SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC 9

Người thực hiện: Mai Thị Thanh Huyền
Chức vụ:
Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Tân -Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018


Mc
I.
II
III
IV
I.
II
III
1
2
3
4
IV

3
3
4
4
5
5
7
16
17
18


STT
1
2
3
4
5

Các chữ viết tắt
trong sáng kiến kinh nghiệm
THCS
SGK
THPT
SKKN
Max

Nội dung
Trung học cơ sở
Sách giáo khoa

trên cơ sở các suy luận. Tuỳ từng bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ
thêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến những cách giải hay và độc
đáo. Một trong những chuyên đề hình học lớp 9 mà thường xuyên phải vẽ
đường phụ khi làm toán, đó là bài toán về đường tròn. Trong quá trình dạy lớp
9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, bế tắc khi giải
các bài toán về: sự xác định đường tròn, vị trí tương đối của đường thẳng và
đường tròn hoặc của hai đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn,... Vì vậy tôi
đã tìm cách giúp các em tháo gỡ khó khăn, hình thành kỹ năng giải toán, làm
cho các em có hứng thú và niềm tin trong học tập. Tôi mạnh dạn trình bày đề
tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài
toán về đường tròn trong Hình học 9” để các bạn đồng nghiệp tham khảo,
góp ý.

1


II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng yếu tố phụ
thường vẽ thêm khi bài toán cho ở dạng nào, nhằm giúp cho học sinh có khả
năng vận dụng tốt dạng toán này.
- Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng tư duy,
năng lực tự học của học sinh. Tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê bộ
môn.
- Thấy được vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán từ đó giúp học
sinh có kĩ năng thành thạo trong việc giải các bài toán về đường tròn.
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được kiến thức vào
thực tiễn cuộc sống.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn
trong Hình học 9.

năm 2006. Vì vậy, việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo
con người mới ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật trong đó
Toán học là một bộ môn khoa học được coi là chủ lực. Bởi trước hết, Toán
học hình thành cho các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư
duy lôgic. Vì thế, nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa
chúng ta đã tiếp cận với nền tri thức hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân
loại.
Cùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa,
phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy
tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học nhằm nâng cao năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề, hình thành và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn. Bản thân nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới
phương pháp dạy học nói chung và giảng dạy môn Toán nói riêng, trong
những năm được phân công giảng dạy môn Toán 9 theo chương trình hiện
hành tôi nhận thấy nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình
học ” là nội dung quan trọng. Các bài toán hình học có lời giải phải vẽ thêm
đường phụ là dạng toán khó đối với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài
toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi
học sinh cần có một kĩ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để
tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học
giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi
hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự
hóa, đặc biệt hóa, …hay nói cách khác một bài toán phải vẽ thêm đường phụ
là một sáng tạo nhỏ. Vẽ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt
phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kĩ năng, thể hiện các tình
huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó… hay còn gọi là
“quy lạ về quen”. Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng
tạo càng lớn. Do đó, việc học tốt các bài toán có lời giải phải vẽ thêm đường
phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa
học của học sinh.

lệ
3,0-
phương pháp chung cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh Hình
4


học, ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác
nhau tùy thuộc vào cách giải bài toán.
* Một số cách vẽ đường phụ:
- Vẽ đường phụ để tạo mối liên hệ giữa các diều kiện đã cho hoặc giữa các
yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau.
- Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các
yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau.
- Vẽ đường phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ
chứng minh.
- Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng
nhau mà đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lượng cần chứng minh
giúp cho việc chứng minh được dễ dàng.
- Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó.
* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ:
- Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tùy tiện. Phải nắm thật vững đề
bài, định hướng chứng minh. Từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục
vụ cho mục đích chứng minh của mình.
- Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân thủ theo đúng các phép dựng hình cơ
bản.
- Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng
khác nhau.
Có nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, biết vận dụng linh
hoạt mới biết khai thác dữ liệu của bài toán mà tìm cách vẽ đường phụ thích
hợp để giải toán. Như vậy, vẽ đường phụ cũng là một kĩ năng trong giải toán
Hình học.
2. Một số loại đường phụ thường vẽ:

lại chúng ta sẽ có đường trung trực của AB.
b. Dựng trung điểm của một đoạn thẳng
Cho trước đoạn thẳng AB. Để dựng trung
điểm của AB, chúng ta làm như sau:
- Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực cắt AB tại điểm M là
trung điểm của AB.
c. Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông
góc với một đường thẳng cho trước
Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A.
Để dựng đường thẳng đi qua A vuông góc
với ℓ, chúng ta làm như sau:
- Lấy A làm tâm dựng một đường tròn sao
cho đường tròn cắt đường thẳng ℓ tại hai
điểm B và C.
- Dựng đường trung trực của BC, đây chính
là đường thẳng đi qua A vuông góc với ℓ.
d. Qua một điểm, dựng đường thẳng song
song với một đường thẳng

.

