Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
ph n I: m uầ ởđầ
I/ t v n .đặ ấ đề
Trong thi t t nghi p THPT , i h c , Cao ng, THCN c a các n m b iđề ố ệ Đạ ọ đẳ ủ ă à
toán tích phân h u nh không th thi u nh ng i v i h c sinh THPT b i toánầ ư ể ế ư đố ớ ọ à
tích phân l m t trong nh ng b i toán khó vì nó c n n s áp d ng linh ho tà ộ ữ à ầ đế ự ụ ạ
c a nh ngh a, các tính ch t , các ph ng pháp tính c a tích phân. Trong th củ đị ĩ ấ ươ ủ ự
t a s h c sinh tính tích phân m t cách h t s c máy móc ó l : tìm m tế đ ố ọ ộ ế ứ đ à ộ
nguyên h m c a h m s c n tính tích phân r i dùng nh ngh a c a tích phânà ủ à ố ầ ồ đị ĩ ủ
ho c ph ng pháp i bi n s , ph ng pháp tính tích phân t ng ph n m r t ítặ ươ đổ ế ố ươ ừ ầ à ấ
h c sinh ý n nguyên h m c a h m s tìm c có ph i l nguyên h m c aọ để đế à ủ à ố đượ ả à à ủ
h m s ó trên o n l y tích phân hay không? phép t bi n m i trong ph ngà ố đ đ ạ ấ đặ ế ớ ươ
pháp i bi n s có ngh a không? Phép bi n i h m s có t ng ng không?đổ ế ố ĩ ế đổ à ố ươ đươ
vì th trong quá trình tính tích phân h c sinh th ng m c ph i nh ng sai l mế ọ ườ ắ ả ữ ầ
d n n l i gi i sai qua th c t gi ng d y nhi u n m tôi nh n th y r t rõ y uẫ đế ờ ả ự ế ả ạ ề ă ậ ấ ấ ế
i m n y c a h c sinh vì v y tôi m nh d n xu t sáng ki n : “ M t s sai l mđể à ủ ọ ậ ạ ạ đề ấ ế ộ ố ầ
th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân”ườ ặ ủ ọ
Nh m giúp h c sinh kh c ph c c nh ng y u i m nêu trên t ó tằ ọ ắ ụ đượ ữ ế để ừ đ đạ
c k t qu cao khi gi i b i toán tích phân nói riêng v t k t qu cao trongđượ ế ả ả à à đạ ế ả
quá trình h c t p nói chung.ọ ậ
II/Lí do ch n t i :ọ đề à
“ M t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân”ộ ố ầ ườ ặ ủ ọ
trong toán i S Gi i Tích 12 . Nó cho phép chúng ta ti p c n nhanh nh ng b iĐạ ố ả ế ậ ữ à
toán ph c t p, c th tính giá tr c a t ng d ng tích phân v có th nhìn th yứ ạ ụ ể ị ủ ừ ạ à ể ấ
nh ng sai l ch , m ta s d ng không úng ph ng pháp ữ ệ à ử ụ đ ươ …vv . Chính vì v yậ
tôi ch n t i : “ M t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân”ọ đề à ộ ố ầ ườ ặ ủ ọ
Nó th t s có ích trong khi tôi d y cho các em 12 b c v o m t b c h c cao ậ ự ạ để ướ à ộ ậ ọ
h n .V i h th ng b i t p ít nh th n y,nh ng tôi tin t ng r ng nó l ph n ơ ớ ệ ố à ậ ư ế à ư ưở ằ à ầ
không th thi u cho các em h c sinh v các b n ng nghi p tham kh o .Mong ể ế ọ à ạ đồ ệ ả
b n c, các ng nghi p có nhi u óng góp quý báu . Xin c m n !.ạ đọ đồ ệ ề đ ả ơ

M t s sai l m c a h c sinh khi tính tích phânộ ố ầ ủ ọ
GV : §Æng Ngäc Liªn
2
Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
B i t p minh ho :à ậ ạ
B i 1à : Tính tích phân: I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
* Sai l m th ng g p: I = ầ ườ ặ
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
=
∫
−
+
+
2

