phòng giáo dục & đào tạO VINH
TNG

trờng thcs thổ tang TANG
---------- ----------

Chuyên đề môn toán
Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài
toán hình học 7
Gv thực hiện : Chu Thị Tuyết Dung

Nm hc:

2014 - 2015


Mục lục
A. Phn m u
1. Lý do chn ti.
2.Mục đích nghiên cứu .
3. i tng nghiờn cu
4. Phạm vi nghiên cứu.
5. Phơng pháp nghiên cứu.
B. Phn ni dung.
I - Cơ sở lý luận và thực trạng của vấn đề.
II - Phơng pháp thực nghiệm.
III- Nội dung cụ thể.
C. Phn kt lun và kiến nghị.


A . PHN M U

được bài toán và có hướng tư duy cho các bài toán khác ở dạng tương tự.
5.Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo môn
hình học 7.
Nghiên cứu việc thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu việc giảng dạy, hướng dẫn giải bài tập của giáo viên.
Nghiên cứu các tình huống dạy học điển hình.
Phương pháp thực nghiệm, tổng kết kinh nghiệm.
Tham dự các lớp tập huấn, các lớp bồi dưỡng chuyên môn.


B . NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận:
Khi tìm phương pháp giải bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu
tố phụ làm cho việc giải bài toán trở lên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí
phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như
thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ
thên các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ
thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài
toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tùy tiện.
2. Cơ sở thực tiễn:
Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều
các thao tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình
học. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử
dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các
ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên
trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các
bài tập nâng cao thì các bài toán hay và khó lại là những bài toán khi giải cần

Trung bình

Khá

Giỏi

Tb trở lên

7A
40
10
17
8
5
30
7B
35
15
13
6
1
20
7C
35
17
13
5
0
18
Tổng

Cách dựng
a
b
B
c

A
Ax.

c

a

Dựng tiabAx
C Gọi C là giao điểm củaxđường tròn (A;b) với tia
Dựng đường trßn (A;b).


Dựng đường tròn (A;c) và đường tròn (C;a). Gọi B là giao điểm của
chúng.Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì có AB = a; AC = b và BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường trong (A;c) và (C; a) không cắt nhau thì không
dựng được tam giác ABC.
Bài toán 4: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng
Gọi
là góc cho trước. Dựng đường tròn (O;r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta
được ∆ OAB
Dựng ∆ O’A’B’ = ∆ OAB(c-c-c) như bài toán 1, ta có Ô’ = Ô.
x
A’

r

r

C trước.
Bài toán 6: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho
Dựng hai đường tròn (A; AB) và (B; BA) chúng cắt nhau tại C, D.
y Giao điểm
của CD và AB là trung điểm của AB.
Bài toán 7: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước .
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A;r), (B;r) cắt nhau tại hai điểm C, D. (Chú ý r >
Đường thẳng CD là đường trung trực của AB.

)

z


Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không
cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào
những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tùy tiện.
2) Các kiến thức thường găp trong giải toán:
2.1 Chứng minh hai đường thẳng song song
Khi nghiên cứu nội dung hình học 7, các dạng toán chứng minh hai đường
thẳng song song ta thường sử dụng các kiến thức sau:
Dấu hiệu nhận biến hai đường thẳng song song.
Các định lý:
+Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì chúng song

Các định lý về tổng ba góc của tam giác.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác vuông.
Các kiến thức về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ
đơn giản, thiết thực khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện giải toán có hiệu quả
cao.
4) Kĩ năng cơ bản:
Yêu cầu học sinh nắm vững các kĩ năng: Vẽ hình theo diễn đạt bằng lời,
kĩ năng trình bày lời giải bài toán hình học, kĩ năng nhận dạng tình huống.
III. Nội dung cụ thể:
1.Cách 1: Vẽ đoạn thẳng, tia ,đường thẳng:
Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một
tia, ... Chẳng hạn:
+ Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta thường kẻ đường
trung tuyến, đường trung bình.
+ Khi cần tạo góc ngoài của tam giác ta thường kẻ tia đối của tia chứa một
cạnh của tam giác.
+ Kẻ hai đường chéo của tứ giác.
+ Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh
bên.
Bài toán 1: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC =
BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
B
A

C

D
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng
song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)

Bµi tËp tù luyÖn
Bài toán 3: Trên hình vẽ cho biết AB//CD, AB = CD, chứng minh rằng: AB =
CD và AB//CD.

Bài toán 4: Trên hình vẽ cho biết: AB//CD và AC//BD. Chứng minh rằng AB =
CD, AC = BD.

