www.VIETMATHS.com

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
-Nội dung:
I-Đònh nghóa giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
-Đònh nghóa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D
nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) ≤ M với M là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = M
-Đònh nghóa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói N là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu
hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) ≥ với N là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = N
II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ
1) a2 ≥ 0 Tổng quát a2k ≥ 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
2) a2 ≤ 0 Tổng quát a2k ≤ 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
3) {a{ ≥ 0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
4) –{a{ ≤ a ≤ {a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
5) {a+b{ ≤ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab ≥ 0
6) a2+b2 ≥ 2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
a+b
≥ ab .Với a,b ≥ 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
7)
2
1 1
8) a ≥ b , ab > 0 => ≤ Đẳng thức xẩy ra khi a= b
a b
a b

Ta đưa ra một phản ví dụ:
1
1
Xét biểu thức A = 2
Với lập luận như trên: A = 2
“Phân thức tử thức có giá trò
x −4
x −4
không đổi nên A có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất”Nghóa là A có giá trò lớn nhất
<=> x2 – 4 có giá trò nhỏ nhất .Mà x 2 – 4 có giá trò nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 .Nên A có giá trò
1
1
lớn nhất là − <=> x =0 .Điều này không đúng .Vì − Không phải là giá trò lớn nhất của
4
4
1
1
biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A = > −
5
4
2
2
≥
Lời giải đúng: Ta có :x - 6x +17 = (x-3) +8 8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trò
1
dương .=> P > 0 ,do đó P có giá trò lớn nhất <=>
Có gia 1trò nhỏ nhất <=> x 2- 6x +17 có giá
P
trò nhỏ nhất.
VD2:

Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:
x z y
x y z
≥ 33 . . = 3 .
A= + +
z y x
y z x
2


www.VIETMATHS.com
x z y
x y z
Do đó min( + + ) = 3Khi và chỉ khi: = = ,tức là x = y = z
z y x
y z x
x z y
y x
 x y  y z y
+ + =  +  +  + −  .Ta đã có : + ≥ 2 (Do x,y>0)Nên để
Cách 2:Ta có
z y x
x y
 y x  z x x
x y z
y z y
chứng minh + + ≥ 3 Chỉ cần chứng minh : + − ≥ 1 (1)
y z x
z x x
2


x
+
x
+
−
=
x
+
A= x+ x = 


 − ≥−
4 4 
2
4
4

1
Vậy MinA = −
4
Phân tích sai lầm :
1
1
Sau khi chứng minh f(x) ≥ − ,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) = − .Xảy ra dấu bằng
4
4
1
khi và chỉ khi x = − ,vô lý .
2

x + y + z = 1
 x, y , z ≥ 0


 x, y, z ≥ 0
2

Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm :
1= x+y+z ≥ 3 xyz (1)
2= (x+y)+(y+z)+(z+x) ≥ 33 ( x + y )( y + z )( z + x) (2)
Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):
 2
2≥ 9 A ⇒ A ≤  
9

3

3

3

1
2
Max A =   ⇔ x = y = z =
3
3
VD3:Tìm giá trò nhỏ nhất của A=

( x + a )( x + b )
x

Min A = a + b ⇔ 
x ⇔ x = ab
 x > 0
VD4:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x2+3y2 ≤ 5
Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B ≤ 5

(

)

2

4


2

2

www.VIETMATHS.com

Xét A+B = 2x+3y +2x +3y
= 2(x2+x)+3(y2+y)

=2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4 ≥ −

5
(1)
4


2
2
2
Ta có : A2 = (2x+3y)2 = 2 . 2 x + 3. 3 y ≤  2 + 3   2 x + 3. y 



2
2
=(2+3)(2x +3y ) ≤ 5.5 = 25

(

A2 = 25 <=>

x 2

=

y 3

)

( ) ( ) (

⇔ x = y .Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5

2
3
x=y