2;2−
nên không s d ng c công th c Newt n – leibnitz nh cáchử ụ đượ ứ ơ ư
gi i trên.ả
* L i gi i úngờ ả đ
H m s y = à ố
2
)1(
1
+x
không xác nh t i x= -1đị ạ
[ ]
2;2−∈
suy ra h m s không liênà ố
t c trên ụ
[ ]
2;2−
do ó tích phân trên không t n t i.đ ồ ạ
* Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ
Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
c n chú ý xem h m s y=f(x) có liên t c trên ầ à ố ụ
[ ]
ba;
không? n uế
có thì áp d ng ph ng pháp ã h c tính tích phân ã cho còn n u không thìụ ươ đ ọ để đ ế
k t lu n ngay tích phân n y không t n t i.ế ậ à ồ ạ

1
π
4/
dx
x
xex
x
∫
−
+−
1
1
3
23
.
GV : §Æng Ngäc Liªn
3
Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
B i 2à :Tính tích phân: I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
* Sai l m th ng g p: t t = tgầ ườ ặ Đặ
2
x
thì dx =

t
dt
=
∫
−
+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+t
+ c
⇒
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
1
2
2
+
−
x
tg
π

không có ngh a.ĩ
* L i gi i úng:ờ ả đ
I =
∫
+
π
0
sin1 x
dx
=
∫∫






−=






−






x
d
x
dx
= tg
2
44
=






−
−
ππ
tg
.
* Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ
i v i ph ng pháp i bi n s khi t t = u(x) thì u(x) ph i l m t h m s liênĐố ớ ươ đổ ế ố đặ ả à ộ à ố
t c v có o h m liên t c trên ụ à đạ à ụ
[ ]
ba;
.
*M t s b i t p t ng t :ộ ố à ậ ươ ự
Tính các tích phân sau:
1/
∫
π

dx =
( ) ( ) ( )
( )
4
2
9
2
1
2
3
333
4
0
4
0
2
4
0
2
−=−=
−
=−−=−
∫∫
x
xdxdxx
* Nguyên nhân sai l m:ầ
Phép bi n i ế đổ
( )
33
2

5
2
1
2
9
2
3
2
3
4
3
2
3
0
2
=+=
−
+
− xx
* Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ
( )( ) ( )
xfxf
n
n
=
2
2

( )
Nnn ∈≥ ,1

∫
+−
3
0
23
2 xxx
dx
3/ I =
∫






−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx
4/ I =
∫
−+
3

1
0
1
2
π
=−=+=
++
+
−
−
∫
arctgarctgxarctg
x
xd
* Nguyên nhân sai l m :ầ
H c sinh không h c khái ni m arctgx trong sách giáo khoa hi n th iọ ọ ệ ệ ờ
* L i gi i úng:ờ ả đ
t x+1 = tgt Đặ
( )
dtttgdx
2
1 +=⇒
v i x=-1 thì t = 0ớ
v i x = 0 thì t = ớ
4
π
Khi ó I = đ
( )
∫∫
===

x
2
1
1
ta dùng ph ng pháp i bi n s t t = tgx ho c t = cotgx ;ươ đổ ế ốđặ ặ

∫
−
b
a
dx
x
2
1
1
thì t x = sint ho c x = costđặ ặ
*M t s b i t p t ng tộ ố à ậ ươ ự:
1/ I =
∫
−
8
4
2
16
dx
x
x
2/ I =
dx
x

0
2
3
1
dx
x
x
*Suy lu n sai l m: t x= sint , dx = costdtậ ầ Đặ
∫ ∫
=
−
dt
t
t
dx
x
x
cos
sin
1
3
2
3
i c n: v i x = 0 thì t = 0Đổ ậ ớ
v i x= ớ
4
1
thì t = ?
* Nguyên nhân sai l m:ầ
Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ à ố ứ

