I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005) quy
định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học;
bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn”.
Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định,
không còn là vấn đề tranh luận và càng thấy cấp thiết hơn đối với kì thi THPT
quốc gia lần đầu tiên đươc tổ chức trong năm học này. Cốt lõi của việc đổi mới
PPDH môn Toán ở trường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Phải làm sao trong mỗi tiết học HS được
suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn.
Trong dạy học môn Toán, tư duy sáng tạo của HS phần lớn được hình
thành trong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này HS phải hoạt động tích
cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Cơ sở để học sinh hoạt động chính là
những tri thức và kinh nghiệm đã có. Đứng trước một vấn đề đặt ra trong vốn tri
thức mà bản thân đã có, đã tích luỹ được việc lựa chọn tri thức nào, sử dụng ra
làm sao luôn luôn là những câu hỏi lớn, mà việc trả lời được những câu hỏi đó là
mấu chốt trong việc giải quyết vấn đề. Việc tìm ra lời giải một bài toán nhiều
khi không phải là quá khó, nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí
thú. Nếu chúng ta không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá
những gì ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy
học trở nên nhạt nhẽo. Điều quan trọng là nếu sau mỗi bài toán chúng ta tìm
được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán, xây dựng được chuỗi bài toán gốc
liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học
sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.
Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, G.Polya cho
rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài
toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất
quen thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, G.Polya đã nói rằng: Thật khó mà đề ra
được một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có

viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa
biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã được sắp sẵn. Cần đặt học
sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảo luận,
giải quyết theo cách riêng của mình. Qua đó học sinh vừa nắm được kiến thức
mới, kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó,
không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát
huy tiềm năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên 2005, tr. 3).
1.2 Mục tiêu của dạy học theo hướng phát hiện và vận dụng boán gốc .
Từ cơ sở lí luận và kết quả khảo sát chúng ta có thể rút khẳng định để
nâng cao chất lượng giáo dục trong giai đoạn hiện nay người giáo viên cần có sự
kết hợp linh hoạt giữa phương pháp dạy học truyền thống và các phương pháp
dạy học tích cực như dạy học giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, dạy học khám
phá,..... Dạy học theo con đường phát hiện và vận dụng người GV cần bồi
dưỡng một số năng lực dạy học như:
- Năng lực dự đoán phát hiện vấn đề dựa trên cơ sở quy luật biện chứng,
khả năng liên tưởng, chuyển hóa liên tưởng.
- Năng lực định hướng tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề tìm tòi lời giải
bài toán.
- Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học bao gồm:
+ Năng lực lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề.
+ Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.

2


+ Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi vấn đề biến đổi bài toán về dạng
tương tự.
- Năng lực tự lập luận logic, lập luận có căn cứ giải quyết chính xác các
vấn đề đặt ra.
- Năng lực tự đánh giá phê phán..v.v...

việc giải quyết các tình huống cụ thể.
- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lí do nào đó không đưa vào lí thuyết.
Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình.
* Chức năng giáo dục: Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế
giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức
của người lao động mới.

3


* Chức năng phát triển: Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
*, Chức năng kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học,
đánh giá khả năng độc lập học Toán và trình độ phát trển của học sinh.
1.3.2 Bài toán gốc.
Theo quan điểm của luận văn bài toán gốc có thể hiểu là bài toán tương đối
dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học ở mức độ đơn giản.
Đồng thời bài toán gốc phải thỏa mãn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài
toán khác.
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.
- Nếu thay đổi (một phần) giả thiết hoặc kết luận thì được bài toán mới.
1.3.3. Bài toán nâng cao: Theo GS Đào Tam bài toán nâng cao là bài toán khi
giải vận dụng nhiều bước của quy trình giải toán và sử dụng nhiều kiến
thức bổ trợ, khắc sâu quy trình và khắc sâu các kiến thức của một dạng
toán.
1.3.4 Vai trò của bài toán gốc.
Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều

