Lời nó i đầu
Dạng toán Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình ở chơng trình đại
số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng toán tơng đối khó đối với
học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và
thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán
học, vật lý).
Hầu hết các bài toán có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời
văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại l-
ợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn đề
khoa học giải toán là giải phơng trình.
Trong phân phối chơng trình toán ở trờng trung học cơ sở thì đến lớp 8
học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng đ-
ơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán
từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh.
ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống:

- 2 = 5
ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 2 = 10
ở lớp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh:
x : 3 = 4 : 2
x . 3 + 5 = 11; (x 15). 7 = 21
ở lớp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới dạng
lời văn có các dữ kiện kèm theo.
Vì vậy muốn giải đợc loại toán này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập
mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình).
Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn
liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thờng là những số liệu
có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát
ly thực tế... Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặt khác,
cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới
chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà cha

2
Chơng I
Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán
I. Phơng pháp nghiên cứu:
Dựa vào phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành về
chơng trình toán bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc
nhất một ẩn và giải bài toán bằng cách lập phơng trình. ở lớp 9 có 36 tiết nghiên
cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình sách giáo khoa ở cả hai lớp
trên có 74 bài tập.
Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào
quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy tắc gồm các
bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các công việc)
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn.
- Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số liệu khác
nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ phơng trình).
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)
Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp và
ngắn gọn.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không? sau đó
trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị).
Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải
loại toán này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói
chung.
II. Yêu cầu về giải một bài toán.
3
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học

Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 1996 Nguyễn Ngọc Đạm Tr-
ơng Công Thành NXB Giáo dục).
4
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi
của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
Hớng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thờng
có xu thế bài toán hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật
là ẩn số thì bài toán đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học
sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề. Muốn tính chu
vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó gọi chiều rộng khu
đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình.
x(x + 4) = 1200 <=> x
2
+ 4x + 1200 = 0
Giải phơng trình ta có: x
1
= 30
x
2
= -34
Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x
2
chỉ lấy x
1
= 30 =>
chiều dài là 30 + 4 = 34 và chu vi là: 2(30 + 34) = 128m
(ở bài toán này nghiệm x
2

3
x
=> S sau là:
2
1
(x-2) . (
4
3
x + 3)
Theo bài ra ta có phơng trình:






+
3
4
3
).2(
2
1
xx
Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiều cao của
tam giác là
4
3
x 20 = 15dm
4. Yêu cầu 4:

Lời giải phải trình bày khoa học.
Đó là lu ý đến mối liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc.
Ví dụ 5: (Toán phát triển đại 9 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công
Thành NXB Giáo dục 1996).
Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành
2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
Theo hình vẽ ta có:
Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH.
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức h
2
=b.c <=> AH
2
= BH . HC.
Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6.
Theo công thức (đã biết ở phần hình học) ta có phơng trình:
7
c
h
CB
H
b'
A
x (x + 5, 6) = (9,6)
2
Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m
6. Yêu cầu 6:
Lời giải bài toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).
Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,

tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toán.
8
Chơng II: Phân loại bài toán
Giải toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn giải
một bài toán
I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình và
hệ phơng trình.
Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:
1. Loại toán về chuyển động
2. Loại toán có liên quan đến số học.
3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).
4. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số
của chúng).
6. Loại toán có liên quan hình học.
7. Loại toán có chứa tham số.
8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học.
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình và
hệ phơng trình.
1. Phần giai đoạn:
- Với bài toán bậc nhất một ẩn số: Là dạng bài toán sau khi xây dựng ph-
ơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.
ax + b = 0 (a 0)
- Với bài toán giải bằng phơng trình bậc 2 là dạng toán sau khi xây dựng
phơng trình, biến đổi tơng đơng đa về dạng:
9
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)

phát triển t duy toán học cho học sinh.
- Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất.
2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình.
Ví dụ 1: (Đại số lớp 8 Nguyễn Duy Thuận NXB Giáo dục 1995)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng khoai
gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại.
Hớng dẫn giải:
* Giai đoạn 1:
Giả thiết Khoai + cà chua = 480
Khoai = 3 lần cà chua
* Giai đoạn 2: Thờng là điều cha biết đợc gọi là ẩn số. ở bài này cả số l-
ợng cà chua và số lợng khoai đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại
(hoặc cả 2 loại).
Cụ thể: Gọi số lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 x
(hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480
* Giai đoạn 3: Lập phơng trình
Vì số lợng khoai bằng 3 lần số lợng cà chua. Do đó mối quan hệ sẽ là
khoai = 3. cà chua. Ta có phơng trình:
x = 3(480 x) (*)
hoặc x = 3y
x + y = 489 (**)
11
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:
Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*) hay
hệ phơng trình (**).
Giải (*) ta đợc x = 360kg
Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào x
+ y = 480.
* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức độ

Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp nhau.
Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của
Nam.
Hớng dẫn học sinh: Đây là bài toán chuyển động ngợc chiều khi 2 ngời
gặp nhau tại M tức là 2 ngời đã đi hết quãng đờng AB = 7m. Mà vận tốc của
Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, nh vậy có mối quan hệ nh thế nào với cả 2 ngời
trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề bài và tự đặt
đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và một đại lợng khác.
A M B
* Lời giải:
Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là
3/4x. Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quãng đờng là 1/4x. Sau 1/4h Lan đi đợc
quãng đờng là 3/4x . 1/4h cả 2 ngời đi đợc quãng đờng AB. Vậy ta có phơng
trình:
7
4
1
.
4
3
4
1
=+
xx
(1)
<=>
7
16
3
4

hkm /16
4
1
:4
=
hkm /12
4
1
:3
=
Bài toán 2: (Đại số 9 Ngô Hữu Dũng)
Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất 8h20.
Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng. Biết rằng vận tốc của dòng nớc là
4km/h.
* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận tốc
thực của tàu thuỷ khi ngợc dòng và xuôi dòng khác nhau.
- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng n-
ớc.
- Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực vận tốc dòng n-
ớc.
* Lời giải:
14
Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h). Do vậy khi
xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x 4. Thời
gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4
Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x 4.
Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mất 8h20
hh
3
25

Vậy x = 20 thoả mãn đề bài và phơng trình. Vậy vận tốc của tàu thuỷ khi
yên lặng là 20km/h.
Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đã hình thành cho học sinh làm
quen với việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. ở đây
mới cố gắng nêu 2 cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, phơng
trình bậc 2 và hệ phơng trình.
+ Trong dạng toán chuyển động, học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại
cơng quãng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt. Do đó khi
giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện luôn luôn dơng. Sau
đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài toán để xây dựng phơng
trình (hệ phơng trình).
+ Cần lu ý trong dạng toán chuyển động cũng có thể chai ra nhiều dạng
nhỏ và cần lu ý.
- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian có
tỷ lệ nghịch với nhau.
- Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định (bài 9 sách đại 8
Nguyễn Duy Thuận) thì cách lập phơng trình nh sau:
15