Nhận xét chung:
Qua các bài toán trên, ta thấy việc vẽ thêm hình phụ cho mỗi bài toán này
tuy đơn giản nhưng để học sinh tiếp thu được và vận dụng tốt thì yếu tố quan
trọng nhất là phân tích bài toán. Khi phân tích các bài toán này giáo viên cần
phân tích rõ cho học sinh, ngoài các yếu tố đề bài đã cho sẵn ta cần chú ý tới các
“giả thiết ngầm” trong bài toán, đó là: Khi cho hai đường thẳng song song thì
“giả thiết ngầm” sẽ là các góc so le trong, các góc đồng vị bằng nhau. Khi cho


hai tam giác có hai cạnh bằng nhau thì “giả thiết ngầm” hoặc là có thêm cạnh
còn lại bằng nhau hoặc góc xen giữa hai cạnh ấy bằng nhau. Từ đó định hướng
cho học sinh cách vẽ thêm hình phụ.
2. Cách 2. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông
góc với một đường thẳng.
Bài 1: Trên hình vẽ cho biết
minh rằng: Ax//By

,

,

. Chứng


= 3600. Ta
chọn đường phụ là tia Bz sao cho

+

=

=

để có

+

= 1800. Từ đó ta có Ax//Bz và chúng ta cũng chứng minh được Cy//Bz. Do
đó Ax//Cy.


Dạng bài toán này một lần nữa ta lại thấy được yếu tố “giả thiết ngầm”
trong bài toán là: Có một điểm nằm ngoài đường thẳng thì luôn có một đường
thăng hoặc một tia song song với đường thẳng cho trước đó.
Bài toán 2: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A
thành ba góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng
vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy
suy ra AB ⊥ AC và suy ra = 900.
CHỨNG MINH

Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)


Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒ BH = MH = BM = CM ⇒ MI = CM
1
2

Xét ∆ vuông MIC có: MI = CM nên Cˆ = 300 từ đó suy ra:
⇒

=

= 600 .

= 900

=

Vậy ∆ ABC vuông tại A.
Vì Cˆ = 300 ⇒ Bˆ = 600 ;
1
2

Lại có AM = MB = BC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam
giác vuông)


∆ ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất
khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở
lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong


Nhận xét chung : Qua bài toán ta thấy, yếu tố tư duy tự nhiên của bài toán khá
phức tạp, yêu cầu của việc vẽ thêm hình phụ lúc này chính là vẽ thêm một hình
phụ sao cho có lợi cho chứng minh và việc vẽ thêm hình phụ phải tận dụng hết
giả thiết của bài toán. Yếu tố “giả thiết ngầm” trong bài toán này ta cần phân
tích rõ cho học sinh là: Khi cho BD là tia phân giác của góc B, ta có thêm giả
thiết là có hai tam giác vuông bằng nhau chứa cạnh BD, từ đó cho ta tư duy về
vẽ thêm đường phụ trong bài toán.
4. Cách 4: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng
cho trước.
Trong một tam giác, khi đã có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ
trung điểm của một cạnh khác.
Vẽ một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra:
+ Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán.
+ Một tam giác cân để thuận lợi cho việc chứng minh.
+ Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh AM =

.
HƯỚNG DẪN GIẢI

Từ AM =

2AM = BC.

Tìm cách tạo ra đoạn thẳng 2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
thẳng đó. Như vậy yếu tố phụ cần vẽ là điểm D trên tia đối của tia MA sao cho
MD = MA



=900
=900

(đpcm)

Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Gọi M,N là trung điểm của các cạnh AB và AC.
Chứng minh rằng MN//BC và MN =
HƯỚNG DẪN GIẢI
Để chứng minh BC = 2MN, ta tạo ra một
đoạn thẳng bằng 2MN rồi chứng minh đoạn
thẳng đó bằng BC. Như vậy hình phụ cần vẽ
là: trên tia đối của tia MN lấy điểm D sao
cho ND = BC. Từ đó dễ dàng chứng minh
được DM = BC.
CHỨNG MINH:
Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN.
Xét NAM và NDC có NM = ND,
=
(đối đỉnh), AN = NC (gt)
Do đó NAM = NDC (c-g-c)
Suy ra: AM = DC và
Ta có

=

=

mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra: AB//CD


Khi so sánh hai đoạn thẳng, ta thường sử dụng mối quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện. Sử dụng phương pháp loại trừ trong bài toán ta có thể thấy ngay
không thể có đoạn thẳng trung gian có sẵn trong hình vẽ giúp ta giải quyết bài
toán. Từ đó cho ta định hướng tạo ra một tam giác chứa DC mà có một cạnh
bằng với cạnh BD. Bằng cách lấy điểm E nằm trên AC sao cho AE = AB.

CHỨNG MINH
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
ADB = ADE (g-c-g) Nên DE = BD (1) và
Suy ra
Ta lại có:

=

.

=
>

(

là góc ngoài tam giác ABC) nên:

>

Tam giác DEC có
> nên DC > DE (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC > DB (Đpcm)
Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng

>

Bài toán 5: Tam giác ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành
ba góc bằng nhau.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng
vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC
tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
Bài toán 7: Cho điểm B và C nằm trên đờng thẳng AD sao cho AB = CD. M là
điểm nằm ngoài AD. Chứng minh MA + MD > MB + MC
5. Cỏch 5: V tia phõn giỏc ca gúc, v gúc bng gúc cho trc.
Ta thng v tia phõn giỏc ca mt gúc nu gúc ú gp ụi gúc khỏc
trong bi toỏn. V mt gúc bng mt gúc cho trc thng to ra mt tam giỏc
cõn, hai tam giỏc bng nhau .
Bi toỏn 1. Cho tam giỏc ABC cú = . Chng minh rng AB = AC.
HNG DN GII
chng minh AB = AC ta to ra hai tam giỏc cha hai cnh AB v AC bng
nhau, bng cỏch v AM l tia phõn giỏc ca gúc A.


