Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
1
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỔ HỢP
Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x=1 vào (1) ta được:

Vì (2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (n-1) số dương, ta có:

(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
(4)

Dấu “=” xảy ra ( trái gt)
Suy ra dấu “=” ở (4) không xảy ra. Suy ra đpcm. Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x = i và n = 2009 vào (1) ta được: (2)
Mặt khác, theo công thức Moavrơ:


 
 
 
-1
0 1 2 -1
2 2
. . ..... .
-1
n
n
n n
n n n n n
C C C C C
n
 


 
 
1 2 -1
..... 1
n
n n n
C C C n     
Bài 1
Bài 2
0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n n

2009 2009
(1 ) ( 2) (cos sin )
4 4
2 2 (cos sin ) 2 (1 ) 2 2
4 4
i i
i i i
 
 
   
     
1004
2S 
0 1 2 3 4 -1
....... 2
n n n
n n n n n n n
C C C C C C C       
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
2 Bài giải
Với n chẵn, ta có
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Thay x = vào (1) ta được:

 
2
2
2
( 1)
n
n
n
i i  
0 1 2 2 3 3 4 4 -1 -1
(1 ) .......
n n n n n
n n n n n n n
x C C x C x C x C x C x C x        
0 1 2 2 3 3 4 4
-1 -1
(1 tan ) tan ( tan ) ( tan ) ( tan )
....... ( tan ) ( tan )
n
n n n n n
n n n n
n n
i x C C i x C i x C i x C i x
C i x C i x
     
  
0 1 2 2 3 3 4 4
-1 -1
2 2
(1 tan ) tan tan tan tan

1
(1 tan ) (cos sin )
cos
n
n n
n
n
n
i x x i x x i x
x x
i x nx i nx
x
 
    
 
 
  
n
0 2 2 4 4 n n
2
n n n n
C C tan +C tan ....+(-1) C tanx x x 
n
cos
cos
nx
x

Bài 4
0 1 2 -1 1 2


(2)

Từ (*) và (2) suy ra S = 0
Vậy S = 0 với mọi n.
Bài giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
(1)
Nhân 2 vế của đẳng thức (1) cho x 0, ta được:
(2)
Lấy đạo hàm 2 vế của (2), ta có: (3)
Từ (3) thay x=2, ta có:
Vậy
 
     
       
       
0 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1
2 1 2 1
2 1 2 1-2(2 1) 2 1-2 2 1- 2(2 1)
( ) ( )
2 1- 2 2 1- 2( 1)
... ( )
m m
m m m m
m m
m m
m m m m m m
S
C C C C
m m m m
C C
 
   

 
     
    
  
  
Bài 5

C C C C n C n C n
 
          
0 2 1 2 2 3 3 1 -1 1
2 3.2 2 .4 ..... .2 ( 1).2 (2 3).3
n n n n n
n n n n n n
S C C C C n C n C n
 
          
1
(2 3).3
n
S n

 
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
4
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài giải

(1)

Tam giác ABC vuông tại C (đpcm)
Bài 1
-
0< , < 0 cos 1
4 4 4 4
B C B C
Vì B C B C
 
 
 
 
        
 
 
0 2 0 sin sin 0
4 2 4 4
B C A B C
Do B C
 

  
   
       
   
   
1 1
sin sin .cos sin .cos sin sin
4 4 4 4 4 2 2 2 2
A A B C B C B C B C

B A C


 

 
 
sin sin sin sin .sin .sin
4 4 4 2 2 2
A B C A B C
  
  
     

     
     
sin sin sin
2 2 2
- - -
cos cos cos 1
4 4 4
A B C
A B C
  
 
     
  
     
     
6

  
 
2 2
1 cos2 1 cos2 1
sin sin 1 cos2 cos2
2 2 2
1 cos( ).cos( - ) 1 cos .cos( - ) 1 ( osC 0,cos( - ) 0)
A B
A B A B
A B A B C A B Do c A B
 
     
       
2009
sin 1 sin 1 sin 1
2
C C C C

        
, (0; ) - os( - ) 0
2 2 2
Vì A B A B c A B
  

     
Phan Lễ Hải – 12 Toán - Sơn Tây Chúc thành công!
5