GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
4.Cho k số không âm
1 2

k
a a a
là các số thực dương
Cmr:
1 2
1 2
2 3 1
... ...
m
m m
m n m n m n
k
n
n n n
aa a
a a a
a a a
− − −
+ + + ≥ + + +
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
1 1 1
1
x y z
+ + =
.Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y z
A
y z x

n a b
x x x
x x x ab
+
 
+ + + + + + ≤
 ÷
 
11.Cho n là số nguyên dương;lấy
[ ]
2000;2001
i
x ∈
với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 ... 2 2 2 ... 2
n n
x x
x x x x
F
−
− −
= + + + + + +
12.Xét các số thực
1 2 2006
, ,...,x x x
thoả
1 2 2006

1
,
n n
i
i i
i
A a B
a
= =
= =
∑ ∑
.Cmr:
( )
1
B n m M A
mM
≤ + − 
 
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
14.Cho
0, 0, 1,
i i
a b i n≥ ≥ ∀ =
.Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n
n

A B C
 
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
2/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
B C
3
os os os
2 2 2
A
c c c
   
 ÷ ÷ ÷
 
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 
 ÷ ÷ ÷
   
3/
3
1 1 1 2

n
i i
i
a b x i n x
=
> > ∀ = =
∑
. Cmr:

( )
1 2
...
m
m m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
 
   
+ + + + + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
với m > 0
20.Cho
, , 0, 1a b c a b c> + + =
.Chứng minh rằng:

p
sin . os
q
F x x c x=
với
*
,Νp q Î
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức
( )
30 4 2004
, ,F a b c a b c=
24.Cho
, 0, 6x y x y³ + £
.Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/
( ) ( )
2002
, . . 6F x y x y x y= - -
2/
( ) ( )
2002
, . . 4F x y x y x y= - -
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
= + + +
+ +

1
1
n
i
n
i
x
n
=
£
Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
2 3
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr:
2 3
6
1
5
ab c £
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
29. Giả sử
1 2

-
-
30. (QG-98) Giả sử
1 2
, ,...,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1 1
1998 1998
n
i
i
x
=
=
å
+
Cmr:
1 2
. ...
1998
1
n
n
x x x
n
³
-

ë û
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
+ + + - - -
33.Cmr:
, 2n N n" Î ³
ta có
1 1 2
n n
n n
n n
n n
- + + <
34.Cho
[ ]
, , 0;1x y z Î
.Cmr:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3x y z x y y z z x+ + - + + £
35. Cho
[ ]
, , 0;2x y z Î
.Cmr:

1 1 1
3.2a b c
ab bc ca
α α α
α
     
+ + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
Trong đó
, , , 0a b c
α
>
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức
( )
2 2 2
P a x y z= + +
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn :
2 2 2 2
16
25
x y z xy a+ + + =
.Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn :
2 2 2 2
1
1
2

2 2
1a b+ =
và
c+d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd+cd
4
+
≤
3(HSG-NA-2005)
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
2 2
1a b+ =
và
c-d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd-cd
4
+
≤
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn :
2 2 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13a b a b c d c d x y+ + = + + + = + = +
Tìm GTNN của
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
P x a y b x c y d= − + − + − + −

a b c d ac bd− − + − − + − − ≤ .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có:
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 ; 36 12a b a b c d c d+ + = + + + = +
Cm:
( )
( ) ( )
( )
6 6
2 2
2 1 2 1a c b d− ≤ − + − ≤ +
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥


+ ≤


≥ ≥


ta có
2 2
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11c c c c
α α α α
≤ + + − ≤ +
2.Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 12 2 3y x x x x= − + + − − + +
3.a)Chứng minh bất đẳng thức:
sin 2 ; 0;
2
tgt t t t
π
 
+ ≥ ∀ ∈
÷

 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
A B C
1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A B C
c c c+ + +
+ + >
( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho
[ ]

Chứng minh :
1 1;y x− ≤ ≤ ∀
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
6.Chứng minh
sin sin sin 2A B C tgA tgB tgC
π
+ + + + + >
.với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh
sinx 1
2 2 2 ;0
2
tgx x
x
π
+
+ > < <
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện
( )
0,f x x≥ ∀
Cmr:
( ) ( ) ( )
( )
( )
, ,,
... 0,
n
f x f x f x f x x+ + + + ≥ ∀



≤ ≤ ≤

.Chứng minh rằng
( )
( )
1
p q p q
a p q a a
+
− ≥ + −
13.Cho
π
< <0
2
x
.Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
x
c
 
>
 ÷
 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:
( )
6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+ + + + + ≥

2 2 2
x
tgx
+
+ >
18Cho số nguyên lẻ
3n ≥
.Cmr:
0x∀ ≠
ta luôn có :
2 3 2 3
1 ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
  
+ + + + + − + − + − <
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
19.với giá trị nào của m thì
3 3
sin os ,x c x m x+ ≥ ∀
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
2 2
4 1

1 1 1
a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
Năm học 2006-2007
GV: Nguy ến Tất Thu- Biên Hòa Bài tập Đại số
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1
x
y
x x
+
− +
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1P x x y y z z= − + + − + + − +
24.Tìm GTNN của
( )
2 2 2
3 1 1 1 2P x y z x y z
 
= + + + + + − + +
 ÷
 
25. Cho

2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +
39.(Olp nhật 1997)Cho
, , 0a b c >
.Cmr:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
x y z
xyz
+ + =



3 1 3 2x x y y− + = + −
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
( ) ( )
2 2
sin osg x f x f c x=
QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( ) ( ) ( ) [ ]
1 , 1;1g x f x f x x= - Î -
( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và
, 0; ;
2
π
a b a b
æ ö

a b a a b
a b b
− −
< <
2.Chứng minh rằng nếu
0
2
a b
π
< < <
thì
2 2
os os
b a b a
tgb tga
c a c b
− −
< − <
Năm học 2006-2007