CHỨNG MINH
Kẻ AM là tia phân giác của góc A (M thuộc BC). Ta có:
=
(1)
= 1800 – (

+

)

(2)

vẽ điểm D trên cạnh BC sao cho

= 300

Từ đó ta dễ dàng chứng minh được định lý.
Bµi tËp tù luyÖn
Bµi to¸n 3: Cho tam gi¸c ABC ,gãc A b»ng 600.Ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau
t¹i O. Chøng minh r»ng :
a) Tam gi¸c DOE c©n


b) BE + CD = BC
Bài toán 4: Cho hai điểm A,B trên cùng nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy xác định
một điể O thuộc xy sao cho hai góc AOx và BOy bằng nhau.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có AB = AC .Trên tia đối của tia BC lấy điểm
D,trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho ED = EB. Chứng minh ED//AC.
Bài toán 6: Cho tam giácABC có AB=AC . Trên hai cạnh AB và AC lấy lần lợt
các điểm D và E sao cho AD=AE . Nối D với E. Gọi M và N là trung điểm của
các đoạn thẳng DE và BC. Chứng minh ba điểm A , M , N thẳng hàng
6. Cỏch 6 : Phơng pháp tam giác đều
Đây là một phơng pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm đợc vào
trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán
đợc thuận lợi.
Đặc biệt đối với các bài tập về tính số đo góc, trớc tiên ta cần hớng dẫn học sinh
chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định nh :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền...

2

Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta được: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ⇒
=
= 200 : 2 = 100
=
= 800 - 600 = 200
Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
=
( = 200)
AC là cạnh chung
⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c - g - c )
⇒

= 100, do đó:

=

=

.

Nhận xét:
1.Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc ở đáy là 80 0. Ta
thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi
ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC
thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các

=

=150.


Nờn
Ta cú:

IAD u, suy ra IA = ID v
= 3600 -

-

= 600.

= 3600 1500 600 = 1500.

BIA = BID (c-g-c) nờn BA = BD
Cú th b sung bi toỏn:
Cho tam giỏc ABC cõn ti A. M l trung im AB. Trờn tia AB ly im E sao
cho B l trung im ca AE. Chng minh rng CE = 2CM.
Cú th b sung chỳ ý:
- Khi b toỏn cú cỏc yu t: gúc 45; 30; 60 ta cú th v thờm ng vuụng
gúc cú thờm tam giỏc vuụng cõn, na tam giỏc u.
ở ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là : AB = AC ;
AD = BC. Nh vậy có thể giải bằng 4 cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC ;
vẽ tam giác đều có một cạnh là AB ; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC ; rồi
AD. Qua ví dụ bớc đầu các em đã định hình đợc phơng pháp vẽ tam giác đều và
các cách triển khai theo phơng pháp đó.
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính đợc góc DCA

kết quả đạt được như sau:
Lớp

Tổng số

Yếu

Trung bình

Khá

Giỏi

Tb trở lên

7A
7B
7C
Tổng

40
35
35
110

3
5
7
15


phõn tớch cỏc bi toỏn cho hc sinh. Cho hc sinh lm nhiu cỏc dng bi tp cú
liờn quan ti v thờm yu t ph trong hỡnh hc.
Trong cỏc gi luyn tp hoc chuyờn : Mnh dn a ra cỏc dng bi tp khú
hn trong chng trỡnh SGK v SBT t ú rốn luyn thờm cho hc sinh
hng t duy trong gii toỏn hỡnh hc v c bit l cỏc bi toỏn cú v thờm yu
t ph
To cho hc sinh mt tõm lý thoi mỏi khi hc mụn hỡnh hc v giỳp hc sinh
khụng cm thy s mụn hỡnh hc. õy l mt yu t rt quan trng trong quỏ
trỡnh thc hin chuyờn ny.
Về phía nhà trờng :
Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phơng tiện dạy - học để việc tổ
chức tiết học đạt hiệu quả.
Nhân rộng và phổ biến những kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu quả thiết
thực.
Đầu t kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo
viên và học sinh, đề ra những chủ trơng, biện pháp khả thi thiết thực.
Trên đây là những kinh nghiệm khi hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ
để giải bài toán hình học lớp 7.
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho các em giải toán dễ dàng hơn, song việc
vẽ thêm yếu tố phụ quả là khó khăn, phức tạp đòi hỏi học sinh phải có t duy
logic, có trí tởng tợng phong phú và óc sáng tạo linh hoạt, trên tinh thần phải
nắm đợc kiến thức cơ bản và khai thác triệt để giả thiết bài toán cho.
Thông qua chuyên đề này tôi mong muốn đợc đóng góp một phần nhỏ bé công
sức trong việc hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học,
rèn luyện tính tích cực, phát triển t duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho
các em khi học toán.

Tài liệu tham khảo
1.
2.