TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ba Đồn – Quảng Bình
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ...............................................................................................................................1
MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ............................................1
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN ..............................10
DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN ..........................................................................12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ......................................12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng ..............................................18
CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ............................................................................20
CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ......................22
CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ...................................................................................................23
CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ
năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. ..................................................................................................26
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN.......................................................................................31
BÀI TẬP .....................................................................................................................................................46
THẦY VIỆT
0905.193.688
0
A. 34 .
Lời giải
Chọn A
Tacó
2
2
2
5
5
5
5
2 4 f x dx 2 dx 4 f x dx 2x 2 4 f x dx 2. 5 2 4.10 34 .
Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục trên
5
2
và F x là nguyên hàm của f x , biết
tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
2
6
0
4
6
4
0
2
f x dx 10 và f x dx 6 . Tính
giá trị của biểu thức P f x dx f x dx .
C. P 8 .
B. P 16 .
A. P 4 .`
D. P 10 .
Lời giải
2
6
6
4
0
4
0
2
P f x dx f x dx f x dx f x dx 10 6 4 .
\0 , thỏa mãn f x
Ví dụ 4: Cho hàm số f x xác định trên
f 2 b . Tính f 1 f 2 .
A. f 1 f 2 a b .
1
, f 1 a và
x x5
3
2
2
1
f x dx 0 f x dx f x dx .
Suy ra f 1 f 2 f 2 f 1 f 1 f 2 f 2 f 1 a b .
Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ
năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.
f t dt x.cos x . Tính f 4 .
/>
Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục trên 0; và thỏa
x2
0
A. f 4 123 .
B. f 4
2
.
3
/
Mặt khác, từ gt: G x
x2
f t dt x.cos x
0
G ' x x.cos x ' x sin x cos x
THẦY VIỆT
0905.193.688
2
“Thành công là nói không với lười biếng”
Ba Đồn – Quảng Bình
2x. f x2 x sin x cos x (1)
Tính f 4 ứng với x 2
x
Đặt G x t.cos x t dt F x F 0
0
/
/
G ' x F x F 0 F ' x F ' 0 x cos x x 0 x ' 1 G ' 1
2
/>
x
Cách 2: Ta có G x t.cos x t dt . Đặt u t du dt , dv cos x t dx chọn
0
v sin x t
x
x
0
0
G x t.sin x t sin x t dt sin x t dt cos x t cos 0 cos x 1 cos x
x
0
1
.
4
1
f x 1dx .
0
D.
7
.
4
Lời giải
Chọn C
3
THẦY VIỆT
0905.193.688
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ba Đồn – Quảng Bình
Lấy đạo hàm theo hàm số y
3
g( x) (Trong đó g( x) là hàm số đã biết, n là số dương).
Ví dụ 8: Cho hàm số f x xác định trên
\1 thỏa mãn f x
f 2 2018 . Tính S f 3 f 1 .
A. S 1 .
B. S ln 2 .
C. S ln 4035 .
Lời giải
1
, f 0 2017 ,
x 1
D. S 4 .
0
0
1
1
Ta có:
3
3
f (3) f (2) f '( x)dx dx ln x 1 |3 ln 2 (2)
2
2
2 x 1
Lấy (1)+(2), ta được f (3) f (2) f (0) f ( 1) 0 S 1 .
Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) xác định trên
2
1
3
\ thỏa mãn f x
, f 0 1 và f 2 .
3x 1
3
3
Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
A. 3 5ln 2 .
B. 2 5ln 2 .
C. 4 5ln 2 .
dx=
Cách 1: Từ f x
.
3x 1
3x 1
ln 3x 1 C khi x 1 ;
3
1
1
f 0 1
ln 3x 1 1 khi x ;
3
0 C1 1
C 1
f x
Ta có: 2
.
Cách 2: Ta có
f 3
f 1 f x
0
1
0
f x dx
1
3
3
3
3
0
2
Lấy 2 1 , ta được: f 3 f 1 f 0 f ln 32 f 1 f 3 3 5ln 2 .
