Sáng kiến kinh nghiệm

Năm 2018

MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN
Mã số: ………………………….
Tên sáng kiến: Một số bài toán liên quan đến tỉ lệ thể tích của hình chóp và lăng trụ
trong hình học 12.
(Lê Văn Thu, Nguyễn Văn Hận, @THPT Trần Trường Sinh)
Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực chuyên môn trong phạm vi “Chương I – Hình học 12”
Mô tả giải pháp:
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Trước đây việc dạy và thi toán chỉ trên cơ sở tự luận nên khi trình bày một bài toán
hoặc một dạng toán đòi hỏi học sinh phải trình bày chặt chẽ, có logic và khoa học. Nhưng
bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 Bộ GD&ĐT đã thay đổi đối với môn toán phải thi trắc
nghiệm khách quan 100% nên việc giải nhanh và chọn đúng đáp án là rất cần thiết. Học
sinh càng có nhiều công cụ làm toán càng tốt, đặc biệt là các chuyên đề khó đối với học
sinh như hình học không gian!
Khi giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thể tích, nếu chỉ dùng các công thức cơ bản
trong sách giáo khoa thì đôi khi việc giải toán tốn khá nhiều thời gian trừ khi đó là bài toán
dễ thấy các tỉ lệ, khó khăn nhất là phải kẻ thêm các đường phụ để tính toán các tỉ lệ giữa các
đoạn thẳng. Do đó, đề này cung cấp thêm hai công thức về tỉ lệ về thể tích lăng trụ và hình
chóp bên cạnh công thức thể tích đã được học trong sách giáo khoa.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
a) Mục đích của giải pháp.
Nhằm cung cấp cho giúp các em học sinh lớp 12 một số công thức liên quan đến tỉ lệ
thể tích và một vài kỹ thuật áp dụng giúp các em học sinh định hướng tư duy và giải nhanh
hơn trong việc thi toán bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan.
b) Những điểm khác biệt, điểm mới của giải pháp.
Áp dụng linh hoạt các công thức liên quan đến tỉ lệ thể tích để giải nhanh hơn so với
việc chỉ nắm các công thức cơ bản về thể tích.

1
S BB��
C C . AI � 2VABC . A���
B C  S BB ��
C C . AI
2

Với AI đoạn vuông góc kẻ từ A đến mặt phẳng (BB’C’C).
Ta có, VABCA1B1C1  VA1 .BB1C1C  VAA1BC

1
1
VA1 .BB1C1C  sBB1C1C . AI  ( BB1  CC1 ).BC. AI
3
6
1 �BB CC �
 � 1 1�
.VABC . A ' B ' C '
3 �BB� CC �
�
VAA1BC 

uuu
r uuur uuur 1 AA
1�
AB
, AC �
. AA1  . 1 .VABC . A ' B 'C '
�
�

Năm 2018

Bài tập 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, lấy A1 , B1 , C1 lần lượt thuộc cạnh AA’, BB’, CC’ sao
cho

BB1 1 CC1 1 AA1 m
m
 ,
 ,
 , với
là phân số tối giản. Biết mặt phẳng ( A1 B 1 C1 ) cắt lăng
BB� 3 CC � 2 AA� n
n

trụ đã cho thành hai khối có thể tích bằng nhau. Tính 2m  3n  mn
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8
Lời giải. Theo công thức 1 và đề bài ta có

1 �m 1 1 �
1
m 2
VABCA1B1C1  �   �
.VABC . A ' B 'C '  VABC . A ' B 'C ' � 
3 �n 2 3 �

1 1 1
V�
 (0   )VABD. A ' B ' D '  (   x)VCBD.C ' B ' D '
3
2 3
3 2 3
1
1
1
1
 (0   x)VADC . A ' D ' C '  (0   x)VABC . A ' B 'C '
Mặt khác V �
3
2
3
3
2
3

Do AD  2 BC nên VABD. A ' B ' D '  VADC. A' D ' C '  2VABC . A' B ' C '  2VCBD.C ' B ' D '  V
5 2

5

1

1

�


�

Trang 3


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm 2018

1
1 1 2V 1 1 1 7 V 37
 (0   )
 (   ) 
V  37 . Đáp án B.
Vậy V �
3
2 3 3 3 2 3 12 3 108
Bài tập 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 108 (đvtt). Gọi G và G’ lần lượt là
trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’, I thuộc đoạn thẳng GG’ sao cho IG’ = 2IG. Mặt phẳng
qua I cắt cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại M, N, P; đồng thời chia lăng trụ đã cho thành hai
khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện gắn với đáy ABC của lăng trụ đã cho.
A. 36

B. 37

C. 38

D. 40

Lời giải. Do tính chất của lăng trụ nên I cũng là trọng tâm của tam giác MNP.

�

BÀI TẬP ÁP DỤNG LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC 2
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là V, ABCD là hình bình hành. Gọi E và F
lần lượt là điểm thuộc cạnh SB và SD sao cho

SE 2 SF 3
 ,
 , mặt phẳng (AEF) cắt SC tại
SB 3 SD 4

M. Thể tích của hình chóp S.AEMF bằng
A.

V
3

B.
D.

Lời giải. Đặt x 

17V
44

C.

7
V
11

11
44

Đáp án B.

Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 108
(đvtt) và ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của
SC. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD,
(P) cắt SB tại E, cắt SD tại F.
Tính thể tích hình chóp S.AEMF.
A. 35

B. 36

C. 39

D. 40

Lời giải. Do (P)// DB nên EF//BD.
Đặt x 

SE SF

 0 . Gọi V là thể tích hình chóp S.ABCD. Ta có,
SB SD

VS . AEF  VS .MEF  VS . AEM  VS . AFM
1.x.x.

V


•I

A. 8
B. 3
K
Trang 5

•G


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm 2018

C. 6
D. 4
Lời giải. Đặt x 

SM
SN
SP
,y
,z 
.
SA
SB
SC

Ta có, VS .MNP  xyzVS . ABC .

1

11
VS . ABC  xyzVS . ABC .
23
1

SA SB SC


 6 . Đáp án C.
Dẫn đến, xy  yz  zx  6 xyz � x  y  z  6 hay
SM SN SP

Chú ý: dữ kiện (Q) vuông góc với SG chỉ là dữ kiện gây nhiễu.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 18 (đvtt) , ABCD là hình thang có AD//BC.
Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (ABM) cắt cạnh SD tại N. Thể tích hình chóp
S.ABMN bằng 5 (đvtt). Tính thể tích hình chóp S.ABC.
A. 3

B. 4

C. 5

N N

M

Trang 6


2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra:

(2)

1 1
1
 .x.a  .x  x.a � x  ax  1 (3)
2 2
2

Mặt khác, 5  VS . ABMN  VS . ABM  VS . AMN 

(1  ax) 18
� 5a  4  9ax (4).
2 a 1

1
3

Kết hợp (3) và (4) ta được: x  , a  2 .
Thể tích hình chóp S.ABC bằng

V
 6 (đvtt). Đáp án D.
a 1