tìm tòi, PH kiến thức mới. Trong khi đó tình trạng phổ biến của học sinh hiện nay
là kiến thức rất “mơ màng”. Chất lượng đại trà của HS còn yếu, số HS tự mình
tìm tòi kiến thức mới và giải quyết được vấn đề không nhiều. Do đó việc kiến
tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế
+ Trong quá giải bài tâp toán, HS thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn
ngữ để quy lạ về quen. Dẫn đến, việc vận dụng và phát triển tri thức gặp khó
khăn. Đồng thời sẽ dẫn đến những sai lầm rất dễ mắc phải.
+ Đa số học sinh học sinh thường có thói quen giải xong một bài toán xem
như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học
sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số
bài toán khác. Với những kiến thức đó thì chưa đủ để HS giải các bài toán nâng
cao, bài toán khó. Khi đứng trước một bài toán nâng cao HS thường gặp lúng
túng ko định hướng được cách giải, không hình dung ra hướng giải quyết.
+ HS chưa biết cách chọn lọc các kiến thức, không thể liên kết những kiến
thức cũ liên quan với vấn đề đặt ra hoặc không biết cách vận dụng kiến thức cũ
vào vấn đề mới như thế nào do đó ảnh hưởng lớn đến việc phát hiện và giải
quyết vấn đề. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn
chế đến việc phát triển tư duy của HS trong học tập.
Đối với GV
Thời gian học tập của HS ở trên lớp còn hạn chế so với khối lượng tri
thức cần truyền đạt. Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên nếu
dạy học giải bài tập toán lớp 10 THPT theo hướng phát hiện và vận dụng các bài
toán gốc liên quan, thì mất khá nhiều thời gian cho việc củng cố kiến thức liên
quan dẫn đến việc không thể hoàn thành bài giảng. Do đó
+ Hầu hết giáo viên đang nặng về thuyết trình, chưa phát huy được năng
lực chủ động, tích cực và sáng tạo của HS trong dạy học. Việc mở rộng khai
thác các bài toán cơ bản trong SGK ít có thời gian và điều kiện để thực hiện.
Chưa chú ý đến việc xây dựng các bài toán gốc để tạo ra cơ sở cho HS
vươn tới giải các bài toán nâng cao, bài toán khó
+ Thường sau mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, GV chỉ giảng

học. Khái niệm là những vật liệu tạo thành ý thức tư tưởng là phương
tiện để con người tích luỹ thông tin, suy nghĩ và trao đổi tri thức với nhau
Một khái niệm sau khi đã được học thường có những hoạt động củng cố
như sau: Nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự
hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá những khái niệm đã học.
Việc xây dựng bài toán sau đó phát triển thành chuỗi bài toán để khắc sâu
khái niệm sẽ góp phần nâng cao được các hoạt động củng cố khái niệm, đặc biệt
là hoạt động ngôn ngữ, khái quát hoá, tương tự hoá. Chuỗi bài toán đóng vai trò
là “cầu nối” các khái niệm, với các bài toán mức độ khó khăn cao dần. Việc giải
được các bài toán trong chuỗi sẽ tạo lập được ở HS thói quen độc lập suy nghĩ,
giúp các em có cách nhìn các khái niệm toán học một cách có chiều sâu, có hệ
thống, điều đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của các em.
Quy trình của việc khắc sâu khái niệm có thể được thể hiện theo quy
trình sau:

Khái
niệm

Các
dạng
toán

Bài
toán
gốc

Bài
toán
nâng
cao


Lời giải: Ta có: GA + GB + GC = ( MA + PB + NC ) (với M, N, P lần
2
lượt là trung điểm của BC, AB, AC)
1
A
mà MA = MB + BA = CB + BA
2
1
P
PB = PC + CB = AC + CB
N
G
2
1
NC = NA + AC = BA + AC
C
B
2
M
3
3
Suy ra MA + PB + NC = (CB + BA + AC ) = CC = 0
D
2
2
uuu uuu uuuu 
Vậy GA + GB + GC = 0 .
HS thường có thói quen giải xong bài toán là hoàn thành nhiệm vụ (kể cả
HS khá giỏi) mà ít quan tâm đến kết quả của bài toán, GV cần hướng dẫn HS