3
Ví dụ 10: Cho hàm số f x xác định trên
1
2
\ thỏa mãn f x
và f 0 1 . Giá trị
2x 1
2
/>
của biểu thức f 1 f 3 bằng
A. 4 ln15 .
B. 3 ln15 .
C. 2 ln15 .
D. ln15 .
Lời giải
Chọn C
1
2. d 2 x 1
2
Ta có f x f x dx
dx 2
ln 2x 1 c .
0905.193.688
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ba Đồn – Quảng Bình
Chọn C
1
2
Cách 1: • Trên khoảng ; : f ( x)
dx ln(2 x 1) C1 .
2x 1
2
Lại có f (1) 2 C1 2.
1
2
• Trên khoảng ; : f ( x)
dx ln(1 2 x) C2 .
2
2x 1
Ta có:
3
3
f (3) f (1) f '( x)dx 2dx ln 2 x 1 |3 ln 5 (2)
1
1
1 2x 1
Lấy (2)-(1), ta được f (3) f (1) f (0) f ( 1) ln15 f ( 1) f (3) 3 ln15 .
Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) xác định trên
1
3
\ thỏa mãn f x
, f 0 1 và
3x 1
3
2
f 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 3 bằng
3
B. 2 5ln 2 .
C. 4 5ln 2 .
/>
A. 3 5ln 2 .
1
f 0 1
ln 3x 1 1 khi x ;
3
0 C1 1
C 1
f x
Ta có: 2
.
1
0
C
2
C
2
1
f
Cách 2: Ta có
f 3
f 1 f x
0
1
0
f x dx
1
3
3
3
3
0
0
2
Lấy 2 1 , ta được: f 3 f 1 f 0 f ln 32 f 1 f 3 3 5ln 2 .
3
Ví dụ 13: Cho hàm số f x xác định trên
\2; 2 và thỏa mãn f x
f 0 1 và f 3 2 . Tính giá trị biểu thức P f 4 f 1 f 4 .
A. P 3 ln
3
.
25
B. P 3 ln 3 .
5
C. P 2 ln .
3
Lời giải
4
; f 3 0 ;
x 4
2
5
D. P 2 ln .
3
x2
C3 khi x 2;
x2
/>
f 3 0
ln 5 C1 0
C1 ln 5
Ta có f 0 1 0 C2 1
C2 1
1
C 2 ln 5
3
f 2 2
ln C3 2
5
ln
f x ln
ln
0905.193.688
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ba Đồn – Quảng Bình
Ví dụ 13: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn
1;1 , thỏa mãn
f x 0, x
và f ' x 2 f x 0 . Biết f 1 1 , tính f 1 .
A. f 1 e 2 .
C. f 1 e 4 .
B. f 1 e 3 .
D. f 1 3 .
Lời giải
Chọn C
f ' x
f ' x 2 f x 0
ln
1
1
1
1
4
e 4 f 1 f 1 .e 4 e 4 .
Ví dụ 15: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f x 2x 3 f 2 x và
1
a
f 0 . Biết rằng tổng f 1 f 2 f 3 ... f 2017 f 2018 với
2
b
a
a , b và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
b
A.
a
1 .
dx 2 x 3 dx
x
/>
Chọn D
2x 3
1
x 2 3x C .
f x
1
Vì f 0 C 2 .
2
Vậy f x
1
x 1 x 2
1
1
.
A.
1011
.
2
B.
1009
.
2
1
g x dx .
0
C.
2019
.
2
D. 505 .
Lời giải
Chọn A
g x
t
0
t
2018 x 0
g t 1 2018t (do g 0 1 )
g t 1009t 1
1
/>
0
1
1009 2
1011
.
2
Lấy nguyên hàm hai vế
Do f 0 9 nên C
f x 1
2
f x x
2
1
.
9
f x 1
1
1
x
dx dx
C .
9
f x x 9
f ' x x
2
0905.193.688
TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ba Đồn – Quảng Bình
Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh
phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng.
