Hệ phương trình hai ẩn
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =

Cách giải:
b1. Tính các đònh thức:
1 1
2 2
a b
D
a b
=
;
1 1
x
2 2
c b
D
c b
=
;
1 1
y


≠ ≠


: Hệ phương trình vô nghiệm
iii/.
x y
D D D 0
= = =
: Hệ phương trình có thể vô nghiệm, có thể vô số nghiệm
( nên thay giá trò cụ thể vào hệ phương trình rồi kết luận )
2. Các ví dụ:
VD1: Cho hệ phương trình:
x my 3m
mx y 2m 1
+ =


+ = +

(I)
1. Giải và biện luận hệ (I)
2. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0
), tìm các giá trò nguyên của m sao cho x
0
và y
0

2
x 2ay b
ax (1 a)y b
+ =


+ − =

( ĐH Công Đoàn 98 )
3. Bài tập làm thêm:
B1. Giải và biện luận hệ phương trình
2 3
2 3
(a 1)x (a 1)y a 1
(a 1)x (a 1)y a 1

− + − = −


+ + + = +


B2. Cho hệ phương trình
mx 2y m 1
2x my 2m 5
+ = +


+ = +




thay x bởi y
và thay y bởi x
¬ →

f(y;x) 0
g(y;x) 0
=


=

Chẳng hạn: hệ phương trình
2 2
x y xy 11
x y 3(x y) 28
+ + =


+ + + =

3. Cách giải:
b1. Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy. Ta được:
F(S;P) 0
G(S;P) 0
=


=

0
; P
0
)
⇔

2
S 4P 0
− ≥
b). Nếu
2
0 0
S 4P 0
− >
thì phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
2
0 0 0
1
S S 4P
t
2
− −
=
và
2
0 0 0
2
S S 4P
t
2

S
t t
2
= =
Khi đó hệ (1) có 1 nghiệm tương ứng
0
S
x y
2
= =
d). Do tính đối xứng,
“ nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của hệ (1) thì (y
0
; x
0
) cũng là một nghiệm của hệ (1)” .
Do đó: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm này có dạng (x
0
; x
0
)
e). Các biểu thức đối xứng thông dụng:
( )
2
2 2 2
x y x y 2xy S 2P


+ =


( ĐH Mỏ – Đòa chất 98 )
VD2: Ch hệ phương trình
2 2
x xy y 2m 1
x y xy m(m 1)
+ + = +


+ = +

(I) ( ĐHQG Hà Nội 99 )
1. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm
2. Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất.
VD3: Tìm các giá trò của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm
2 2
2
x y 2(1 a)
(x y) 4

+ = +


+ =


( ĐH Y Dược TpHCM 98 )

( Báo chí, Tuyên truyền 98, khối D )
1. Giải hệ phương trình khi m = 1
2. Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm
B3. Cho hệ phương trình
2 2 2
x y m 1
x y xy 2m m 3
+ = +


+ = − −

( ĐH Su phạm Quy Nhơn 99 )
1. Giải hệ phương trình với m = 3
2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm
B4. Giải hệ phương trình
2 2
4 2 2 4
x y 5
x x y y 13

+ =


− + =


( ĐH Ngoại thương 98 )
B5. Giải hệ phương trình
2 2

2 2
x y xy 11
x y 3(x y) 28
+ + =


+ + + =

( ĐHQGHCM 2000, khối D )
B8. Giải hệ phương trình
2 2
4 4 2 2
x y xy 7
x y x y 21

+ + =


+ + =


( ĐH Sưphạm HàNội 2000, khối B )
B9. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2x 2y 3x 3y 6 0
x y xy 19 0

+ + + − =



Ta có:
( ) ( )
thay x bởi y
và thay y bởi x
f(x;y) 0 1 f(y;x) 0 2= ¬ → =
Chẳng hạn: hệ phương trình
2
2
x 2x 3y 0
y 2y 3x 0

− − =


− − =


3. Cách giải:
b1. Biến đổi
( )
( )
f(x;y) 0 1
f(y;x) 0 2

=


=


B
f(x;y) 0

=



=



=



=



b2. Giải hệ phương trình (A) và (B)
Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) về hệ phương trình đối xứng loại 1 để giải như sau:
( )
g(x;y) 0
B
f(x;y) 0
=


=



( ĐHQG Hà Nội 99, khối B )
Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - Page 5