1 2008 1
2009 2008
+
+
=
=
2009 1 2008 1
2009 2009 2008 2008
+ +
=
= (
2008 2009+
)+
1 1

+
>
2008 2009+

Câu 2 :
a) Gợi ý: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm.
x
2
+ x + 12
1
+
x
= 36
x(x+1)+ 12
1
+
x
= 36
KX : x
1


Đặt
1+x
= t
0

; phơng trình trở thành :
( t
2

2
+ 4x + 5 = (x+2)
2
+1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ;
từ đó ta cũng có y > 0 .
Bình phơng 2 vế y=
54
2
++
xx
ta đợc :
y
2
= (x+2)
2
+1
(y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1
Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta
thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có :




=
=++
12
12
xy
xy
; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1)

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :
0 <a<(b+c) ; suy ra a
2
< a(b+c) ; do đó a
2
- a(b+c) < 0
0 <b<(a+c) ; suy ra b
2
< b(a+c) ; do đó b
2
- b(a+c) < 0
0 <c<(a+b) ; suy ra c
2
< c(a+b) ; do đó c
2
- c(a+b) < 0
Từ đó suy ra

< 0 . Vậy phơng trình vô nghiệm .
b) Từ hệ





=++
=+
(**)10143
*)(21
222

Có 2 trờng hợp xảy ra :
+



=
=




=+
=
10
11
21
1
y
x
yx
yx
(loại vì không thoả mãn (**) )
+



=
=



A
Hải Đờng
a)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx .
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có
QM=QC=QN ;
Từ đó suy ra

MCN vuông .
Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ;
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC .
Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D.
b)
Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO=
2
AB
=a
S
DMCN
=DM.DN=
===
DCAB
DC
DBDA
DC
DB
DC
DA
DC

2
- 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b
2
< 8a(1-a) hay a(1-a) > 0
Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra
a
= a .
Từ (1) , ta lại có
b
< 2
)1(2 aa

, vậy
=+<+
)1(22 aaaba
=
1)12(1)1()1(222
2
+=++
aaaaaa
(2)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
(
[ ]
)1()12()1.1.2()12
22
aaaaaa
+++=+
= 3 (3)
Kết hợp (2) với (3) , ta có :






+

+
++
x
xxxxx
xx
xx
xx
xx
.
Bài 3.
Giải phơng trình: (2x + 1)
2
(x + 1)x = 105
III. Lu ý khi sử dụng giáo án.
- Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó.
- Những dạng mới cho học sinh ghi kiến thức áp dụng cho dạng đó
..
..
..
6
GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS
A
H¶i §êng

− − − −
b) Tính :
( ) ( )
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
Bài 3 :
Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b
Bài 4 :
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
A =
2 1 2 1x x x x
+ − + − −
Bài 5 :
7
GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS
A
H¶i §êng
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng :
4 S
ABC

≤
AM.BC + BM.CA + CM.AB
---*---
HƯỚNG DẪN
Bài 1 :
Gi¸o viªn: C¸c em mn lµm ®ỵc bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i vËn dơng tÝnh chÊt chia
hÕt mµ c¸c em ®· häc ë líp 6.
Hái: Em nµo lµm ®ỵc bµi nµy?
Häc sinh: Suy nghÜ lµm.
Ta có bài toán phụ sau :

n
2
chia 5 dư 1
⇒
n
2
– 1
M
5
Do đó : n
4
– 1
M
5
• Nếu n chia 5 dư
±
2
⇒
n
2
chia 5 dư 4
⇒
n
2
+ 1
M
5
Do đó : n
4
– 1

ĐK x x
x x x
x x
8
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng

( )
=

> >

= =

< < > >

= =

< <

1 1 : 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
x x

4 15 . 5 3 . 5 3
4 15 . 5 3 . 5 3
4 15 . 5 3 4 15 . 8 2 15
4 15 . 4 15 .2 4 15 .2 2
Baứi 3 :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 ; 0 . 2. 1
2 ; 0 . 2. 2
1 2
: . . 2. 2.
2 . 2.
.
Do a b neõn a b b
vaứ b a neõn a b a
Tửứ vaứ
Ta ủửụùc a b a b a b
a b a b
a b a b ẹPCM
> > >
> > >
+ > +
> +
> +
Baứi 4 :
Giáo viên hớng dẫn
Các em dùng bất đẳng thức sau để làm bài này.

