Soạn: Hè 2009
Giảng:Hè 2009
Chuyên đề
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC
I/ PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
*/ Sơ đồ đoạn thẳng là hình ảnh trực quan biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng
đã cho và các đại lượng phải tìm. Việc lựa chọn độ dài của các đoạn thẳng để biểu
diễn các đại lượng và sắp thứ tự của các đoạn thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp
chúng ta tìm được lời giải một cách tường minh.
*/ Ví dụ 1:
Tìm số bị chia và số chia biết rằng thương bằng 5, dư bằng 12 và tổng của số bị chia,
số chia và số dư bằng 150
GIẢI:
+/ Vẽ sơ đồ đoạn thẳng : Số chia ____
Số bị chia ______________________ } 150
Số dư ___
Theo bài ra ta có:
Số bị chia + số chia + số dư = 150
Nhìn vào sơ đồ, dễ thấy: 6 lần số chia bằng: 150-12-12 = 126
Vậy số chia bằng: 126 : 6 = 21
Số bị chia bằng : 21.5 + 12 = 117
*/ Ví dụ 2:
Tuổi anh hiện nay gấp ba lần tuổi em trước kia, lúc anh bằng tuổi em hiện nay.Khi
tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tổng số tuổi của hai người sẽ là 28.
Tính tuổi của mỗi người hiện nay?
GIẢI: Ta tóm tắt lại bài toán như sau:
-Tuổi anh hiện nay = 3 lần tuổi em trước kia
- Tuổi anh trước kia = Tuổi em hiện nay
- Tuổi em sau này = Tuổi anh hiện nay
- Tuổi anh sau này + Tuổi em sau này = 28
+/ Vẽ sơ đồ biểu thị tuổi em trước kia bằng đoạn thẳng AB

16 tuổi x x
Năm 2008 TS tuổi của hai chị em là 11 + 5 = 16 ( tuổi )
Gọi x là số năm tăng thêm khi mà tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em. Mỗi năm
mỗi người đều tăng thêm 1 tuổi do đó TS tuổi tăng của hai chi em gấp đôi số tuổi
tăng của bố.
Nhìn vào sơ đồ ta thấy x = 40 – 16 = 24
Vậy sau 24 năm nữa tuổi bố sẽ bằng TS tuổi của hai chị em. Khi đó là năm 2032
B à i 3 : Tìm số tự nhiên có tận cùng bằng 7, biết rằng sau khi xóa chữ số 7 đó thì số
ấy giảm đi 484 đơn vị.
HD giải:
Ta nhận thấy rằng nếu xóa đi cs 7 ở tận cùng của một số nghĩa là trừ số đó đi 7 đơn
vị rồi chia cho 10 .
+/ Vẽ sơ đồ biểu diễn mối quan hệ giữa số mới ( đã bị xóa đi cs 7) và số đã
cho: Số mới: .____.
Số đã cho: .____.____.____.____.____.____.____.____.____.____._ 7_.
Nhìn vào sơ đồ dễ thấy số phải tìm là:
[(484 – 7) : 9 ]. 10 + 7 = 537
Bài 4 : Hai ngăn sách lúc đầu có tổng cộng118 cuốn. Sau khi lấy đi 8 cuốn ở ngăn
I, thêm 10 cuốn vào ngăn II, thì số sách ở ngăn II gấp đôi số sách ở ngăn I. Tính số
sách ở mỗi ngăn lúc đầu?
HD giải
+/ Vẽ sơ đồ biểu diễn sô sách ở hai ngăn lúc sau
( số sách ở ngăn II gấp đôi ngăn I)
Ngăn I ._____.
Ngăn II ._____._____.
Theo bài ra só sách ở hai ngăn lúc đầu la 118 cuốn
só sách ở hai ngăn lúc sau là 118 – 8 + 10 = 120
Nhìn vào sơ đồ thấy ngay số sách ở ngăn I lúc sau là (120: 3).1 = 40 ( cuốn)
Số sách ở ngăn II lúc sau là ( 12 : 3) . 2 = 80 (cuốn)
Số sách ở ngăn I lúc đầu là: 40+8 = 48 ( cuốn)

