Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
PHẦN I
PHẦN MỞĐẦU
I.Lí do chọn ðề tài:
Toán học ra ðời gắn liền với con ngýời và lịch sử phát triển của xã hội, nó có
một ý nghĩa lí luận lớn lao và quan trọng.Trong thời ðại công nghiệp hoá hiện ðại
hoá hiện nay nhất thiết phải ðặt trên nền tảng dân trí.Vì vậy phải có chiến lýợc nâng
cao dân trí, ðào tạo nhân lực và bồi dýỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực. Sự phát triển
của khoa học tự nhiên lại ðýợc ðặt trên nền tảng của khoa học Toán học. Trong
những năm qua sự phát triển trí tuệ của học sinh ngày càng mạnh mẽ, nhu cầu học
tập ngày càng nhiều trong đó kiến thức bộ môn trong nhà trường cũng không ngừng
bổ sung, đi sâu và mở rộng.Vì vậy nhiệm vụ của người giáo viên nói chung và giáo
viên dạy bộ môn toán nói riêng ngày nay không những phải cung cấp cho học sinh
một vốn tri thức cơ bản mà điều quan trọng là còn phải trang bị cho học sinh khả
năng tự làm việc, tự nghiên cứu để tìm hiểu và tự nắm bắt thêm tri thức. Việc giảng
dạy môn Toán ở nhà trường không chỉ nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến
thức cơ bản về Toán học mà còn vũ trang cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu
thế giới tự nhiên.
Dạy học như thế nào để học sinh không những nắm kiến thức cơ bản một cách
có hệ thống mà còn phải nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập.
Đó là câu hỏi mà mỗi thầy cô giáo luôn đặt ra cho mình.
Trong khi học Toán, các em học sinh còn ngại học Hình học, bởi vì để học tốt
Hình học thì đòi hỏi các em học sinh phải có khả năng tư duy tốt, tính sáng tạo cao,
trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt là thực sự say mê nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi.
Đối với giáo viên thì để truyền đạt được cho các em học sinh hiểu được một
cách chặt chẽ về một bài hình học là không đơn giản chút nào. Trong khi đó không
có một phương pháp chung nào để giải một bài toán hình học cụ thể. Để tìm các
phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 1
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
bài toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế

2. Điều tra, khảo sát, phân loại các bài làm của học sinh, từ đó đánh giá được
thực trạng năng lực học hình học của học sinh.
3. Dạy thử nghiệm bằng cách cho các em làm bài tập có vẽ thêm yếu tố phụ.
VI. Kế hoạch thực hiện và giới hạn sử dụng đề tài.
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu, viết, triển khai áp dụng đề tài sáng kiến kinh
nghiệm ‘‘Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7’’ trong năm học 2013 –
2014.
- Đề tài áp dụng cho học sinh khối 7 trong quá trình học Toán hình học.
PHẦN II
NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 3
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng
giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển
mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương
pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các
môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng
hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát
triển óc tư duy.
Các bài tập có yêu cầu khó đòi hỏi vẽ thêm yếu tố phụ của hình học 7 rất khó
và phức tạp vì các em chưa có nhiều kỹ năng chứng minh hình học. Do đặc điểm của
môn hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp nên
giáo viên phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa
trên những bài toán cơ bản.
Trước hết chúng ta cần nhớ rằng: Vẽ thêm yếu tố phụ thường là:
Vẽ thêm điểm mới (trung điểm của đoạn thẳng); nối lai điểm đã cho bởi một
đoạn thẳng; dựng thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước; vẽ thêm đường
thẳng song song hay vuông góc với đường thẳng đã cho; vẽ tia phân giác của một
góc; tạo ra một góc bằng một góc cho trước.

trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho học sinh ý thức
của con người mới: sáng tạo và năng động.
Để đánh giá được thực chất mức độ nhận thức của học sinh trong việc vẽ thêm
yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7, tôi đã ra một đề Toán cho 87 học sinh của
khối 7 trong trường với thời gian làm bài là 45 phút. Cụ thể như sau:
Bài 1: Cho hình vẽ, biết
·
·
ACB xAC>
, Ax // By.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 5
x
y
A
C
B
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Chứng minh rằng:
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạch AB lấy điểm D, trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E.
Chứng minh rằng BC < DE.
Với đề bài tôi đưa ra, học sinh nghiêm túc làm bài một cách độc lập và tự
giác, kết quả được thống kê như sau:
Lớp
Sĩ
số
§iÓm 8-
10
§iÓm 6,5-7,9 §iÓm 5-6,4 §iÓm3,5- 4,9 §iÓm 0 -3,4
SL % SL % SL % SL % SL %

