MA TRẬN ĐIỀU HOÀ
Chúng ta ai cũng biết bài toán vui xếp các số từ 1 đến 9 vào ma trận 3*3 sao cho tổng
các hàng, các cột và các đường chéo đều bằng 15. Khi n>3 thuật toán tháp chỉ có thể áp
dụng cho n lẽ. Chúng ta thử tìm một thuật toán khác áp dụng chung cho bất kỳ giá trị
nguyên n ≥ 3 :

Xếp ma trận ban đầu tuần tự theo từng cột 1 cho đến cột n theo thứ tự tăng dần. Bằng
cách xoay các đường chéo, các trục của ma trận một góc nhất định ta được ma trận có tổng
các hàng, các cột đối nghịch một giá trị cố định qua hai trục. Hoán vị mỗi hàng của ma trận
m cặp số qua trục tung, hoán vị mỗi cột của ma trận m’ cặp số qua trục hoành ta sẽ được ma
trận điều hòa. Tùy theo giá trị của n ta có 4 cách xoay như sau :

1) Trường hợp 1 : n = 3, 7, 11, … Đặt : m = (n - 3)/ 4.
B1: Xoay 2 đường chéo của ma trận qua tâm góc : 180
0
B2: Xoay 2 đường chéo và 2 trục của ma trận qua tâm góc : - 45
0
B3: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung
B4: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành
VD: n = 15 => m = (15 – 3)/4 = 3
225 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 15
2 209 32 47 62 77 92 107 122 137 152 167 182 29 212
3 18 193 48 63 78 93 108 123 138 153 168 43 198 213
4 19 34 177 64 79 94 109 124 139 154 57 184 199 214
5 20 35 50 161 80 95 110 125 140 71 170 185 200 215
6 21 36 51 66 145 96 111 126 85 156 171 186 201 216
7 22 37 52 67 82 129 112 99 142 157 172 187 202 217
8 23 38 53 68 83 98 113 128 143 158 173 188 203 218
9 24 39 54 69 84 127 114 97 144 159 174 189 204 219
10 25 40 55 70 141 100 115 130 81 160 175 190 205 220
11 26 41 56 155 86 101 116 131 146 65 176 191 206 221

Hình 1.2 : Xoay các trục và hoán vị các cặp số
O : Xoay 2 đường chéo, 2 trục qua tâm góc : - 45
0
O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung
O : Hoán vị mỗi cột 3 cặp số đối xứng qua trục hoành

2) Trường hợp 2 : n = 5, 9, 13, … Đặt : m = (n – 5)/ 4.
B1: Xoay đường chéo 1 và trục hoành của ma trận qua tâm góc : 180
0
B2: Xoay 2 đường chéo và 2 trục của ma trận qua tâm góc : - 45
0
B3: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung
B4: Hoán vị mỗi cột của ma trận (m + 1) cặp số đối xứng qua trục hoành

VD : n = 17 => m = (17 – 5)/ 4 = 3
289 18 35 52 69 86 103 120 137 154 171 188 205 222 239 256 273
2 271 36 53 70 87 104 121 138 155 172 189 206 223 240 257 274
3 20 253 54 71 88 105 122 139 156 173 190 207 224 241 258 275
4 21 38 235 72 89 106 123 140 157 174 191 208 225 242 259 276
5 22 39 56 217 90 107 124 141 158 175 192 209 226 243 260 277
6 23 40 57 74 199 108 125 142 159 176 193 210 227 244 261 278
7 24 41 58 75 92 181 126 143 160 177 194 211 228 245 262 279
8 25 42 59 76 93 110 163 144 161 178 195 212 229 246 263 280
281 264 247 230 213 196 179 162 145 128 111 94 77 60 43 26

O : Xoay 2 đường chéo, 2 trục qua tâm góc : - 45
0
O : Hoán vị mỗi hàng 3 cặp số đối xứng qua trục tung
O : Hoán vị mỗi cột 4 cặp số đối xứng qua trục hoành

3) Trường hợp 3 : n = 4, 8, 12, … Đặt : m = (n – 4)/ 4.
B1: Xoay 2 đường chéo của ma trận qua tâm góc : 180
0
B2: Hoán vị mỗi hàng của ma trận m cặp số đối xứng qua trục tung
B3: Hoán vị mỗi cột của ma trận m cặp số đối xứng qua trục hoành

VD : n = 16 => m = (n – 4)/ 4 = 3