mới ở mức độ khó khăn nâng cao dần. Nếu dừng lại ở bài toán ban đầu thì thật
là đáng tiệc, chúng ta đã bỏ phí đi một mảnh đất “màu mỡ” mà cần phải khai
thác. Các bài toán tương tự có được từ bài toán trên.
Tóm lại nếu sau khi dạy học sinh về khái niệm nếu GV không đưa ra các
dạng toán, các bài tập để khắc sâu khái niệm thì sẽ như gió thoảng qua. Rõ ràng
với việc khai thác bài toán gốc như đã trình bày HS sẽ khắc sâu khái niệm, sẽ
nắm chắc khái niệm từ đó nắm được sự kết nối giữa khái niệm và chuổi bài tập
toán liên quan tạo niềm tin và hứng thú trong học tập.
3.2. Phát hiện và vận dụng bài toán gốc nhằm khắc sâu định lí, quy tắc.
Các định lí, quy tắc cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung
cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt
là khả năng suy luận và chứng minh. Việc thể hiện định lý được rèn luyện thông
qua việc giải các bài toán của chuỗi. Trong chuỗi các bài toán nhằm củng cố
định lý chúng ta cố gắng xây dựng trên cơ sở khái quát hoá, tương tự hoá các bài
toán quen thuộc với cách thức nâng cao dần mức độ khó khăn, đồng thời để giải
các bài toán của chuỗi cũng cần phải đặc biệt hoá để đưa về các bài toán đơn
giản hơn. Điều đó sẽ giúp cho HS nhìn nhận những ứng dụng khá phong phú
của các định lý toán học, từ đó giúp các em hứng thú hơn trong học tập, phát
huy khả năng sáng tạo của các em.
Chúng ta muốn học sinh nắm được các hệ thống định lí và những mối liên
hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng định lí vào các hoạt động giải Toán
cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy trong quá trình dạy học
8


định lí chúng ta phải chú ý tới việc xem xét các định lí trong mối liên hệ với các
đối tượng và định lí khác. Phải luôn đặt nó trong những mối quan hệ để thấy
được nguồn gốc ra đời, điều kiện tồn tại và ý nghĩa thực tiễn của nó.
Trong quá trình dạy học định lí giáo viên phải tổ chức được các hoạt động
nhận thức cho HS, định hướng cho các em tự tìm ra định lí và khai thác định lí

2
∆ ABC có 3 góc nhọn ⇔ a + c > b (I)
b 2 + a 2 > c 2

∆ ABC có góc tù

b 2 + c 2 < a 2

⇔ a 2 + c 2 < b 2 (II)

b 2 + a 2 < c 2


∆ ABC vuông

b 2 + c 2 = a 2

⇔ a 2 + c 2 = b 2 (III)
b 2 + a 2 = c 2


- Viết công thức a2 = b2 + c2 - 2bc. cosA
dưới dạng a2 = b2 + c2 - 2bcsinA. cot A
⇒ a2 = b2 + c2 - 4S. cotA
b2 + c2 − a 2
suy ra cot A =
.
4S

9

b/ b(cosA + cosC) + c(cosB + cosA) = a + b + c - a(cosB + cosC)
Bài toán 3.2.3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a. a2 + b2 + c2 = 2abcosC + 2bccosA + 2cacosB.
b. 2abc(cosA + cosB) = (a + c - b)(b + c - a) (a+b).
c. abc(cosA + cosB + cosC) - a2(p - a) = b2(p - b) + c2(p - c).
d. bc(b2 - c2)cosA + ac(c2 - a2)cosB + ab(a2 - b2)cosC = 0.
Dạng 2: Nhận dạng tam giác
Bây giờ vận dụng kết quả (I) ta đi tìm lời giải cho bài toán nâng cao sau:
Bài toán 3.2.4: Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác
ABC và a5 = b5+c5. CMR tam giác ABC nhọn.
Làm thế nào để chứng minh tam giác ABC nhọn?
b 2 + c 2 > a 2
 2
2
2
Ở bài toán này chúng ta có nhất thiết biến đổi về a + c > b
b 2 + a 2 > c 2


Hay chỉ cần chỉ ra một bất đẳng thức trong ba bất đẳng thức trên? Nếu
vậy thì chỉ ra bất đẳng thức nào?