Khi con học hết bậc TH thì tuổi mẹ bằng 1/5 TS tuổi của những người còn lại
khi con vào ĐH thì tuổi mẹ vẫn bằng 1/5 tổng số tuổi của những người ấy.
Mỗi năm, mỗi người tăng 1 tuổi => Số tuổi tăng thêm của mẹ bằng 1/5 số tuổi tăng
thêm của những người còn lại
Vậy số người còn lại trong gia đình là 5 người, kể cả mẹ, gia đình đó có 6 người.
BTVN
Bài 8: Cho phân số
149
95
. Bớt tử và mẫu cùng một số a thì phân số rút gọn được
thành
5
3
. Tìm số a ? ( ĐS: a = 14)
Bài 9 : Mẫu của một phân số lớn hơn tử 3507 đơn vị, sau khi rút gọn ta được phân
số
12
5
. Hãy tìm phân số khi chưa rút gọn ? (ĐS: 2505/ 6012)
Bài 10: Lớp 7A của trường THCS chất lượng cao chỉ có hai loại HS giỏi và HS khá.
Cuối HKI số HS giỏi bằng
7
2
số HS khá. Đến cuối năm có thêm 1 HS khá được xếp
vào loại giỏi nên số HS giỏi bằng
3
1
số HS khá. Tính số HS của lớp 7A ? ( ĐS: 36)
II/ PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN:
*/ Khi giải các bài toán về số tự nhiên,ta xét mọi trường hợp có thể xảy ra đối với một

Mặt khác từ b
2
= a.c => b
2
= 6.0 = 0 = 0
2
b
2
= 7.1 = 7 ( Loại)
b
2
= 8.2 = 16 = 4
2
b
2
= 9.3 = 27 ( loại)
Vậy có hai số thỏa mãn ĐK bài ra là số 600 và 842
*/ Ví dụ 2:
Tìm số tự nhiên có ba cs biết rằng số đó chia hết cho 18 và các cs của nó nếu sắp
xếp từ nhỏ đến lớn thì tỷ lệ với 1; 2; 3
GIẢI
Gọi số có ba cs phải tìm là A
Vì các cs của A tỉ lệ với 1; 2; 3 nên các cs của A có thể là 1; 2; 3 hoặc 2; 4; 6 hoặc
3; 6; 9
Lại có A

18 =>{ A

9=> tổng các cs của A chia hết cho 9 do đó chỉ có bộ ba số
A

. Theo bài ra ta có
a + c = 2b (*) và
abc

45 (**)
Từ
abc

45 =>
abc


5 và
abc

9
Từ
abc


5 => c
∈
{ 0; 5 }
+/ Với c = 0 => a = 2b và a + b + c

9 hay 3b

9 => b

3

Từ (2) => 99a – 99c = 396 => a – c = 4 kết hợp với (1) => c = 2 và a= 6
Ta có
26b
-
62b
= 396 => 0b = 0 thỏa mãn với mọi b
∈
N
Mặt khác theo bài ra 0
≤
b
≤
9
Vậy các số thỏa mãn ĐK bài ra có dạng
26b
với b
∈
{ 0; 1; 2; 3;….; 9 }
Bài 4:
Năm sinh của hai nhà Toán học Việt Nam thời trước là một số có bốn cs, số đó
không thay đổi khi đổi chỗ các cs hàng nghìn và hàng đơn vị, hàng trăm và hàng
chục, ngoài ra tổng của 4 cs đó bằng 10. Tìm năm sinh của hai nhà toán học đó ?
HD giải:
Gọi năm sinh của hai nhà toán học đó là
abba
. Theo bài ra ta có
a + b + b + a = 10 => a + b = 5
Dễ thấy 1
≤
a < 2 => a = 1 Từ đó b = 4

Ta nhận xét rằng tuổi của mỗi người là một số tự nhiên. Năm nay tuổi bà gấp 3,2 lần
tuổi cháu, để tuổi bà là một số tự nhiên thì tuổi cháu phải có cs tận cùng là 0 hoặc 5
mười năm về trước tuổi bà gấp 5,4 lần tuổi cháu => hiện nay tuổi cháu phải > 10
Bà thường ước bà sống được trăm tuổi => tuổi bà < 100
=> tuổi cháu < 35 ( vì 35 .3,2 > 100)
Do đó tuổi cháu
∈
{ 15; 20; 25; 30 }
Tương ứng tuổi bà
∈
{ 48; 64; 80; 96 }
Trong các cặp số này chỉ có cặp ( 20; 64 ) thỏa mãn ĐK mười năm trước tuổi bà gấp
5,4 lần tuổi cháu.
Vậy hiện nay bà 64 tuổi, cháu 20 tuổi
Bài 7:
Hưởng ứng phong trào thi đua chào mừng năm học mới, trong ba tuần đầu tháng 9,
các bạn HS lớp 7A đã đạt được 28 điểm 10. Biết rằng số điểm 10 của tuần sau cao
hơn tuần trước và số điểm 10 của tuần thứ ba gấp ba lần số điểm 10 của tuần đầu.
Hỏi mỗi tuần lớp 7A đạt được bao nhiêu điểm 10 ?
HD giải:
Gọi số điểm 10 của các tuần lần lượt là a; b; c . a
≠
0; b
≠
0; c
≠
0
Theo bài ra ta có a < b < c ; c = 3a và a + b + c = 28
Vì c = 3a => 4a + b = 28 => b