A

.

M

.


nhau tại E và F.
- Hai góc EAℓ và FAℓ bằng góc xOy.
g. Dựng tiếp tuyến đến đường tròn
Cho trước một đường tròn
tâm O và một điểm A nằm ở bên ngoài
đường tròn, để dựng đường thẳng
qua A tiếp tuyến với đường tròn (O),
chúng ta làm như sau:
- Dựng trung điểm B của OA;
- Vẽ (B;AB), đường tròn này cắt
(O) tại hai điểm C và D;
- Hai đường thẳng AC và AD chính
là tiếp tuyến của đường tròn (O).
h. Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
Cho trước một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c. Để dựng
một tam giác bằng tam giác đã cho ta làm như sau:
- Dựng tia Bx;
A
- Dựng đường tròn (B;c). Gọi C là giao
điểm của đường tròn (B;c) với tia Ax;
b
a
- Dựng đường tròn (B;a) và đường tròn
(C;b), gọi A là giao điểm của chúng.
c
C
B
x
Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì
có AB = a; AC = b; BC = c.

- Cần chứng minh: điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ OC >R. Điều này
cho ta nghĩ đến OC > OA.
- Đường phụ OH ⊥ AB (H∈AB) để vận dụng quan hệ giữa đường xiên và
hình chiếu mà có OC > OA
Giải
-Vẽ OH ⊥ AB, H∈AB.
A
H
-Ta có: HC > AB (vì C là điểm trên tia đối của tia
B
C
AB, H thuộc đoạn thẳng AB)
⇒ OC > OA (quan hệ giữa đường xiên và hình
O
chiếu).
Vậy OC > R ⇒ C nằm ngoài đường tròn (O;R)
Bài 2
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB ≠2R). C làm điểm trên
đoạn AB (C khác A và B).
Chứng minh rằng điểm C nằm trong đường tròn (O;R)
Gợi ý
Từ bài 1, ta nhận ra rằng đường phụ cần vẽ thêm là OH vuông góc với
AB tại H.
8


Giải
Vẽ OH vuông góc với AB tại H. Xét các trường hợp sau:
* C trùng với H:
Ta có: OH < OA (vì OH ⊥ AH) nên OH < R.

.
- Xét ∆ADC và ∆ABE có: DAC chung;
O
ADC = ABE (=900)
Do đó: ∆ADC ∽ ∆ABE
⇒

AD AC
AC. AB
=
⇒ AD =
AB AE
AE

Mà AC = 2cm, AB=5cm; AE = 8cm nên AD =

2.5 5
= (cm)
8
4

Bài 4
Cho đường tròn (O;R), AC và BD là hai đường kính. Xác định vị trí của
hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD là lớn nhất.
Gợi ý
- Ta kí hiệu SABCD là diện tích tứ giác ABCD. Dễ
thấy tứ giác ABCD là hình chữ nhật, do đó:
B
A
SABCD= AB.AD.

toán.
Giải
-Vẽ OH ⊥ CD, H ∈ CD, từ đó có CH = HD
(định lí đường kính vuông góc với dây
cung).
-Vì EC, OH, FD cùng vuông góc với CD nên
EC // OH // FD.
-Do đó OH là đường trung bình của hình
thang CDFE ⇒ OE = OF.
Mà OA = OB (= R) nên OA – OE = OB – OF
⇒AE = BF

C

A E

H

.