10


∧ ∧
a > b
A > B
⇒  ∧ ∧ ⇒ A là góc lớn nhất.
Từ đẳng thức a = b +c ⇒ 

a 2 + c2 − b2
2
2
2
Ta có AD = c + p – 2pccosB. Thay cosB =
và biến đổi ta
2ac
có: aAD2 = pb2 + (a - p)c2 - p(a-p)a. ( Định lý Stewart)
Bây giờ ta tiến hành khai thác bài toán trên để được các bài toán nâng cao
mức độ khó dần.
Khi cho D là trung điểm BC ta được công thức độ dài đường trung tuyến.
b2 + c 2 a 2
ma 2 =
−
2
4
Khi AD là phân giác ta được công thức tính độ dài đường phân giác
bc (b + c)2 − a 2 
.
la2 = 
2
(b + c)
Nhận xét rằng nếu đặt DC = n thì a - p = n từ đó ta có:
Bài toán 3.2.7 : Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b. Trên cạnh BC
lấy điểm D. Đặt BD = p, CD = n và AD = d.
Chứng minh rằng : ad2 = pb2 + nc2 - pna.
Nhìn bài toán 2.1.3.7 dưới dạng khác như sau: Thay giả thiết BD = p, CD =q bởi
DB p
ap
aq

Bài toán 3.2.9: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b trên cạnh BC lấy
DB 1
= . Chứng minh rằng :
điểm D sao cho
DC k
k
k
k
AC 2 +
AB 2 −
BC 2 .
AD2 =
k +1
k +1
( k + 1) 2
Trong bài toán 2.1.3.7 ta có thể chọn p + q =1. Từ đó có được
Bài toán 3.2.10: Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b, trên cạnh BC
DB p
lấy điểm D sao cho DC = q với p + q = 1 .Chứng minh rằng :
AD2 = pAC 2 + qAB 2 − pqBC 2 .
Trên đây là một vài khai thác từ định lí hàm số cosin bằng việc khai thác
và nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau ta đã thu được những dạng toán, bài
toán khác nhau, điều này cho thấy được sự hấp dẫn của toán học.
Tóm lại với quy trình:

Khái
niệm,
định
lí


phát triển tư duy, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực
sáng tạo, giải quyết các bài toán thực tế. HĐ giải các bài tập toán là điều

12


kiện để thực hiện tốt các mục tiêu dạy toán ở trường phổ thông. Vì vậy việc
tổ chức giải các bài tập toán có hiệu quả sẽ góp phần quan trọng đối với
chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học, các bài tập toán được sử dụng với những
dụng ý khác nhau. Tất nhiên các bài tập toán thường không chỉ nhằm vào
một mục đích đơn nhất nào đó mà thường bao hàm nhiều dụng ý khác
nhau. Bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình
dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức
năng khác nhau.
Ta thấy rằng bài tập sách giáo khoa được biên soạn khá công phu và có
nhiều tiềm năng để phát triển năng lực sáng tạo cho HS, tuy nhiên để làm tốt
hơn việc này thì cần phải bổ sung một lượng bài tập thích hợp nhằm phát huy
được tối đa khả năng sáng tạo của các em, trong đó phải có những bài tập khó
dành riêng cho HS khá và giỏi, đặc biệt là những bài tập có thể tương tự hoá,
khái quát hoá, đặc biệt hoá... Thầy giáo là người tổ chức cho HS làm việc, HĐ
tìm tòi phát hiện chân lí khoa học. Lớp học phải trở thành một cộng đồng xã hội
trong đó có sự hợp tác học tập của tất cả các thành viên sao cho mọi người được
phát huy đầy đủ năng lực và trách nhiệm của mình. Sau đây chúng ta hãy phân
tích một vài ví dụ của việc xây dựng chuỗi bài toán để thấy rõ hơn vai trò của
chuỗi đối với việc nâng cao chất lượng hoạt động nhận thức cho HS.
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức:
Ta hãy xét bài toán trong SGK sau:
Ví dụ 3.3.1 (Bài toán gốc ):
“Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh: ( x + y)( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz ” (1)

