Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

1 Rèn luyện tư duy hàm cho học sinh lớp 12 THPT thông qua bài
toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) I) Lý do chọn đề tài:

Từ trước đến nay, các cuốn sách dành cho học sinh THPT đã đề cập được khá nhiều
dạng loại bài tập để học sinh có thể tham khảo trong suốt quá trình học, qua đó được rèn
luyện phản xạ với các dạng bài khác nhau. Tuy nhiên, rất ít sách cho thấy được sự tập
trung của người viết vào một loại hình tư duy nhất định, hoặc khiến cho người đọc thấy
được cách suy nghĩ để đi đến lời giải một bài toán. Bởi vậy, có nhiều học sinh còn rất khó
khăn khi tự đọc một cuốn sách Toán. Khi phải đối mặt với những câu hỏi: “Tại sao người
ta lại có cách giải quyết này? Nếu giả thiết khác đi một chút thì có làm như thế được
không? ” thì họ lại thấy bế tắc, đôi khi lời giải như “ từ trên trời rơi xuống” khiến họ
cảm thấy khó chấp nhận. Vì thế, tôi muốn viết một chuyên đề nhỏ, chọn một trong những
loại hình tư duy thường gặp nhất, xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông làm
trung tâm, cùng với mảng kiến thức được coi là khó đối với học sinh THPT làm minh
họa, để cho người đọc thấy được cách suy nghĩ khi giải quyết các bài toán. Đó là tư duy
hàm và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Sau khi đưa
cho các học sinh khá (lớp 12) tự đọc chuyên đề này, tôi thấy các em đã có thể giải quyết
được khá tốt các bài toán trong mảng này, kể cả những câu hỏi khó nhất trong các đề thi
đại học những năm gần đây.

II) Cơ sở lý luận

Tư duy hàm là cách suy nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề dựa vào mối liên hệ

Bằng một hệ thống các bài tập đa dạng hướng đến phương pháp giải bằng hàm số, trên
nhiều mảng kiến thức ( như phương trình, bất đẳng thức và GTLN, GTNN, hình học,…)
hoặc ngay một mảng kiến thức ( như riêng bất đẳng thức, GTLN, GTNN,…) thôi cũng có
rất nhiều cách giải quyết chỉ bằng hàm số. Chính vì vậy, tư duy hàm luôn thường trực
trong đầu học sinh như một công cụ hữu ích và sẵn sàng nghĩ đến khi thoáng thấy tương
ứng
3) Hệ thống hóa và tổng kết cho học sinh những tri thức phương pháp có liên quan đến
tư duy hàm
Đưa ra các phương hướng suy nghĩ và xử lý khác nhau, thậm chí suy nghĩ vòng đi vòng
lại mới tìm được vấn đề, theo hướng tư duy hàm, tổng kết lại thành hệ thống để học sinh
luôn có thể nghiên cứu một cách linh hoạt
4) Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến và mức độ trực quan của đối
tượng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của học sinh
Có thể làm tăng dần mức độ phức tạp về tư duy theo hướng
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

3

Cấp 1. Những tình huống mà học sinh nhận biết được ngay tương ứng vì có sẵn
hàm số, và ngay cả việc nghiên cứu hàm số cũng rất dễ dàng.
Cấp 2. Làm tăng sự phức tạp của hàm số mà giữ nguyên mức độ nhận biết tương
ứng
Cấp 3. Làm tăng sự phức tạp trong nhận biết tương ứng dựa vào việc tăng số đại
lượng biến thiên
Cấp 4. Tiếp tục tăng sự phức tạp bằng việc sử dụng các tính chất khác một cách
linh hoạt
trong đó sự phát triển luôn có những tình huống quen thuộc rồi tiếp tục được tái hiện cho
tình huống mới
Làm việc với tư duy hàm đồng thời học sinh cũng được thực hiện các hoạt động phân
tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát, suy đoán, tưởng tượng, suy diễn. Tuy nhiên,


4

Ta có bảng biến thiên trên [0,4] của hàm số như sau:

x
0 -1 3 4
y’
+ 0 - 0 +
y
6
1 -23

-26
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta có
min
[0,4]
26y 
khi
3x 
, max
[0,4]
6y 
khi
1x 