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
và F x là nguyên hàm của f x , biết
Ví dụ 18: Cho hàm số f x liên tục trên
9
f x dx 9
0
và F 0 3 . Tính F 9 .
C. F 9 12 .
B. F 9 6 .
A. F 9 6 .
D. F 9 12 .
Chọn B
2
2
2
0
0
0
Ta có J 4 f x 3 dx 4 f x dx 3 dx 4.3 3x 0 6 .
f x dx 10 và
2
4
4
2
2
g x dx 5 . Tính I 3 f x 5g x dx
Ví dụ 21: Cho
5
2
2
5
f x dx 10 . Kết quả 2 4 f x dx bằng:
D. 32 .
C. 40 .
B. 36 .
A. 34 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
5
0
2
10
0
6
6
f x dx 3 . Tính
2
P f x dx f x dx .
D. P 10 .
C. P 4 .
B. P 4 .
A. P 7 .
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2
0
0
0 g x . f x dx 2 , g x . f x dx 3 . Tính tích phân I f x .g x dx .
/>
C. I 5 .
Lời giải
B. I 6 .
A. I 1 .
D. I 1 .
Chọn C
2
2
0
7
C.
6
.
7
2
f x dx bằng
1
D.
16
.
7
Lời giải
Chọn B
5
a 7
3a 2b 1
Đặt a f x dx , b f x dx , ta có hệ phương trình
2
a
1
DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại
b
Cho u '( x). f u( x) .dx , tính
b
b
b
a
a
a
f ( x).dx . Hoặc cho f ( x).dx , tính u '( x). f u( x).dx .
a
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t u( x) và lưu ý cho học sinh tích phân
của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.
4
0
ta có
1
Đặt 2x t dx dt . Khi x 0 thì t 0 ; khi x 2 thì t 4 .
2
2
Do đó
f 2 x dx
0
6
Ví dụ 26: Nếu
4
4
1
1
1
f 3x dx
0
2
Ví dụ 27: Cho
1
6
1
1
f t dt .12 4 .
30
3
5
f x 2 1 xdx 2 . Khi đó I f x dx bằng:
A. 2 .
f x2 1 xdx
1
5
5
2
1
f t dt f t dt 2 f x 2 1 xdx 4 .
22
2
1
5
5
2
2
5
2
dt
9x
Ta có f 1 3x 9 dx f 1 3x dx 9dx f t
3
0
/>
Tính tích phân
5
0
0
2
0
1
1
1
1
2
0
0
x
f x dx 10 . Tính f 2 dx .
x
f dx 20 .
2
2
C.
0
x
f dx 10 .
2
2
D.
x
3
0
f
2
x 1 dx 8 . Tích phân I xf x dx
1
bằng:
A. I 16 .
13
B. I 2 .
C. I 8 .
D. I 4
THẦY VIỆT
0905.193.688
2
Khi đó I 2tf t dt 8 tf t dt 4 . Vậy I xf x dx 4 .
2
4
1
1
Ví dụ 31: Cho f x dx 2 . Tính I
f
x dx bằng
x
D. I
C. I 4 .
B. I 2 .
A. I 1 .
1
.
2
thỏa mãn
f
x dx 6 và
x
1
/>
Ví dụ 32: Cho hàm số f x liên tục trên
16
2
f sin x cos xdx 3 .
0
4
Tính tích phân I f x dx .
0
C. I 9 .
4
1
1
Đổi cận: x 1 t 1 ; x 16 t 4 nên I 2 f t dt 6 f t dt
6
3.
2
2
J f sin x cos xdx 3 , đặt sin x u cos xdx du
0
THẦY VIỆT
0905.193.688
14
“Thành công là nói không với lười biếng”
Ba Đồn – Quảng Bình
Đổi cận: x 0 u 0 ; x
2
0
0
f 2x dx 2 và f 6x dx 14 . Tính
2
f 5 x 2 dx .
2
D. 36 .
C. 34 .
B. 32 .
A. 30 .
Lời giải
Chọn B
1
+ Xét
f 2x dx 2 . Đặt u 2x du 2dx ; x 0 u 0 ; x 1 u 2 .