Bài 9:
a/ Tìm ba cs khác nhau và khác 0, biết rằng tổng các số tự nhiên có ba cs gồm cả ba
cs ấy bằng 1554
b/ Tìm ba cs khác nhau và khác 0, biết rằng tổng các số tự nhiên có ba cs gồm cả ba
cs ấy bằng 2886 còn hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng 495
c/ Có ba tờ bìa ghi các số 23; 79; và
ab
. Xếp ba tờ bìa thành một hàng thì được một
số có 6 cs, cộng tất cả các số có 6 cs đó lại ( bằng cách đổi chỗ các tờ bìa) thì được
2 989 896. Tìm số
ab
?
HD giải:
a/ Gọi ba số phải tìm là a,b,c. Theo bài ra ta có a
≠
b
≠
c
≠
0
và
abc
+
bca
+
cab
+
acb
+
bac

+
cba
= 2886
Và
abc
-
cba
= 495
Từ
abc
+
bca
+
cab
+
acb
+
bac
+
cba
= 2886
=> 222a + 222b + 222c = 2886 => a + b + c = 13
Lại có
abc
-
cba
= 495  99a – 99c = 495
a – c = 5 => a
∈
{ 6, 7, 8, 9 }

ab
= 929 292
=>
ab
= 46
Bài 10
Tìm số tự nhiên x, biết rằng tổng các cs của x bằng y, tổng các cs của y
bằng z và x + y + z = 60
HD giải
Dễ thấy x là số có hai cs. Đặt x =
ab
= 10 a + b
Khi đó y = a + b. Có hai trường hợp xảy ra đối với z
+/ Trường hợp y = a + b
≤
9 thì z = a + b
+/ Trường hợp y = a + b
≥
10 thì z = a + b – 9

- Xét trường hợp y = a + b
≤
9:
Ta có x + y + z = 10a + b + (a + b) + (a + b) = 60
=> 12a + 3b = 60
=> 4a + b = 20 => b

4 Vậy b
∈
{ 0; 4; 8 }

nguyên và một số thuộc tính thay đổi
+ Hình dung ra một đối tượng mới có những thuộc tính nhất định…
Vấn đề là phải biết chọn cách giả thiết tạm một cách hợp lý .
*/ Các ví dụ
VD1 : Bài toán cổ “ Vừa gà, vừa chó
Bó lại cho tròn,
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn”
Hỏi có mấy con gà, mấy con chó ?
GIẢI:
+ Phân tích :
Đây là một bài toán cổ rất phổ biến. Rõ ràng cả 36 con không thể toàn là chó hoặc
toàn là gà được, vì nếu như thế thì số chân ( 36.4=144) hoặc ( 36.2= 72) đều không
phù hợp với giả thiết của bài toán. Song ta lại giả thiết có trường hợp ấy, để từ sự
chênh lệch của số chân của TS các con vật với số chân của từng con gà, con chó mà
suy ra số con vật mỗi loại .
+/ Lời giải: Giả sử cả 36 con đều là gà
Khi đó tổng số chân là : 36 .2 = 72 ( chân)
So với bài ra bị hụt đi 100- 72 = 28 ( chân)
Sở dĩ bị hụt đi như vậy vì trong số các con vật còn có chó. Nếu thay mỗi con
gà bởi một con chó thì mỗi lần thay thêm được :
4 – 2 = 2 ( chân)
Vậy số chó là : 28 : 2 = 14 ( con)
Số gà là 36 – 14 =22 ( con)
VD2 : Bạn Nam đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 10 km/h, rồi đi tiếp từ B đến C
với vận tốc 15 km/h. Biết rằng quãng đường BC ngắn hơn quãng đương AB là 1 km
và thời gian đi quãng đường BC ít hơn thời gian đi quãng đường AB là 16 phút. Tính
quãng đường AB ?
Giải:
Ta giả sử từ B bạn Nam đi với thời gian như thời gian đi trên quãng đường AB