4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
∫ ∫
−=−








−=








tdtt
* Chú ý i v i h c sinh: Khi g p tích phân c a h m s có ch a đố ớ ọ ặ ủ à ố ứ
2
1 x−
thì
th ng t x = sint ho c g p tích phân c a h m s có ch a 1+xườ đặ ặ ặ ủ à ố ứ
2
thì t x = tgtđặ
nh ng c n chú ý n c n c a tích phân ó n u c n l giá tr l ng giác c a gócư ầ đế ậ ủ đ ế ậ à ị ượ ủ
c bi t thì m i l m c theo ph ng pháp n y còn n u không thì ph i nghđặ ệ ớ à đượ ươ à ế ả ĩ
nph ng pháp khác.đế ươ
*M t s b i t p t ng t :ộ ố à ậ ươ ự
GV : §Æng Ngäc Liªn
7
Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
1/ tính I =
dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
2/tính I =
∫
+







−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x
x
x

dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=(ln
2+t
-ln
2−t
)
2
2
2
2
2
2
ln
−−
−
+

1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
l sai vì trong à
[ ]
1;1−
ch a x = 0 nênứ
không th chia c t c m u cho x = 0 cể ả ử ả ẫ đượ
* L i gi i úng: ờ ả đ
xét h m s F(x) = à ố
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx


1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx
ln
2
1
1
1
=
−
22
22

GV : §Æng Ngäc Liªn
9
Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
Sau khi th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p r t tích c c v h ng thú cự ệ ế ọ ọ ậ ấ ự à ứ đặ
bi t l khi gi i b i toán tích phân các em tính tích phân r t th n tr ng v hi uệ à ả à ấ ậ ọ à ể
b n ch t c a v n ch không tính r p khuôn m t cách máy móc nh tr c, óả ấ ủ ấ đề ứ ậ ộ ư ướ đ
l vi c th hi n vi c phát huy tính tích c c, ch ng, sáng t o c a h c sinh.à ệ ể ệ ệ ự ủđộ ạ ủ ọ
ph n III:k t lu n ki n nghầ ế ậ – ế ị
I/ k t lu n:ế ậ
Nghiên c u, phân tích m t s sai l m c a h c sinh khi tính tích phân cóứ ộ ố ầ ủ ọ
ý ngh a r t l n trong quá trình d y h c vì khi áp d ng sáng ki n n y s giúpĩ ấ ớ ạ ọ ụ ế à ẽ
h c sinh nhìn th y c nh ng i m y u v nh ng hi u bi t ch a th t th u áoọ ấ đượ ữ để ế à ữ ể ế ư ậ ấ đ
c a mình v v n n y t ó phát huy h c sinh t duy c l p, n ng l c suyủ ề ấ đề à ừđ ở ọ ư độ ậ ă ự
ngh tích c c ch ng c ng c trau r i thêm ki n th c v tính tích phân t óĩ ự ủ độ ủ ố ồ ế ứ ề ừđ
l m ch c ki n th c, t c k t qu cao trong quá trình h c t p v các kà ủđượ ế ứ đạ đượ ế ả ọ ậ à ỳ
thi tuy n sinh v o các tr ng i h c, cao ng , THCNể à ườ đạ ọ đẳ
II/ Ki n ngh :ế ị
Hi n nay nh tr ng ã có m t s sách tham kh o tuy nhiên ch a có m tệ à ườ đ ộ ố ả ư ộ
sách tham kh o n o vi t v sai l m c a h c sinh khi gi i toán. Vì v y nhả à ế ề ầ ủ ọ ả ậ à
tr ng c n quan tâm h n n a v vi c trang b thêm sách tham kh o lo i n y ườ ầ ơ ữ ề ệ ị ả ạ à để
h c sinh c tìm tòi v nh ng sai l m th ng m c khi gi i toán các em cóọ đượ ề ữ ầ ườ ắ ả để
th tránh c nh ng sai l m ó trong khi l m b i t p .ể đượ ữ ầ đ à à ậ
GV : §Æng Ngäc Liªn
10
Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum .
SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ”
t i li u tham kh oà ệ ả
1. Ki n th c c b n gi i tích 12ế ứ ơ ả ả ( Phan V n c- Quang Minh Nguy nă Đứ Đỗ – ễ
Thanh S n Lê V n Tr ng NXB H Qu c gia th nh ph HCM - 2002).ơ – ă ườ – Đ ố à ố