0
0
0
2
+ Xét
f 5 x 2 dx
2
* Tính I1
0
2
2
t
d
t
84 4 16 .
0
5 12
5 0
5
2
* Tính I1 f 5 x 2 dx .
0
Đặt t 5 x 2 .Khi 0 x 2 , t 5x 2 dt 5dx ; x 2 t 12 ; x 0 t 2 .
15
THẦY VIỆT
Hoặc:
Do
f 5 x 2
hàm
2
0
2
2
là
hàm
số
chẵn
nên
Lời giải
Chọn B
Đặt t 3x2 1 dt 6xdx . Đổi cận x 0 t 1 , x 2 t 11
2
2
2
0
0
I x 2 f 3x 2 1 dx 2 xdx xf 3x 2 1 dx 4
0
Ví dụ 35: Cho hàm số y f x liên tục trên
1
3
Tính I f x dx .
1
A. I
5
.
2
B. I
7
.
2
C. I
9
.
2
D. I
11
.
2
Ba Đồn – Quảng Bình
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho hàm số f x liên tục trên a; b và thỏa mãn điều kiện
b
f a b x f x , x a; b . Khi đó
xf x dx
a
ab
f x dx
2 a
b
Chứng minh:
Đặt t a b x dx dt , với x a; b . Đổi cận: khi x a t b ; khi x b t b
Ta có
b
b
a
b
a
a
b
2 xf x dx a b f x dx
xf x dx
a
ab
f x dx .
2 a
b
Áp dụng tính chất trên với a 1 , b 3 .
f x liên tục trên a; b và thỏa mãn f 1 3 x f x .
3
Khi đó xf x dx
/>
1
1 3
1
1
xf x dx xf 4 x dx 4 t f t dt 4 f t dt t. f t dt
3
3
1
1
5 4 f t dt 5 f t dt
5
.
2
Ví dụ 37: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 3 thỏa mãn f 4 x f x , x 1; 3 và
3
3
xf x dx 2 . Giá trị
f x dx bằng
A. 2 .
3
3
1
1
1
Suy ra I 4 t f (4 t )dt 4 t f (t )dt , hay I 4 x f ( x)dx (2).
3
3
1
1
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2 I 4 f ( x)dx f ( x)dx
I
1 .
2
b
Tính
u b a
b
b
b
a
a
f a b x dx f x dx
b
1
f x dx
g x dx .
A B C a
b
1
f x dx
g x dx .
A B C a
a
B. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi f x 6 x 2 f x 3
6
3x 1
f x 2.3x 2 . f x 3
6
3x 1
với A 1 ,
B 2 .
1
Áp dụng công thức ta có:
1
f x dx 2 3x 2 f x 3 dx 6
6
3x 1
0
0
1
3x 1
0
dx
Đặt u x3 du 3x2dx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1 .
1
Khi đó
0
1
dx f x dx 6
1
0
0
1
3x 1
dx 4 .
Ví dụ 39: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0; 2 và thỏa mãn điều kiện f x f 2 x 2x . Tính
2
giá trị của tích phân I f x dx .
0
4
C. I .
3
Lời giải
1
/>
1
x2
2
x
dx
I f x dx
2.
1 1 0
2 0
0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
2
2
2
0
0
0
Từ f x f 2 x 2x f x dx f 2 x dx 2xdx 4 (*)
Đặt u 2 x du dx ; Với x 0 u 2 và x 2 u 0 .
2
2
3
Ví dụ 40: Xét hàm số f x liên tục trên
1; 2 và thỏa mãn f x 2xf x 2 3 f 1 x 4x .
Tính giá trị của tích phân I
2
f x dx .
1
A. I 5 .
B. I
5
.
2
C. I 3 .
D. I 15 .
Lời giải
19
THẦY VIỆT
2
2
1
x4
3
I f x
4
x
dx
1 1 3 1
5
1
3.
1
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ f x 2xf x2 2 3 f 1 x 4x3 .