Tương tự cho các trường hợp còn lại. Ta thu được bài toán “mạnh hơn” sau:
Bài toán 3.3.3: “Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
xyz ≥ ( y + z − x)( z + x − y )( x + y − z ) ” (3).
Bây giờ ta khai thác các BĐT(1), BĐT(2); BĐT(3) để “tạo ra” chuổi bài toán.
a, Ta đi “khai thác” BĐT(1) như sau:
Áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: sinA, sinB, sinC với A, B, C là ba góc của
một tam giác ta có: (s inA + sinB)(s inB + sinC )(s inC + sinA) ≥ 8sin A sin BsinC
C
A− B
A
B −C
B
C−A
⇔ 8cos cos
cos cos
cos cos
2
2
2
2
2
2
A
A
B
B
C
C
≥ 64sin cos sin cos sin cos
2

cos
cos
≥ 8sin sin sin ”.
2
2
2
2
2
2
A
B
C
Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: tan , tan , tan với A, B, C là ba
2
2
2
góc của một tam giác ta có:
A
B
B
C
C
A
A
B
C
(tan + tan )(tan + tan )(tan + tan ) ≥ 8tan tan tan
2
2
2

A
A
C
2
2
2 8
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
Ta thu được bài toán quen thuộc sau:
A
B
C 1
Bài toán 3.3.5: “Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: sin sin sin ≤ ”.
2
2
2 8
Tiếp tục áp dụng BĐT(1) cho ba số dương: Sin2 A, Sin2 B, Sin2C với A, B, C là ba
góc của tam giác nhọn ABC ta có:
(sin 2 A + sin 2 B)(sin 2 B + sin 2C )(sin C + sin 2 A) ≥ 8sin 2 A sin 2 B sin 2C
cos( A − B)cos( B − C )cos(C − A)

2 1
≥ 16S 2 + a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b )
2
2
2
2 1
2
1
2 1
⇔ a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 + a 2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.3.6: Cho tam giác ABC có diện tích S . Đặt BC = a, CA = b, AB = c .
Chứng minh bất đẳng thức:
2 1
2
1
2 1
a 2b2 + b2c 2 + c 2a 2 ≥ 16S 2 + a 2 ( b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi nào? ”
( Bài T7/376- THTT năm 2008).
b. Ta đi “khai thác” BĐT(2) như sau:
abc
8
pr

2

 2
 2
2 1
2 1
1
1
1
1
2
⇔ a 2 + b2 + b2 + c2 + c 2 + a 2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )
2
2
2
2
2
2
2 1
2 1
1
2
⇔ a 2 + b2 + c2 ≥ 4 3S + ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )
2
2
2
Ta thu được bài toán sau:
Bài toán 3.3.9:
“Cho tam giác ABC có diện tích bằng S .Đặt BC = a, CA = b, AB = c . CMR:
2 1



)



(



)



2
1
1
1
1
+  c4 + a 4 − c 2 − a2  ≥ 16S 2 ⇔ a4 + b4 + b4 + c 4 + c 4 + a 4 ≥
2
2
2
2


(




2 1
1
2
2
a 4 + b4 + c4 ≥ 16S 2 + ( a + b ) ( a − b ) + ( b + c ) ( b − c ) + ( c + a ) ( c − a ) ”.
2
2
2
(*)
Thêm một bước biến đổi cho BĐT thu được trong bài toán III.8 như sau
⇔ a 4 + b4 + c 4 ≥ 16S 2 +

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

1 2
1
1
a + b 2 b2 + c 2 + b 2 + c 2 c 2 + a 2 + c 2 + a 2 a 2 + b 2 ≥ 16S2 +


8
8


1
2
2
2
+ ( a + b ) + ( b + c )  ( c − a ) (**)


