Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phần 1. Lợng giác
1. Công thức lợng giác
a) Công thức cộng
( )
sin sin cos cos sin =
( )
cos cos cos sin sin = +
( )
cos cos cos sin sin + =
( )
tan tan
tan
1 tan tan

=
+
( )
tan tan
tan
1 tan tan
+
+ =

b) Công thức cung nhân đôi
sin 2 sin cos =
2 2
2
2
cos sin

cos cos 2sin sin
2 2
+
=
sin sin 2sin cos
2 2
+
+ =
sin sin 2 cos sin
2 2
+
=
( )
sin
tan tan
cos cos
+
+ =

( )
sin
tan tan
cos cos

=

( )
sin
cot cot
sin sin

Xem phơng trình có thuộc một trong các dạng sau:
+) A
2
+ B
2
= 0
+)
A B 0+ =
+) Dạng đối lập
A M
A M
B M
B M
A B


=

=


=

+) Dạng
1
1
1



+ =
ữ

Dạng 2. Phơng trình bậc nhất, bậc hai theo một hàm số lợng giác
a)
3 2sin 2x 0 =
b) tan3x.tanx=1
c) Giải và biện luận (4m-1)sinx = m sinx 8
d) sin
2
2x 2cos
2
x +
3
4
= 0
e)
4 2
tan x 4 tan x 3 0 + =
f) cos2x + 9cosx + 5 = 0
h) Giải và biện luận: m.cos2x 2m + 3 = (2m +3)cosx
Dạng 3. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c
a)
3 2
2sin x sin x
4 4 2



( )
2sin 2x 3 3 sin x cos x 8 0 + + =
e)
cos x sin x 3sin 2x 1 0 + =
f) Xác định m để phơng trình sau có nghiệm:
sin x cosx sin x cosx m 0 + =

về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản
về pt bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) cos(x-2) = - cos(5x+2)
2) tanx = cot(x+60
o
), x(0
o
; 270
o
)
3) sinx
2
= cosx
2

4) cos(x
2
-x) = sin(x-

/2)
5) tan3x + cot2x = 0
6) tan(

2
x + (2m-1)cos
2
(x+

) = m
2) m(tanx + cotx) = 2cotx
Bài 4: Giải phơng trình lợng giác
1) sinx - cosx =
2
31
+
, x(0; 2

)
2) sin
2
x - 2sinxcosx = 5
3) 2sin
2
5x +(3+
3
)sin5xcos5x +
+ (
3
-1) cos
2
5x = -1
4)
3

##
đại số hoá ptlg
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) sin
2
x +
3
cos
2
x +
3
cosxsinx = -
2
1
sin2x
2) 2
2
sin
2
x -
3
sin2x =
2
-
6

3) 2sin
2
x + sin 2x =-1
4) cosx + sinx - 4sin

3
x +cotx +cot
2
x+ cot
3
x =6
8)
1tan2
2cos1
2cos1
=
+

x
x
x
Bài 3: Giải phơng trình lợng giác
1) 1+ sin2x = cosx + sinx
2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0
4) sin
3
x - cos
3
x = cos2x
5) sin
3
x + cos
3
x = cosx + sinx+ sin2x
6) cosx - sinx + 4sin2x = 1

2
2
x
x
x
x
4) 2cos
2
(6x/5) + 1 = 3cos(8x/5)
5)
6
1sin4cos3
6
sin4cos3
=
++
++
xx
xx
6) sin
4
x +(1+ sinx)
4
= 17
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 4
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ptlg đa về dạng tích
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác

x + sin
2
2x+ sin
2
3x = 3/2
2) cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0
3) cos
3
xcos3x +sin
3
x sin3x =
2
/4
4) cos
3
xcos3x +sin
3
x sin3x = cos
3
4x
5) sin
4
x + cos
4
x + cos(x-/4)sin(3x-/4) = 3/2
6) cos

+
=
x
x
x
3
3
2
sin1
cos1
tan)3


=
4) tan20
0
tanx+ tan40
0
tanx + tan20
0
tan40
0
=1
5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x
6) tan
2
2x- tan
2
3x- tan
2

2
cosC = 3.
Ptlg chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm
msin2x + cos2x + sin
2
x + m = 0
Bài 2: Cho phơng trình
msinx + (m+1)cosx = m/cosx
1) Giải phơng trình với m = 1/2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm ?
3) Tìm m để phơng trình có nghiệm x(0;

/2) ?
Bài 3: Cho phơng trình
(1-m)tan
2
x -2(1/cosx) +1+3m = 0
1) Giải phơng trình với m = 1/2
2) Tìm m để phơng trình có nhiều hơn một nghiệm x(0;