Ở đây, hết sức lưu ý học sinh vẽ chính xác sự tương quan về giá trị ( 1 phải cao hơn -23)
để có nhận xét chính xác về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, thậm chí về số nghiệm của
phương trình y=m sau này
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:


Bảng biến thiên:
x

2/5


y’
+ 0 -
y

29 2

-2

Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

5

Ở đây, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
29
khi
2
5
x 

nhưng không có giá trị nhỏ nhất mặc dù ta thấy y=-2 có vẻ khả quan. Nguyên nhân là nếu

11
xy
A
yx



*******
1) Phát hiện tương ứng: Nhận thấy mỗi giá trị x tương ứng một và chỉ một giá trị y
và mỗi cặp giá trị (x, y) cho tương ứng với một giá trị A nên thực chất mỗi giá trị
x cho tương ứng một giá trị A, chính vì vậy ta có thể thấy A là một hàm của x.
Ngoài ra sự tương ứng còn thể hiện ở chỗ khi
0y 
biến đổi thì x biến đổi theo
nhưng chỉ nằm trong miền [0,1]
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

6

2) Thiết lập hàm:
Từ giả thiết được
1yx
. Do
,0xy
nên
01x
. Khi đó

1
()

4) Lợi dụng việc nghiên cứu ở trên để tìm GTLN, GTNN
Theo bảng ta thấy min
12
()
23
Af
và Max
(0) (1) 1A f f  

Chú ý: Trong bài toán trên, có hai vấn đề cần được nhấn mạnh
i) Cách sử dụng phép thế để quy về một biến, xem xét xem biến nào sẽ còn lại sau
phép thế
ii) Tìm hiểu các điều kiện cho biến còn lại nhờ vào các điều kiện của giả thiết
Tiếp theo là một số bài toán tương tự, có sự phân bậc dần dần
Ví dụ 2 [D2009] Cho
, 0, 1x y x y  
. Tìm GTLN, GTNN
22
(4 3 )(4 3 ) 25S x y y x xy   

*******
Việc phát hiện tương ứng và thực hiện phép thế rồi thiết lập hàm là tương tự, việc nghiên
cứu hàm số là khó hơn vì hàm số này phức tạp hơn, cụ thể là tăng thêm về bậc.
x
0
1
2
1
f’(x)
- 0 +

xy
;
191
16
minS 
khi
2 3 2 3
( , ) ( , )
44
xy


hoặc hoán vị
Ví dụ 3. Cho
2 1, , 0x y x y  
. Tìm GTLN
22A xy y

*******
Việc thực hiện phép thế phức tạp hơn một chút và hàm số thu được sau phép thế cũng
phức tạp hơn vì có chứa căn
Chú ý: Nên thế x theo y để:
+) Tránh phân thức trong biểu thức
+) Ít phải thế hơn vì trong A, x chỉ xuất hiện một lần
Ví dụ 4. Cho x, y>0 thỏa mãn:
1 1 5
4xy

. Tìm GTNN của
1

2.2. Sử dụng tính đối xứng
Trong mục này, trước hết ta nên để ý đến kết quả sau:
i) Mọi biểu thức đối xứng với hai biến đều có thể quy được về x+y và x.y
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

8

ii) Với mọi x,y. Ta có
2
( ) 4x y xy
,
22
2x y xy
,
2 2 2
2( ) ( )x y x y  

Ví dụ 1. Cho x, y thỏa mãn:
22
2xy
. Tìm GTLN, GTNN của
33
2( ) 3A x y xy  

*******
1) Phát hiện tương ứng:
Trong bài toán này, ta có thể nhận thấy các biểu thức ở cả giả thiết và kết luận đều đối
xứng với x, y. Mặt khác, ta biết rằng mọi biểu thức đối xứng như vậy đều có thể viết về
S=x+y và P=xy, nói riêng
22

2
2
t
xy


. Do
2 2 2
2( ) 4t x y  
nên
22t  

Khi đó
3 3 2
3
2[( ) 3 ( )] 3 6 3 ( )
2
A x y xy x y xy t t t f t          

Vấn đề còn lại là tìm GTLN, GTNN của hàm f(t) với
[ 2,2]t

3) Nghiên cứu hàm f(t): Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên
4) Lợi dụng tính chất để giải bài toán đề ra: Vận dụng bảng biến thiên để suy ra
GTLN, GTNN
Một số bài toán tương tự, có sự phân bậc dần dần
Ví dụ 2. Cho x, y >0 và xy=1. Tìm GTLN, GTNN của
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