= − + − + + − − − +
= − + + − −
= − + + − −
+ ≥ +
= − + + − − ≥ − + + − − = =
( ) ( )
1 1 1 1 0
2 1 2
1
2 1 2
x x
A x
x
Vậy Mim A khi x

− + − − ≥

= ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥


= ≤ ≤
Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh
rằng :
4.S
ABC

≤
AM . BC + BM . CA + CM . AB

AM . BC
Do đó ta có tổng diện tích :
2 ( S
ABM
+ S
ACM
)
≤
BC. AM
⇔
S
ABM
+ S
ACM

1
2
≤
BC. AM (*)
Tương tự ta chứng minh được :
⇔
S
ABM
+ S
CBM

1
2
≤
AC. BM (**)

≤
( BC. AM + AC. BM + AB. CM )
⇔
4 . S
ABC

≤
BC. AM + AC. BM + AB. CM ( ĐPCM)
D. Bµi tËp vỊ nhµ.
Bµi 1 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
Bµi 2.
Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n :
1
=+
ba
. Chøng minh r»ng: ab(a + b)
2
≤

1 -xy
xy
2
y
2
x
++
III. Lu ý khi sư dơng gi¸o ¸n.
11
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
- Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó.
- Những dạng mới cho học sinh ghi kiến thức áp dụng cho dạng đó
..
..
..
Tuần:
12
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
I. Mục tiêu
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
- Kiểm tra sự vận dụng của học sinh


2. Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn:
3 3 3
3 0x y z xyz+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức:
( ) ( ) ( )
27 6 2008
B x y y x z x
= + +
Bài 3:
1. Giải hệ phơng trình:

( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

=


= + +


2. Giải phơng trình:
( ) ( )
4 4


Hớng dẫn giải
14
GV: NguyÔn Quèc ViÖt -TRêng THCS
A
H¶i §êng
15
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
bài đáp án
Bài 1 Hỏi: Hãy nêu cách làm của bài tập này?
Với
0
x
> 0 ta có :
2
0 0
2
0 0
1 1
0 0ax bx c a b c
x x
+ + = + + =
Do đó nếu
1 2
;x x
là nghiệm dơng của PT:
2
. . 0a x b x c

dơng)
Vậy:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
Bài 2
1.
.( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
a b c b c a c a b
A
a b a c b c b c b a c a c a c b a b

= + +

=
( ) ( ) ( )
( )( )( )
a b c b c a c a b
a b a c b c


Ta có:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0
Vậy A = 0
2.Phân tích
3 3 3 2 2 2
3 ( )(x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + +
.
Do x; y; z dơng nên x + y + z > 0
2 2 2

= + +


Nếu hệ có nghiệm (x; y) từ (1)
2
2 3y x x =
thay vào (2)
( )
( )
2
2 2 2
1 2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x x
= + + +
(3)
Do 2x
2
- 4x + 3 > 0 và
( )
2
2 1 1x x
+

( )
( )
2
2 2
2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x
+ + +
Vậy từ (3)
( )













+


1a
2
1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi a = 3 + 2
2
c) Tìm các giá trị của a sao cho P < 0.
III. Lu ý khi sử dụng giáo án.
- Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó.