v trong cỏc hot ng tho lun nhúm m giỏo viờn yờu cu.
Hc sinh cú kh nng v thờm yu t ph trong vic gii bi toỏn hỡnh hc
mc yu, kộm cú 56 em, chim t l 64,5%. S lng ln hc sinh ny trong hc
tp Toỏn cũn li, ý thc hc bi c, tip thu bi mi cha cao. Bn thõn cỏc em cú
trỡnh nhn thc yu, nng lc din t cũn hn ch, ớt cú iu kin u t cho
mụn hc.
III. giải quyết vấn đề
1. Các bài toán dựng hình cơ bản:
Trc khi tụi a ra cỏc bi tp cỏc em thc hin tụi trang b cho cỏc em
cỏch dng cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn, khi cn thỡ s dng m khụng cn nhc li
cỏch dng. Khi cn v thờm yu t ph chng minh thỡ cng phi cn c vo
nhng ng c bn ó dng v thờm khụng nờn v thờm mt cỏch tựy tin.
- Dng mt on thng bng mt on thng cho trc.
- Dng mt on thng bng tng (hiu) hai on thng cho trc.
- Dng mt gúc bng mt gúc ó cho.
- Dng mt gúc bng tng (hiu) hai gúc ó cho.
- Dng trung im ca mt on thng.
- Dng tia phõn giỏc ca mt gúc.
- Dng ng trung trc ca on thng.
- Dng ng thng i qua mt im ó cho v song song vi mt ng
thng khỏc ó cho.
- Dng ng thng i qua mt im ó cho v vuụng gúc vi mt ng
thng khỏc ó cho.
- Dng tam giỏc bit (c c c); (c g c); (g c g).
- Dng tam giỏc vuụng bit cnh huyn v cnh gúc vuụng.
2. Cỏc bi toỏn c th.
Nguyn Quc Chýừng GV Trýng THCS Tuyt Ngha Quc Oai 7
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài toán 1: Trên hình vẽ bên
cho biết

0 0
130 , 50BAC ACD= =
·
·
0 0
130 , 50BAC ACD= =
B
D
E
0
0
50
130
A
C
·
·
0
180ACD DCE+ =
·
·
0
0 0 0
180
180 50 130
DCE ACD⇒ = −
= − =
·
·
0

Chứng tỏ rằng: AB // CD.
Bài toán 2: Cho hình vẽ dưới đây, biết .
Chứng minh rằng: Ax // By.
*/ Phân tích bài toán:
Bài cho: hình vẽ;
Yêu cầu chứng minh: Ax // By
*/ Hướng dẫn giải:
Muốn chứng minh Ax // By, ta chứng minh chúng cùng song song với đường
thẳng thứ ba.
Vì ta tạo ra tia Cz sao cho .
Như vậy Ax // Cz.
Hơn nữa, ta có , như vậy
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 9
B
D
A
C
·
·
0
180BAC ACD+ =
·
·
·
; ;xAC CBy ACB
α β α β
= = = +
·
·
·

Từ (1) và (2) suy ra Ax // By.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC có , chứng minh rằng: AB = AC (giải
bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác).
*/ Phân tích bài toán:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 10
·
ACz =α
·
·
xAC = ACz (=α),
·
xAC
·
ACz
·
·
( )ACz ACB
α α β
< < +
·
·
·
ACz + BCz = ACB
·
·
·
( )BCz ACB ACz
α β α β
⇒ = − = + − =
·

*/ Nhận xét:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 11
µ
µ
B C=
·
BAC
2
1
I
B
C
A
µ
µ
B C=
·
BAC
¶
¶
·
1 2
1
A =A = BAC
2
µ µ
B= C
µ
µ
1 2

AM là trung tuyến
KL
BC
2
1
AM =
Chứng minh
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:
MA = MD (theo cách lấy điểm D)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MC (Theo gt)
⇒∆MAC = ∆MDB (c - g - c)
⇒ AB=CD(2cạnhtươngứng) (1)
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 12
1
1
2
M
B
A
C
D
µ
0
90A =
¶
¶
1 2
M M=

đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó . Như vậy chỉ còn phải chứng
minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng
khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của
tam giác.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So
sánh và ? (Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
*/ Phân tích bài toán:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 13
µ
µ
1
A D=
µ
µ
0
90A C= =
µ
µ
0
90A C= =
1
2
AM AD=
·
BAM
·
MAC
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh và

M
B
A
C
D
·
BAM
·
MAC
·
BAM
·
MAC
·
BAM
·
MAC
¶
¶
1 2
M M=
µ
µ
1
A D=
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Xét ∆ACD có:
CD < AC ( theo (3))
⇒ (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).
⇒ Mà ( theo (2))

·
MAC
¶
1
A
¶
2
A
µ
µ
1
A D=
µ
D
¶
2
A
·
0
90xOy =
⊥ ⊥
∈ ∈
·
0
90xOy =
·
xOy
∈
⊥ ⊥
∈ ∈ ∈