2
2
2
2x. f x 2 dx
1
2
f u du
1
2
f x dx 1
1
+) Đặt t 1 x dt dx ; Với x 1 t 2 và x 2 t 1 .
2
2
1
1
1
a
f x dx 0
a
0
Ví dụ 41: Cho hàm số
y f x
1
f x dx 2
2
và
4
2
f 2x dx 4
4; 4
là hàm lẻ và liên tục trên
biết
1 2
f ax b dx f ax dx
a x1
Cách1: Sử dụng công thức:
x1
a; a
f x
với
là hàm số lẻ trên đoạn
.
Áp dụng, ta có:
2
4 f 2 x dx
2
2
và tính chất
0
Suy ra: 0 f x dx
4
0 8
4
2
2
4
f x dx f x dx f x dx
4
2
0
f x dx f x dx I 0 8 0 2 I I 6 .
2
0
0
0
f x dx f t dt f t dt f t dt 2 f x dx 2
Do hàm số
Do đó
y f x
là hàm số lẻ nên
2
2
2
1
1
1
f 2x f 2x
Do
4
4
4
1
f t dt 4 f t dt 8 f x dx 8
2 2
2
2
.
4
2
4
0
0
2
I f x dx f x dx f x dx
Ví dụ 42: Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên
Chọn D
1
Ta có
1 2
1
21
f 2x
x
dx 8
2
f x
2
1 2
x
dx 16 .
2
1 2
x
2
dx
x
1 2
2
x
dx
2
2
x
dx
2
f x
1 e dx bằng
2 f t
2
f x dx 2 f x dx . Vậy
Ví dụ 43: Cho f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn
1; 1 và
I
f t
2
1
1
x
1
A. I 1 .
D. I 4 .
dx
x
0
f x
1 ex
dx I1 I 2
f x
dx. Đặt x t dx dt , đổi cận: x 0 t 0 , x 1 t 1
1 ex
1
0
Xét I1
0
I1
1
f x
1 e t
1
dt
et . f x
dt
0
f t
1 et
1 et
1
dt
ex . f x
1 ex
0
dx .
1 e . f t dt f t dt 1 f t dt 1 .
dx
2
1 e
1
t
1
x b g y b y
Ví dụ 44: Cho hàm số f x liên tục trên
thỏa mãn f 3 x f x x , x
. Tính
I f x dx
2
0
THẦY VIỆT
0905.193.688
22
/>
Suy ra:
1
et . f t
“Thành công là nói không với lười biếng”
3
x 0 y y 0 y 0
3
x 2 y y 2 y 1
1
1
5
f x dx y 3y 2 1 dy 3y 3 y dy .
0
0
4
Đổi
I
2
0
y f x x y 3 y dx 3y 2 1 dy
Đặt
cận
.
2
C. I
5
.
12
D. I
5
.
3
Lời giải
Chọn B
Đặt y f x x 2 y 3 3y 2 6 y dx 6 y 2 y 1 dy .
/>
Đổi cận: với x 0 2 y 3 3y 2 6 y 0 y 0 và x 5 2 y 3 3y 2 6 y 5 y 1 .
1
1
2
A. I
7
.
4
B. I
7
.
2
C. I
7
.
3
D. I
5
.
4
Lời giải
Chọn A
Ba Đồn – Quảng Bình
b
Bài toán: Cho f x . f a b x k 2 , khi đó I
a
dx
ba
2k
k f x
Chứng minh:
b
Khi đó I
a
b
2I
a
b
dx
k f x a
A.
3
.
2
B.
1
.
2
C. 1 .
dt dx
Đặt t a b x
k 2 và x a t b ; x b t a .
f
x
f t
D. 2 .
Lời giải
1
f x dx
dt
dt
dx
Khi đó I
1 1 f 1 t
0 1 f 1 t
0 1 f 1 x
0 1 f x
0
1
1
f x dx 1 1 f x
1
dx
d
x
0 1 f x 0 1 f x 0 1 f (t)
0 dx 1 hay 2I 1 . Vậy I 2 .
1
Mặt khác
Copyright: Tài liệu đại học ©