O

D
F B

Bài 6
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD. Gọi K, L
lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CK = DL
Gợi ý

B
Cho hình vẽ bên, biết AB = CD.
A M
Chứng minh rằng: MA = MC
O.
Gợi ý
C
Vẽ thêm yếu tố phụ là các đường vuông
góc từ O đến hai dây AB và CD.
D
Giải
- Vẽ OH ⊥ AB (H ∈ AB), OK ⊥ CD ( K∈ CD).
- Ta có: AB = CD (gt), nên OH = OK (định lí liên hệ dây cung và khoảng
cách đến tâm) và H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD (định lí đường kính
vuông góc dây cung)
⇒AH = CK.
B
- Xét hai tam giác vuông OHM và OKM
H
A M
có: OM là cạnh chung và OH = OK
~
⇒ ∆OHM = ∆OKM (cạnh huyền-cạnh góc
O.
C
A
vuông)
K
⇒ MH = MK.
D B


GC EC 2
=
=
nên theo định lý đảo Talets trong tam giác ta
CD CM 3

suy ra EG //MD.
- Mặt khác OD ⊥ AB (D là điểm giữa của dây cung AB của đường tròn (O))
nên OD ⊥ EG
∆ABC cân tại A, nội tiếp đơờng tròn (O) nên
OA ⊥ BC hay OG ⊥ BC.
Mà DN //BC (DN là đường trung bình của
∆ABC). Do vậy, OG ⊥ DN.
- Xét ∆DGE có GO và OD là hai đường cao cắt
nhau tại O
⇒ O là trực tâm của ∆DGE
Từ đó: OE ⊥ DG hay OE ⊥ CD
Bài 9
Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 4cm, AC = 3cm. Hãy xác định vị trí tương
đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm A, bán kính 2,5 cm
Gợi ý
Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng
BC với đường tròn tâm A ta cần tính khoảng cách
từ A đến đường thẳng BC. Vì vậy cần vẽ thêm
A
yếu tố phụ là đường cao AH của ∆ABC.
Giải
H
- Vẽ AH là đường cao của ∆ABC.

⇒ AH =   ⇒ AH =
= 2,4cm
5
5
2

- Vì 2,4 < 2,5 nên đường thẳng BC và đường tròn (A;2,5cm) cắt nhau.
Bài 10
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O;R). Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến
AM với đường tròn (O), M là tiếp điểm.
Chứng minh rằng: AB +AC ≥ 2AM
Gợi ý
12


- Vẽ thêm điểm phụ H là trung điểm của BC, tức
M
vẽ thêm OH ⊥ BC để đạt được AB + AC = 2AH.
H
B
C
- Khi đó cần chứng minh: AH ≥ AM.
A
- Sử dụng tính chất về quan hệ giữa các cạnh
O
trong tam giác vuông MAO và HAO ta tìm được
lời giải của bài toán.
Giải
- Vẽ OH ⊥ BC, (H ∈ BC), suy ra: BH = HC định lý đường kính vuông góc
dây cung).

2

Mà AOM và BOM là hai góc kề bù nên
1
Oˆ 2 = Oˆ 3 = ( AOM + BOM)
2
1
2

= .1800 = 900.

D

x
M
C
A

1

g

2 3

4

B

O


tròn. Vẽ thêm đường kính AD của (O) ta có lời giải bài toán.
Giải
Vẽ đường kính AD của (O), ta có :
A

0

ACD= 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ∆HBA và ∆CDA có
AHB = ACD = 900; HBA = CDA
tiếp cùng chắn cung AC )
=> ∆HBA ∽ ∆CDA (g.g)
=>

.O

(hai góc nội

B

C

H
D

AH
AB AB
=
=
AC AD 2 R

B 14
D


Gợi ý
a) Để chứng minh tứ giác BNCM là hình bình
hành ta nghĩ đến chứng minh tứ giác có hai đường
chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Biết I là trung điểm của MN, ta sẽ chứng minh I
cũng là trung điểm của BC. Áp dụng kĩ năng 1a)
nối tâm đường tròn với trung điểm của dây cung MN.
b) C là trung điểm của AD khi OC ⊥ AD, do đó đường phụ OC sẽ gợi cho ta
tìm lời giải bài toán.
Giải
a) - Vẽ đường nối O với trung điểm I của đoạn thẳng MN thì ta có OI ⊥ MN
tại I.
- Vì AD ⊥ MN (gt), nên OI // AD (vì cùng vuông góc với MN) => OI // AC
- Xét ∆ABC có OA = OB (vì cùng bằng bán kính) và OI //AC (chứng minh
trên) nên I là trung điểm của CB, suy ra IC = IB.
- Tứ giác BNCM có MN cắt CD tại I; IM = IN (theo giả thiết); IC = IB (theo
chứng minh trên) nên tứ giác BNCM là hình bình hành.
b) - Nối O với C.
- Xét ∆OBC có HO = HB, IC = IB nên HI là đường trung bình của ∆OBC, do
đó ta có HI //OC
(1)
.Mà HI ⊥ AD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra OC vuông góc với AD tại C nên C là trung điểm của đoạn
thẳng AD.
Bài 14