/2) ?
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 5
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 4: Tìm m để phơng trình có nghiệm
m(tanx - cotx) = tan
2
x + cot

5
10 5
2
cos5 0
cos2 0 2 , ( , , )
2 4 2
cos 0
2 2

k

x
x k
x
l
x x k x k l n
x

x k x n


= +
= +


=





6
x(2cos
2
x1) = sin
6
x(12sin
2
x)
cos2x(sin
6
xcos
6
x) = 0
cos2x(sin
2
xcos
2
x)(1+sin
2
x.cos
2
x) = 0
cos2x = 0

2 ,( )
2 4 2
k
x k x k= + = + Â
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
6 3 4


x x
+ =
+ =
+ + + =
+ =
+ =
=
= = ,( )k k+ Â
Phng phỏp 2: t n ph a phng trỡnh lng giỏc v phng trỡnh i s:
Vớ d 4. Gii phng trỡnh lng giỏc:
8 8
17
sin cos
32
x x+ =
(4).
Gii
Ta cú (4)
4 4
4 2
1 cos 2 1 cos 2 17 1 17
(cos 2 6 cos 2 1)
2 2 32 8 32
x x
x x
+

+ = + + =
ữ ữ

t x
+
= = =
cos4x = 0
4 ,( )
2 8 4

x k x k k= + = + Â
Vớ d 5. Gii phng trỡnh lng giỏc: 2sin
3
x cos2x + cosx = 0 (5)
Gii
Ta cú (5) 2(1 cos
2
x)sinx + 2 2 cos
2
x + cosx 1 = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] = 0
(1 cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 ,( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
x x k k
x x x x
= =



+ + + =

Â

2 , ( , ) x k n k= Â
Phng phỏp 3: Quy phng trỡnh lng giỏc v vic gii h phng trỡnh lng giỏc
bng cỏch ỏnh giỏ, so sỏnh, s dng bt ng thc.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 7
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vớ d 6. Gii phng trỡnh:
|sin |
cos
x
x=
(6).
Gii
iu kin: x 0
Do
| sin | 0,x
nờn
|sin | 0
1
x
=
, m |cosx| 1.
Do ú
2 2 2
0
| sin | 0 ,( )
(6)
0
| cos | 1 ,( )

2
1 cos
2
x
x =
.
Gii
t
2
( )= cos
2
x
f x x +
. D thy f(x) = f(x),
x

Ă
, do ú f(x) l hm s chn vỡ vy trc
ht ta ch xột vi x 0.
Ta cú: f(x)=sinx+x, f(x) = cosx+1, x0 f(x) l hm ng bin, do ú f(x)f(0),
vi x0 f(x) ng bin vi x0 .
Mt khỏc ta thy f(0)=0, do ú x=0 l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 8: (H Bỏch Khoa) Vi n l s t nhiờn bt kỡ ln hn 2, tỡm x thuc khong
0;
2


ữ

tho món phng trỡnh:


) =
2
2
2
n

Vy x =
4

l nghim duy nht ca phng trỡnh ó cho.
BI TP
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1. cos
3
x+cos
2
x+2sinx2 = 0 (Hc Vin Ngõn Hng) S:
2 ; 2
2
x k x n


= = +
2. tanx.sin
2
x2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (H M a Cht)
HD: Chia hai v cho sin

2
x k x n x l


= + = + = +
vi
1
sin
4

=
.
6. sinx4sin
3
x+cosx =0 (H Y H Ni) S:
4
x k


= +
.
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x


= +
ữ ữ


2
x
x
x



+ =
ữ
ữ

S:
4
8
5
8
x k
x k
x k









HD: a v cung x t tha s S:
2
2 ( )
4 3
x k x k k= + = + Â
12.Gii phng trỡnh lng giỏc:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x

=
+
Gii
iu kin:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+





x k





= +

=


= +


Â
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 9
Giáo án ôn tập hè khối 11 ban KHTN Ngày soạn: 10/09/2013
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
So vi iu kin, ta c h nghim ca phng trỡnh ó cho l
( )
2
4
x k k


= + Â
13.Gii phng trỡnh:
( )
4 4

x x
x x x


= +
ữ

2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x

= = =
Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim.
14.Gii phng trỡnh:
xxx tansin2)
4
(sin2
22
=

.
Gii

2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
+ + =
+ + + =
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
=+
xxxxxxxx
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
+ =

=

=

=



+
ữ

Gii
cosx=8sin
3
6
x


+
ữ


cosx =
( )
3
3 sin cosx x+

3 2 2 3
3 3 sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0x x x x x x x+ + + =
(3)
Ta thy cosx = 0 khụng l nghiờm
(3)
3 2
3 3 tan 8tan 3 3 tan 0x x x+ + =
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Trơng Ngọc Hạnh Trang 10