8

⇔

Dạng 2: Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ nhất của một đoạn thẳng

16


Ví dụ 3.3.11: ( Bài toán gốc ) Cho đường tròn ( C ) tâm I bán kính R, H là một
điểm nằm ngoài đường tròn ( C ) . Tìm điểm M nằm trên đường tròn ( C ) sao cho:
a) Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.
b) Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.
Lời giải: Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm I và H.
Giả sử A, B là các giao điểm của đường tròn ( C ) và đường thẳng d sao
cho điểm B nằm giữa hai điểm A và H. Khi đó, với một điểm M bất kỳ nằm
trên đường tròn ( C ) ta luôn có: BH ≤ MH ≤ AH
Thật vậy: +) Ta chứng minh: MH ≤ AH .

phương trình x 2 + y2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). Tìm tọa độ điểm M nằm
trên đường tròn ( C ) sao cho:
a) Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất.
b) Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất.
Lời giải:
Đường tròn ( C ) có tâm I = ( 2; −3) , bán kính R = 5 .
Ta có: IH = ( 4 − 2 ) + ( 1 + 3 ) = 20 = 2 5 > R . Suy ra, điểm H nằm ngoài
2

2

đường tròn ( C ) .
Gọi d là đường thẳng
đi qua hai điểm I và H. Khi đó, đường thẳng d có
uu
một vectơ chỉ phương là IH = ( 2; 4 ) , suy ra đường thẳng d có một vectơ pháp
uu
tuyến là n d = ( 2; −1) .
17


Suy ra, đường thẳng d có phương trình tổng quát là: 2 ( x − 2 ) − ( y + 3) = 0
hay đường thẳng d có phương trình: 2x − y − 7 = 0 .
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường tròn ( C ) là nghiệm của
hệ phương trình:
2x − y − 7 = 0
 y = 2x − 7
x = 1
x = 3
⇔


Áp dụng kết quả ví dụ 3.3.12, ta có:
a) Độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất bằng BH = 5 khi điểm M ≡ B = ( 3; −1) .
b) Độ dài đoạn thẳng MH lớn nhất bằng AH = 3 5 khi điểm M ≡ A = ( 1; −5 ) .
Từ kết quả này, ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác:
Bài toán 3.3.13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) có
phương trình: x 2 + y 2 − 4x + 6y + 8 = 0 và điểm H= (4;1). M là một điểm nằm trên
đường tròn ( C ) . Chứng minh rằng: 5 ≤ MH ≤ 3 5
Lời giải: Sử dụng kết quả bài toán 3.3.13
2
2
Khi điểm M = (a; b) và điểm H = (4;1) suy ra MH = ( a − 4 ) + ( b − 1) . Tức là, ta

có thêm bài toán mới: Chứng minh rằng:

5≤

( a − 4)

2

+ ( b − 1) ≤ 3 5 .
2

Bài toán 3.3.13 là bài toán đơn thuần trong hình học giải tích nếu ta dừng
lại ở đây nhưng nếu ta bỏ đi các yếu tố về điểm và đường tròn với hệ tọa độ Oxy
thì ta được bài toán mới về bất đẳng thức đại số:
Bài toán 3.3.14. Cho hai số thực a, b thỏa mãn: a 2 + b 2 − 4a + 6b + 8 = 0
Chứng minh rằng:



+ ( b − 1) ≤ 3 5

( a − 4)

2

+ ( b − 1) = 5

khi và chỉ khi

( a − 4)