9

xy


*******
Tăng sự phức tạp ở mối liên hệ x+y và xy trong giả thiết, khiến cho biến t khó nhận thấy
hơn, đồng thời miền giá trị của biến cũng khó tìm hơn.
Gợi ý: Nếu đặt
t x y
, ta sẽ được biểu thức rất phức tạp và khó tìm giá trị
Bởi vậy, ta cần quan sát lại giả thiết
Giả thiết tương đương với:
2
( ) ( ) 3x y xy x y xy   
,
3
3 2 2
()
3
()
x y x y
A
xy x y



Nên ta có thể nghĩ đến biến
11xy
t
xy x y


Gợi ý: Nếu đưa về biến
t x y
thì do điều kiện liên hệ giữa xy và
3
t
trong giả thiết, xy
sẽ là hàm bậc 3 của t, A là hàm bậc hai của xy nên ta sẽ thu được hàm bậc 6, việc khảo
sát hàm bậc 6 là điều khá khó khăn. Bởi vậy, ta chọn
22
t x y
vì trong A, các biến xy
chỉ toàn mũ chẵn. Mặt khác, chú ý là ta cần đánh giá
Ac
- hằng số để đưa ra kết luận
về giá trị nhỏ nhất và A đối xứng với x và y nên ta có thể đánh giá theo hướng
AB
với B là hàm của x,y nhưng chỉ còn một ẩn t, A=B khi x=y. Vậy, ta có thể biến đổi
2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3 2( ) 1A x y x y x y     
và dùng đánh giá
2 2 2 2 2
( ) 4x y x y

Tiếp đó là xem xét điều kiện của
22
t x y
nhờ điều kiện của
u x y
,
2

4 3 3 3 4 3 3x xy y      

*******
1) Phát hiện tương ứng:

Trước hết, nhận thấy giả thiết và kết luận đều là các biểu thức đẳng bậc nên có thể
sẽ có một sự tương ứng về tỉ lệ, vì thế thay vì chỉ xét biểu thức
22
3B x xy y  
, ta
gắn nó với biểu thức
22
A x xy y  
bằng cách xét tỉ số
B
A
. Đến đây, nhận thấy
nếu nhân cả x,y với cùng 1 số k thì
B
A
không đổi nên
B
A
chỉ phụ thuộc vào giá trị
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

11

x
y

22
22
3
.
x xy y
BA
x xy y




Khi
0y 
thì
2
3x 
,
2
Bx
, bất dẳng thức luôn đúng
Khi
0y 

thì
2
2
3
.
1
tt

u
tt

      


4) Lợi dụng tính chất hàm, kết hợp vài thao tác khác về bất đẳng thức, sẽ thu được
điều cần chứng minh
Ví dụ 2. [B2008]
Cho x, y thỏa mãn:
22
1xy
. Tìm GTLN, GTNN của
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y




*******
Chú ý
22
1 xy
nên
2

( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y y z z x y z        

******
Nhận xét rằng cả giả thiết và kết luận đều chứa các biểu thức thuần nhất ( giả thiết bậc 2,
kết luận bậc 3) nên có thể lợi dụng để giảm biến. Ta thấy biến y, z đối xứng, còn x tạo ra
sự khác biệt nên sẽ chia các vế cho
23
,xx
tương ứng.
Đặt
,
yz
ab
xx

. Bài toán còn lại 2 biến, như sau :
“Cho
13a b ab  
. Chứng minh rằng
3 3 3
(1 ) (1 ) 3(1 )(1 )( ) ( )
b
a b a b a b a       
”
Sử dụng phương pháp đối xứng, đưa bài toán về một ẩn
t a b
rồi xét hàm số ẩn t là bài
toán sẽ được giải quyết
Sau đây là một số bài toán tương tự:
Ví dụ 4. Cho


[0,2]. Tìm GTLN
2( ) ( )A x y z xy yz zx     

*******
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

13

1) Phát hiện tương ứng:
Nếu cố định y và z thì rõ ràng A chỉ còn phụ thuộc vào một biến x
2) Thiết lập hàm:
Nếu coi A là biểu thức bậc nhất của x thì có thể viết lại A như sau:
(2 ) 2( ) ( )A y z x y z yz f x      