quyển vở và 5 bút chì cùng loại hết 27500 đồng. Tính giá một quyển vở và một bút
chì.
HD giải:
Giả sử An mua gấp đôi số hàng đã mua là 24 quyển vở và 8 bút chì hết
36 000. 2 = 72 000 đ,
Bích mua gấp ba số hàng đã mua là 24 quyển vở và 15 bút chì hết
27 500 . 3 = 82 500 đ,
Như vậy Bích mua nhiều hơn An 15 – 8 = 7 ( bút chì)
Số tiền chênh lệch là 82 500 - 72 000 = 10 500 đ,
Vậy giá tiền một bút chì là 10 500 : 7 = 1 500 đ,
Giá tiền một quyển vở là ( 36 000 – 4. 1 500) : 12 = 2 500 đ,
Bài 3: Người ta bơm nước vào một bể: dùng máy I trong 30 phút, dùng máy II trong
20 phút. Tính xem trong mỗi phút mỗi máy bơm được bao nhiêu lít nước, biết rằng
mỗi phút máy II bơm được nhiều hơn máy I là 50 lít và tổng cộng hai máy bơm được
21000 lít nước.
HD giải:
Mỗi phút máy II bơm được nhiều hơn máy I là 50 lít, do đó trong 20 phút , máy
II bơm được nhiều hơn máy I là 50. 20 = 1000 (l)
Giả sử trong mõi phút , máy II và máy I cùng bơm được số lít nước như nhau . Khi đó
trong thời gian 50 phút cả hai máy bơm được:
21 000 – 1000 = 20 000 (l)
Vậy trong mỗi phút máy I bơm được 20 000: 50 = 400 (l)
mỗi phút máy II bơm được 400 + 50 = 450 (l)
Bài 4: Một tổ may phải may 1800 chiếc cả quần và áo trong 13 giờ. Trong 8 giờ đầu
tổ may áo và trong thời gian còn lại tổ may quần. Biết rằng trong 1 giờ, tổ may được
số áo nhiều hơn số quần là 30 chiếc. Tính số áo và số quần tổ đã may.
HD giải:
Giả sử trong thời gian còn lại tổ vẫn may áo . Khi đó số áo may thêm được là:
(13 – 8). 30 = 150 ( chiếc)
Số áo tổ đó may được trong 13 giờ là :

Vậy số quả cam là : 49 : 7 = 7 (quả)
Số quýt là 17 – 7 = 10 (quả)
Bài 7: Khối 6 của một trường có 366 học sinh, gồm 8 lớp. Mỗi lớp gồm một số tổ,
mỗi tổ 9 người hoặc 10 người. Biết rằng số tổ của các lớp đều bằng nhau, tính số tổ
có 9 người, số tổ có 10 người của cả khối.
HD giải:
. Mỗi lớp gồm một số tổ mỗi tổ 9 người hoặc 10 người, Trước hết ta nhận thấy
366 : 10 = 36 còn dư
366 : 9 = 40 còn dư
Do đó số tổ của các lớp nằm trong khoảng từ 37 đến 40
Mặt khác số tổ chia hết cho 8 => Số tổ của khối lớp 6 đó là 40 tổ
Giả sử cả 40 tổ đều là tổ 10 người. Khi đó số HS của khối là:
40 .10 = 400 (HS)
So với bài ra thừa ra 400 – 366 = 34 (HS) là do còn có tổ 9 người.
Nếu thay mỗi tổ 10 người bằng một tổ 9 người thì mỗi lần thay bớt được : 10 – 9 =1
Vậy số tổ có 9 người là 34 : 1 = 34 ( tổ)
Số tổ có 10 người là 40 – 34 = 6 (tổ)
Bài 8: Một đội bóng thi đấu 25 trận, chỉ có thắng và hòa, mỗi trận thắng được 3
điểm, mỗi trận hòa được 1 điểm, kết quả đội đó được 59 điểm. Tính số trận thắng, số
trận hòa của độ bóng.
HD giải
Giả sử cả 25 trận đều thắng. Khi dó số diểm đội đó có được là :
25 . 3 = 75 (điểm)
So với bài ra thừa ra 75 – 59 = 16 ( điểm) –> là do còn có trận hòa
Chênh lệch điểm số của trận thắng và trận hòa là : 3-1 = 2
Như vậy nếu thay mỗi trận thắng bằng một trận hòa thì mỗi lần thay giảm được 2
điểm => Số trận hòa là 16 : 2 = 8 ( trận)
Số trận thắng là 25 – 8 = 17 ( trận)