2

+ ( b − 1) = 3 5

khi và chỉ khi

2

2

2

a = 3

,
b = −1
a = 1

,
b = −1
a = 1

.
 b = −5

4. Kết quả thực nghiệm của đề tài:
Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt được
những kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:
4.1. Kết quả định tính.
Về ý kiến của giáo viên dự giờ thực nghiệm:
- Đa số các giáo viên nhất trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ
các giải pháp và phương thức đã nêu trong đề tài. Các thấy cô đều đồng tình với
phương thức tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng và phát
hiện bằng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hoạt động nhiều, học
tập tích cực, chủ động , sáng tạo, linh hoạt hơn. Các thấy cô rất đồng ý với cách
phát phiếu học tập cho từng nhóm học sinh với mục đích thể hiện sự hợp tác tạo
mỗi tương tác cho các em học tập hiệu quả hơn.
Về ý kiến của học sinh ở lớp dạy thực nghiệm:
Qua quan sát bằng phiếu điều tra sau mỗi tiết dạy thực nghiệm đối với
HS, tôi rút ra những ý kiến phản hồi từ phía các em về: nội dung bài học; lượng
kiến thức; mức độ tiếp thu bài học; đề xuất ý kiến cho tiết dạy tiếp theo như sau:
Phần lớn HS cho rằng: tiết học sôi nổi, cuốn hút nhiều HS tham gia vào
bài học, các em thích thú với phần thảo luận nhóm, tạo cho các em có cơ hội
phát biểu ý kiến của mình đồng thời cũng để khẳng định được năng lực của
mình chính xác hơn, từ đó có hướng phấn đấu thích hợp. Nội dung bài học là
phù hợp với hầu hết HS.
Về cách tiếp cận tiết học 100% học sinh có ý kiến là các em khám phá
kiến thức mới dưới sự huy động kiến thức đã có, rèn luyện kỹ năng phát hiện và

viên yêu cầu học sinh phải tự phát hiện và tự giải quyết một số vấn đề; tự khám
phá và tự kiến tạo một số kiến thức mới, học sinh được tự thảo luận với nhau và
được tự trình bày kết quả làm được.

4.2. Kết quả định lượng.
Trong năm học 2014 - 2015 tôi đã tiến hành thực nghiệm nhằm đánh giá
hiệu quả của đề tài tại lớp 10C6 và lớp 10C7 - Trường THPT Yên Định 2. Kết
quả học tập môn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực
tiếp giảng dạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) cho học
sinh hai lớp 10C6 và 10C7. Tôi chọn lớp 10C7 làm lớp dạy học thực nghiệm (sử
dụng đề tài), lớp 10C6 làm lớp dạy học đối chứng (không sử dụng đề tài). Sau
khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành cho học sinh hai lớp làm bài
kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theo bảng sau:
Lớp
Sĩ
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
số
SL
%
SL
%
SL %
SL
%
SL %
10C6 45
8

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc nghiên cứu, thực hành rồi hoàn
thành đề tài song đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất
mong các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý để tôi hoàn thiện hơn đề tài
của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15/5/2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của tôi không sao chép nội dung
của người khác.
Tác giả
Trịnh Thị Huê
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

[6]

Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến
khi giải Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Hoàng Chúng (1969), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
Cruchetxki V.A. (1978), Tâm lí năng lực toán của học sinh, Nxb Giáo dục, Hà
Nội.
Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Phạm Thị Bích Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng
Thắng, Lưu Xuân Tình, Đại số 10 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo
dục, Hà Nội.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn

[7]

Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
21


[13]
[14]

Polya.G (1995), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục, Hà Nội..
Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,

[15]
[16]

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Đào Tam (2005), Giáo trình hình học sơ cấp, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở THPT năng lực huy động kiến

[16]

thức khi giải các bài toán”, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục (1), tr. 19, 22.
Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông một số thành tố của năng

[17]

lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán”, Tạp chí Giáo dục (165), tr. 26, 27.
Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm
Phu, Nguyễn Tiến Tài, Bài tập đại số 10, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
.

MỤC LỤC

VD
PPDH
PPGD

VIẾT ĐẦY ĐỦ
Trung học phổ thông
Học sinh
Giáo viên
Ví dụ
Ph¬ng ph¸p d¹y häc
Ph¬ng ph¸p gi¸o dôc
22


BPSP
DH
ĐC
GQVĐ
GV
HĐ
HS
KN
NL
PB
PH
PPDH
QLTK
SGK
SLDD
SLHL