3) Nghiên cứu hàm số: y=f(x): Đây là hàm số bậc nhất theo biến x và do
[0,2]x
nên
GTLN sẽ đạt được tại điểm đầu mút ( 0 hoặc 2) hay
A

Max
{ (0), (2)}ff

4) Lợi dụng tính chất hàm f(x), ta chỉ cần xét tại f(0), f(2) là đủ
3.1 Phát hiện tương ứng và thiết lập hàm mới:
f(2) =4-yz chỉ là hàm một biến yz, với điều kiện
0yz 

f(0)=2(y+z)-yz cũng là hàm một biến bậc nhất của y

xy


,
1x y z  
;
(0)f
và
2
(1 )
()
4
z
f

đều chỉ có một biến
[0,1]z
nên
dễ dàng tìm được GTLN, GTNN
Nhận xét: Bài toán này làm phức tạp hơn một cách toàn diện cả 4 hoạt động
1) Phát hiện tương ứng:Biểu thức trong kết luận không còn là biểu thức bậc nhất của
bất kỳ biến nào, yêu cầu phải đơn giản hóa trước khi nhận ra tương ứng
Nguyễn Thế Sinh- http:// mathmelody.com

14

2) Thiết lập hàm: Lựa chọn ra biến để thiết lập hàm cũng khó khăn hơn vì phải phân
tích, chọn lựa sự thuận lợi hơn của biến z và biến xy
3) Nghiên cứu hàm: Điều kiện ở biên không phải là hằng số mà vẫn phụ thuộc vào
biến z

đều quy được về
1 biến độc lập
2 2 2
,,
1 1 1
abc
abc  
với
, , (0,1)abc
nên một giá trị a sẽ tương ứng với
một giá trị
2
1
a
a
. Đây chính là tương ứng có thể nhận thấy
2) Thiết lập hàm:
Đến đây, ta nghĩ đến việc xét từng biểu thức dạng
2
()
1
x
fx
x


trên
(0,1)
.
3) Nghiên cứu hàm số: Xét hàm

Quay lại từ đầu:
1’) Tương ứng và thiết lập hàm
Giả thiết có
2 2 2
,,abc
đứng độc lập. Kết luận có
2 2 2
,,
1 1 1
abc
abc  
đứng độc lập
Nên ta có thể nghĩ đến đánh giá tương quan:
2
1
a
a
với
2
a
hay
2
(1 )aa
với 1.
Đến đây, ta xét hàm
2
( ) (1 )f x x x
trên (0,1)
2’) Nghiên cứu và lợi dụng:
Ta có

a
a
a


.
Cộng theo vế các bất đẳng thức tương tự được điều cần chứng minh ( thành công)
Một số ví dụ tương tự
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
2 2 2
3
, , 0
1 1 1 2
x y z
x y z
x y z
    
  

Ví dụ 3. Chứng minh rằng
, 1ab
thì
11a b b a ab   

Ví dụ 4. Chứng minh rằng
, , 0, 3a b c a b c    
, ta có

222
2 2 2 2 2 2

2 ( )
abc
a b c


biến đổi được thành
2
22
(3 )
2 (3 )
a
aa


là biểu thức của biến a, nên hoặc có thể
đánh giá trực tiếp với
8
3
( không thành công) hoặc tương ứng với một biểu thức bậc nhất
của a ( để ý a+b+c=3 ở giả thiết), vai trò a,b,c bình đẳng nên có suy nghĩ như trên
 Một suy nghĩ khác nữa là dựa trên kết quả về hàm lồi và tiếp tuyến của nó

Một hàm lồi thì mọi điểm thuộc đồ thị đều nằm bên dưới tiếp tuyến tại một điểm
bất kỳ thuộc đồ thị, nghĩa là nếu hàm số
()y f x
lồi trên (a,b) và
0
( , )x a b
thì
0 0 0

48
( 1)
33
x 
(*) , ta chứng minh (*) bằng cách quy đồng
rồi biến đổi tương đương.
Sau đây là một số ví dụ tương tự:
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
, , 0abc
thì
222
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
( ) ( ) ( ) 5
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
     
  
     

Ví dụ 6. Cho a,b,c,d>0 và
4a b c d   
. Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1a b c d
   
   