129
(W
5
)
{
12s
11x 2 2x
T ( , ) T ( , ) T const
d
T (,) T (,) l
d
= = =




=



Trong đó T
1x
(,) và T
2x
(,) là gradient của trờng nhiệt độ T
1

trong pha rắn và T
2
pha lỏng, còn


T
2xx
(x, ), < x < L , > 0
T
2
(x, 0) = T
o
> T
s
(ĐK đầu)
Các ĐK biên tại x = 0, x = L
T
1
(, ) = T
2
(, ) = T
s
= const

1
T
1x
(, ) -
2
T
2x
(, ) = l
2
d
d

2
)

130
Lúc > 0 đột nhiên hạ nhiệt độ mặt đất xuống trị số T
1
(0, ) = T
w
= const < T
s
. Cho biết các thông số vật lý
1
, C
1
,
1
của đất băng và
2
,
C
2
,
2
của đất ớt. Tìm trờng nhiệt độ T
1
(x,) trong đất băng, trờng
T
2
(x, ) trong đất ớt, vận tốc di chuyển của mặt đóng băng. Tính độ
dày lớp băng sau thời gian , tính thời gian để có lớp băng dày L cho

22
2
2
2o s
12 1 w s
2
12s
1
1
Tx, Tx,
a,0x,0(1)
x
Tx, Tx,
a,x,0(2)
x
T x,0 T const T , x , 0 (3)
T,T T 0, T const T, x 0, 0 (4)
T,
0, x , 0 (5)
x
T, T , Tconst,x , 0(6)
T,
x

=<<>



=<<>








= =>





7.2.3. Giải bằng phơng pháp Stefan
* Theo kết quả của bài toán (4.3) về vật bán vô hạn, ta sẽ tìm
nghiệm của phơng trình (1) và (2) ở dạng sau:
T
1
(x, ) =
11
1
x
ABerf
2a

+








=
=

=
+




(7)

131
là hàm sai số Gauss. Các hằng số A
1
B
1
A
2
B
2
đợc xác định theo các
ĐK đơn trị nh sau:
* A
1
xác định theo ĐKB (4):
T
1
(0, ) = T

w1
1
x
TBerf
2a

+




và
T
2
(x, ) =
o2 o2
22
xx
TB1erf TBerfc
2a 2a


=




=





Vì (B
1
, B
2
) = const nên các đẳng thức trên chỉ thực hiện đợc
khi

=
C
, với C là 1 hằng số nào đó sẽ đợc xác định.
Do đó, ĐKB (6) sẽ là:
w1
1
C
TBerf
2a

+



=

TT
B
C
erfc
2a

=





Vậy nghiệm riêng của [(1) + (4), (2) + (5)] x (6) là:
132
T
1
(x, ) =
( )
sw
W
1
1
TT
x
Terf
2a
C
erf
2a












* C đợc xác định theo ĐKB loại 5 (7) nh sau:
()
1
1
TC ,
x



-
( )
2
2
TC ,
x



=
2

0
n0
1x
22
ed
n! 2n 1
+

=

=
=

=
+



,
erfc(x) =
()
()
2
n
2n 1
x
n1
1x
22
ed1erf(x)1

( )
2
n
2
x
n0
x
22
e
n!


=

=



2
x
dd2
erfC(x) erf(x) e
dx dx

= =


Do đó, ĐKB (7) là

1

exp
4a
TT
.
a
C
erf
2a












+
()
2
2
os
2
2
2
C
exp

, tức K =
1
C
2a
ta có phơng
trình để xác định C nh sau:
()
()
2
2
2
1
os
21
1sw 2
2
1
a
exp K
exp K
a
TT
a
erf K T T a
a
erfc K
a




lW a
K
TT

=

, phơng trình có dạng:
f(K) =
()
o
KK


Giải bằng đồ thị
ta có K và tìm đợc C =
1
K2 a
K.
Hằng số K
o
là 1 đại lợng không thứ
nguyên, đợc gọi là tiêu chuẩn (hoặc
số) Koccivich

* Chuyển về dạng không thứ nguyên bằng cách đặt F
ox
=
1
2
a

erf K




=

y

o

K

y=f(K)

y=

K
o
K

K=c/2
1
aH58. Để xác định K và C.

134
()

đầu của các chuỗi này (ứng với n = 0) khi tính toán, tức là coi:
()
erf x
=
()
()
n
2n 1
n0
1x
2
n! 2n 1
+

=

+



=
&

2
x


( ) ( )
erfc x 1 erf x=


=
&
1. Khi đó có:
1
C
erf
2a





=
&

1
2C
.
2a

=
1
C
a


2
C
erfc
2a

C
1a
a








=
2
C
Wl
2



hay C
2
=
()( )
1s w 1o s
22
2
2TT 2TT
C
lw lw
aC

()
1
2
1
sw
2
2
TT
l







- Lúc này, trờng nhiệt độ trong 2 pha có dạng:
T
1
(x,

)
=
&
T
w
+ (T
s
- T
w

2
1s w
lW
x
.
2TT






()
()
()
2
1w sw
1
2os
lf W
x
Tx, T T T .
2
Tx, T T const

= +





a

, với
K =
1
C
2a
=
1s w
21
(T T )
2l Wa


.
Vậy vận tốc đóng băng chỉ phụ thuộc

, đồng biến theo

1
, T
s

nghịch biến theo T
w
, l,

2
, W và




lớn, có thể coi gia tốc

'' = 0.

2

=
&

=
&
3
136
Lúc này biên di chuyển gần nh đều,
nhng rất chậm.
7.2.5. Tính độ dày lớp băng tại thời
điểm


* Trờng hợp tổng quát, độ dày lớp băng
tại thời điểm

là
x =

= C

, với C =

sw
2
2
TT
lW



, [m]
* Nếu pha (2) là nớc, có W = 1, ở điều kiện T
o
= T
s
thì
x =

=
()
1
sw
2
2
TT
l



, m
7.2.6. Tính thời gian đóng băng đến độ dày đã cho


* Trờng hợp T
o
= T
s
và tính gần đúng bậc 1, có

=
()
2
2
1s w
lWL
2TT


, [s]
* Với nớc ở T
o
= T
s
thì thời gian để tạo lớp băng phẳng, dày L là
(cho W = 1):

=
()
2
2
o
1s w 1
l

7.3. Bài toán đông lạnh các vật ẩm hữu hạn
7.3.1. Mục đích chủ yếu khi tính đông lạnh các vật ẩm hữu hạn
là tính thời gian để nhiệt độ cực đại trong vật bằng 1 trị số cho trớc.
Thời gian đông lạnh

gồm 2 giai đoạn:

=

o
+

1
, trong đó

o
là
thời gian để hoá rắn toàn bộ vật ẩm, có nhiệt độ tâm vật bằng T
s
, còn

1
là thời gian để nhiệt độ tâm vật giảm trừ T
s
đến nhiệt độ T
k
cho tr-
ớc, theo yêu cầu của công nghệ cấp đông
Việc tính


= T
s
, có

1
, l,

2
hai biên
ngoài có T
w
= const < T
o
đối xứng.
Bài toán này có mô hình giống mô
hình bài toán ở trên.
Điều kiện biên loại 5 trên biên
di động x =

là:

1
T
1x
(

,

)-


H60. Làm đông vật phẳng
do T
2
(x,

) = T
s
= const nên T
2x
(

,

) = 0