nên ∆ABC vuông
2

tại đỉnh A, suy ra: BAC = 900.
Bài 15
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại S. Kẻ các tiếp tuyến
chung ngoài AB, CD; với A, C thuộc (O); B, D thuộc (O’).
Chứng minh rằng: AB + CD = AC + BD.
Gợi ý
Vận dụng kỹ năng 4b) ta vẽ thêm tiếp tuyến chung tại S của hai đường
tròn để từ đó tìm được lời giải bài toán.
Giải
- Vẽ tiếp tuyến chung tại S, lần lượt cắt AB, CD ở M, N.
A
- Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
M
B
AM = SM = BM, CN = SN = DN.
Do đó: AB + CD = 2MN (1)
.
- Mặt khác OO’ là trục đối xứng của
.’
S
O
O
hình nên C đối xứng với A qua OO’,
D đối xứng với B qua OO’nên AC ⊥
D
OO’, BD ⊥ OO’.
N


BC
; MH = HD = =
2

A

16


MD
.
2

- Vì OH là đường trung bình của tam giác MAD nên OH =

1
MA
2

=> MA = 2OH.
- Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (HC + HD)2
- Vì OH là đường trung bình của tam giác MAD nên
OH =

1
MA => MA = 2OH.
2

- Ta có: MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (HC + HD)2

0

0

Tỉ
Điểm
lệ
3,0-
Qua đó tạo cho học sinh sự tự tin, say mê, yêu thích môn học.
Sau khi áp dụng sáng kiến trên đã mang lại hiệu quả rõ rệt. Nhiều học sinh
đã chủ động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải không cần sự
gợi ý của giáo viên. Vậy nên mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói
riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của từng đối tượng học sinh để đưa ra
các bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp, giúp các em làm được và
sáng tạo các cách giải gây hứng thú, từ đó dần dần nâng cao kiến thức từ dễ
đến khó. Để làm được như vậy, tôi luôn tìm tòi, tham khảo nhiều tài liệu để
tìm ra các bài toán hay, với nhiều cách giải khác nhau. Thông qua phương
pháp dạy học, giáo dục cho các em năng lực tư duy độc lập, tính sáng tạo, tinh
thần tự giác trong học tập, phương pháp giải toán nhanh, kĩ năng giải toán
thành thạo.
Trên đây là một kinh nghệm nhỏ của tôi về việc dạy học sinh lớp 9 và ôn
tập thi vào lớp 10, đã áp dụng có hiệu quả khá tốt. Rất mong được bạn bè,
đồng nghiệp góp ý để tôi có nhiều kinh nghiệm tốt hơn trong công tác giảng
dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thọ Xuân, ngày 18 tháng 3 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
bản thân, không copy, không sao chép
của người khác.
Người viết

Mai Thị Thanh Huyền

18


6
7

8

Tên đề tài SKKN
Phương pháp dạy học sinh lớp 8 chứng
minh định lí Hình học
Phương pháp dạy học sinh giải bài toán
chứng minh Hình học 7
Phương pháp dạy học sinh chứng minh bài
toán bất đẳng thức lớp 8
Phương pháp dạy học sinh giải bài toán cực
trị Hình Học lớp 9
Phương pháp suy luận phân tích để giải bài
toán Hình học 7
Phương pháp suy luận phân tích để giải bài
toán Hình học 7
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vẽ
thêm yếu tố phụ để giải một số bài
toán về hệ thức lượng trong tam giác
vuông.
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm
yếu tố phụ để giải một số bài toán
về đường tròn trong Hình học 9

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Cấp Huyện

C

2008-2009

Cấp Huyện

B

2011-2012

Cấp Tỉnh

C

2011-2012

Cấp Huyện

C

2015-2016

Cấp Huyện

B

2017-2018