·
0
xOy=90
·
xOy
⊥ ⊥
·
CAD
x
y
z
3
2
1
B
A
O
C
D
E
F
· ·
COA = BOA
·
xOy
· ·
CAO = BAO
·
·
·

điểm D, E sao cho BD = DE = CE. Chứng minh rằng:
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 17
·
·
0
ACE = ABF (= 90 )
¶
¶
1 3
A = A
¶
¶
1 2
A = A
¶
·
0
1
2A + DAB = 90
·
¶
0
3
DAF + A = 90
·
·
DAF = DFA
·
·
DAF = DFA

·
·
BAD < DAE
·
·
AED > ACE
·
·
ACE = ABC
·
·
AED > ABE.
·
·
BAD < DAE
·
·
BAD < DAE
B
C
F
A
D
E
·
·
ADB = FDE
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
(hai góc tương ứng)
Mặt khác ( là góc ngoài của tam giác AEC)

·
AED ABC>
·
·
AED > ABC
· ·
AFE < FAE
·
·
BAD = AFE
·
·
BAD < DAE
·
BAD
·
DAE
·
BAD
·
DFE
·
DFE
·
DAE
µ
C
Vẽ thêm yếu tố phụ ðể giải bài toán hình học 7
Bài cho:∆ABC vuông tại A, = 15
0

0
)
BM = BC (cách vẽ)
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 20
µ
C
H
A
B
C
O
M
µ
C
µ
A
µ
A
µ
C
µ
B
·
OBM
1
2
·
·
HBM ACB=
GT

)
MB = MC (cách vẽ)
Do đó: ∆MOB =∆MOC (c-g-c)
⇒OB = OC (hai cạnh tương ứng)
Vậy ∆OBC cân tại O.
*/ Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán
vì phát hiện thấy = 15
0
suy ra = 75
0
- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam
giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của
tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 60
0
, ta chứng minh được
∆HMB = ∆ABC ( c – g – c); ∆MOB = ∆MOC ( c-g-c) dẫn tới ∆OBC cân tại O, đó
chính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 21
µ µ
H = A
·
BMO
·
CMO
·

sao cho AI = BC
Gọi M là giao điểm của BI và DC.
Xét ∆ABI và ∆BDC có:
BA = BD (gt)
(hai góc cùng tù có cạnh tương ứng vuông góc)
AI = BC (cách vẽ)
Do đó: ∆ABI = ∆BDC (c-g-c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Ta cũng có:
Xét ∆BDM có nên
Vậy BE ⏊ DC
Chứng minh tương tự ta cũng có BE ⏊ IC.
∆BIC có IH, BE, CD là ba đường cao nên AH, BE, CD cùng đi qua một điểm.
2. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình vẽ,
biết
Chứng minh rằng Ax // By
Hướng dẫn: Vẽ thêm đường phụ là tia Cz
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 23
·
·
BAI DBC=
·
·
IBA BDC=
·
·
·
0
90DBM IBA DBA+ = =

sao cho By // Cz và chứng minh được Ax // Cz.
Từ đó suy ra Ax // By
Bài 2: Cho hình vẽ, biết Az // Bt.
Chứng minh rằng:
Hướng dẫn: Vẽ thêm đường phụ là
tia Om nằm trong góc xOy sao cho Om // Az
và chứng minh được Om // Bt.
Từ đó suy ra và
⇒
Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ AH ⏊ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ
AH có chứa điểm B dựng AD ⏊ AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại
dựng AE ⏊ AC sao cho AE = AC. Nối D và E, AH cắt DE ở M. Chứng minh rằng
M là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Hướng dẫn: Đường phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán là DK sao cho
DK ⏊ AH và EL ⏊ AH (K ∈ AH, L ∈ AH).
Bài 4: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường
vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Chứng minh rằng: BD = CE.
Hướng dẫn:Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ
ba,rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là
đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba
đó.
Bài 5: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành
ba góc bằng nhau. Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam
giác đều?
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 24
y
x
t
z

A, B, C. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến một cạch của tam giác bằng một
nửa khoảng cách từ H đến đỉnh đối diện.
Hướng dẫn: Ta cần chứng minh OM = AH, từ đó ta chọn yếu tố phụ là
điểm D sao cho O là trung điểm của cạnh DC.
IV. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Sau khi đưa đề tài “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học 7” vào
nghiên cứu trong nhà trường THCS với đối tượng học sinh là khối 7 trường THCS
Tuyết Nghĩa, tôi đã thực nghiệm đề tài bằng cách:
1. Cung cấp các vấn đề lý thuyết về phương pháp học tập, bồi dưỡng kỹ năng
vẽ thêm yếu tố phụ cho học sinh trong các bài toán hình học 7.
Nguyễn Quốc Chýõng – GV Trýờng THCS Tuyết Nghĩa – Quốc Oai 25
µ
A
1
2