22
2
+
x
=
15
3
+
x
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y

ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A
OA, d
B
OB, d
C
OC, d
D
OD. Các cặp đờng thẳng d
A
và d
B
, d
B
và d
C
, d
C
và d
D
, d
D

Bài 1.2
Hỏi: Hãy nêu điêù kiện xác định của phơng trình?
Học sinh:
ĐK: x
3
+ 1 0 (*).
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=>
( )
22
2
+
x
=
)1)(1(5
2
++
xxx
Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này?
Học sinh:
Đặt
)1(
+
x
= u;
)1(
2
+
xx
= v (1) => u
2

Giả sử có x, y thoả mãn
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2
19
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
=> x 1; y 1
- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
5

y
) + (
1

x
-
1

y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=>(x
2
- y
2
)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +(x - y)/(
1

<=> x - y = 0 <=> x = y
(vì : (x+y)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) + 1/(
1

x
+
1

y
) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y
Bài 3
Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm.
Do phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x
1
và x
2

2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa
aa
a
+
+
+

Theo (1) thì 9a
2

Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ
giác ABCD.
Có KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC
= - BAO - BCO + - CBO - CDO
= 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 - =
Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng
4. 2
Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng?
Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng.
Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.
Học sinh lên bảng làm.
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng.
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, có:
NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2
Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL
Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l
Giáo viên chột lại: Hãy nêi những kiến thức đã dùng trong bài hôm nay?
D. Bài tập về nhà.
Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi.
Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+

xy
y
xz
x
yz
++
\III. Lu ý khi sử dụng giáo án.
- Giáo viên cho học sinh tự suy nghĩ cá nhân để làm các bài tập trong buổi học.
..
..
..
Tuần:
Ngày sọan: /2/09
Ngày dạy: /2/09
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
I. Mục tiêu
22
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS
A
Hải Đờng
- Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học.
- Phát triển t duy cho học sinh.
- Giáo viên đa một số công thức về đẳng thức, bất đẳng thức mà học sinh cha đợc
học.
II. Tiến trình lên lớp
A. ổn định.
B. Kiểm tra
C. Bài tập
Giáo viên treo bảng phụ có các bài tập sau

2( 2) 5 1x x+ = +
Bài 4 Chứng minh rằng x, y, z,
x
+
y
+
z
đều là các số hữu tỉ thì
x
,
y
,
z
cũng là các số hữu tỉ.
Bài 5
1/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó
có dạng
1.
y
b
+ =
x
a
2/Cho đờng thẳng (m 2)x + (m 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất.
Bài 6 Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a,
ã
AOH

2
2x + 1) + (y
2
+ xy + 1) + xy x y + 1 + 2008 = (x
1)
2
+ (y 1)
2
+ (x 1)(y 1) + 2008 = (x 1)
2
+
2008)1(
4
3
2
1
).1(2
4
)1(
2
2
++

+

y
y
x
y
=


+
1.y x
01
0
2
1
1
y
y
x

Bài 2
Giáo viên hớng dẫn học sinh công htức sau.
Để ý rằng:






+
=
+
=
+
1
11
)1(
)1(

11
kkkk
k

<
k








+
=








+

1
11
2
2

<
3
1
2
1
2
23
1
... ;








+
<
+
1
1
1
1
2
)1(
1
nnn
24
GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS

Giáo viên gợi ý học sinh làm bài. Dùng tính chất đối nghịch để làm bài này.
Ta chứng minh một vế không lớn hơn 4 một vế không nhỏ hơn 4
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 , vậy pt trình có nghiệm
khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4. Từ đó ta tìm đợc x = 3 .
b) Ta có
( )
( )
( )
11511215)2(2
2232
++=++++=+
xxxxxxxx

Hãy dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm !
Học sinh lên bảng làm.
Đặt
ax
=+
1
;
bxx
=+
1
2
với a, b
0


Đa pt về dạng
( )

+
y
=
z
- t

x + y + 2
xy
= z + t
2
2t
z


2
xy
= - x y + z + t
2
- 2t
z


4xy = (x + y + z t
2
)
2
+ 4t
2
+ 4t (x + y z
t

z
= 0


Q
Nếu t
2
x y + z = 0, t

0: thì 2
xy
= - 2t
z



xy
+ t
z
= 0





=
=
0
0
z

;0;0


x
,
y
,
z


Q
25