Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri
thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho
những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà
nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo
dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói
chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu
nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc
sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho
người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần
phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi,
khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng
tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người
học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết
thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực,
chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng
thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm
tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương
pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học
sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải
quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong
cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong
việc lĩnh hội kiến thức Toán.
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I/ NHỮNG LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
============================================================

bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương
trình THCS:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
- Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax.
- dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam
giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được
tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được
∆OAB.
- Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được
O
ˆ
'O
ˆ
=
.
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dượng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia phân giác phân

O’
A’
B’
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
- Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm
của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đường trung trực của AB.

============================================================

rất hiệu quả.
PHẦN III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ YÊÚ TỐ PHỤ.
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để
vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:
CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh
AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ∈ BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ
DH vuông góc với BC( H ∈ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy
yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
AB
2
1
DBDA ==
; DH ⊥ BC
DH = 4 cm
KL

= 9 ⇒ BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ
3).
Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC.
Xét ∆ ABK và ∆ACK có:
• BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
• AKB = AKC = 90
0
• AK là cạnh chung
⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c)
⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân tại A.
4) Nhận xét:
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
A
B
C
H
K
D
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác
bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh
còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung
điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường
trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm
vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh

⇒
BAC
2
1
A
ˆ
A
ˆ
21
==
. (1) Mà
C
ˆ
B
ˆ
=
( gt)
⇒
21
I
ˆ
I
ˆ
=
(2)
Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
•
21
I
ˆ

2
1
2
Mt s phng phỏp v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc lp 7
===========================================================
Trong cỏch gii trờn, ta phi chng minh AB = AC bng cỏch k thờm on thng AI
l tia phõn giỏc ca gúc BAC to ra hai tam giỏc bng nhau.
CCH 2: TRấN MT TIA CHO TRC, T MT ON THNG BNG ON THNG CHO
TRC.
Bi toỏn 3: Chng minh nh lớ: Trong tam giỏc vuụng, trung tuyn thuc cnh huyn
bng na cnh huyn ( Bi 25/ 67- SGK toỏn 7 tp 2)
1) Phõn tớch bi toỏn:
Bi cho Tam giỏc ABC vuụng ti A, AM l ng trung tuyn ng vi cng huyn,
yờu cu chng minh:
BCAM2BC
2
1
AM
==
2) Hng suy ngh:
Ta cn to ra on thng bng 2.AM ri tỡm cỏch chng minh BC bng on thng
ú. Nh vy d nhn ra rng, yu t ph cn v thờm l im D sao cho M l trung
im ca AD.
3) Chng minh:
GT
ABC;
0
90A

=

0
90C

A

==
(2)
============================================================
Giỏo viờn: T Th Thu Ngc- Trng THCS Bc Sn, Kin An
B
A
C
M
D
1
1
2
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Xét ∆ ABC và ∆ CDA có:
• AB = CD ( Theo (1))
•
0
90C
ˆ
A
ˆ
==
( Theo (2))
• AC là cạnh chung

Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh
BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hướng suy nghĩ:
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có
hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ
đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu
tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
3) Lời giải:
GT
∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
B
A
C
Đ
M
2
1
1
2
Mt s phng phỏp v thờm yu t ph trong gii toỏn Hỡnh hc lp 7
===========================================================
Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho: MD = MA.

D

A

1
=
( theo (2))
12
A

A

<
hay BAM < MAC.
4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong
cùng một tam giác nên không vận dụng đợc định lí về quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A
1
và A
2
về cùng một tam
giác bằng cách vẽ đờng phụ nh trong bài giải, lúc đó A
1
= D, ta chỉ còn phải so
sánh D và A
2
ở trong cùng một tam giác ADC.
CCH 3: NI HAI IM Cể SN TRONG HèNH HOC V THấM GIAO IM CA HAI
NG THNG.

Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh
hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh
– góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song
song.
CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG
GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
B
A
C
D
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba
góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng
nhau. Yêu cầu ta chứng minh ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều.
2)Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc
với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ⊥ AC
và suy ra A = 90
0
.
3) Chứng minh:
GT
∆ ABC; AH ⊥BC;
trung tuyến AM;

Xét ∆ ABH và ∆ AMH có:
•
0
21
90H
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AH là cạnh chung ⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g – c - g)
•
21
A
ˆ
A
ˆ
=
( gt) ⇒ BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒
CM
2
1
MICM
2
1
BM
2
1
MHBH

⇒
00
9060
2
3
HAC
2
3
BAC
===
.
Vậy ∆ ABC vuông tại A.
Vì
00
60B
ˆ
30C
ˆ
=⇒=
;
Lại có AM =
BC
2
1
MB
=
( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam
giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 60
0

D
A
B
C
H
M
F
E
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này
với đường thẳng DE.
Xét ∆ MBF và ∆ MCE có:
MBF = MCE ( so le trong của BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF = CME ( đối đỉnh)
⇒ ∆ MBF = ∆ MCE (g – c – g)
⇒ BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác ∆ ADE có AH ⊥ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: ∆ ADE cân tại A ⇒ BDF = AED
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) ⇒ BFD = AED
Do đó: BDF = BFD
⇒ ∆ BDF cân tại B
⇒ BF = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai
đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài
toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được
áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.

2) Hướng suy nghĩ:
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
,
suy ra góc ở đáy là 80
0
.
Ta thấy 80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của
tam giác đều ⇒ Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
∆ABC; AB = AC; A = 20
0
AD = BC (D ∈AB)
KL DCA =
A
ˆ
2
1
.
Ta có: ∆ABC; AB = AC; A = 20
0
( gt)
Suy ra:

⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c – g – c )
⇒ DCA = MAC = 10
0
, do đó: DCA =
2
1
BAC.
4) Nhận xét:
1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
, suy ra góc ở đáy là 80
0
. Ta thấy
80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ
============================================================
Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trường THCS Bắc Sơn, Kiến An
A
B
C
D
M
Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7
===========================================================
tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác

0
suy ra
A
ˆ
= 75
0
- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều ⇒
sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
A
ˆ
= 90
0
;
C
ˆ
= 15
0
O ∈ tia BA: BO = 2AC
KL
∆ OBC cân tại O.
Ta có: ∆ABC;
A
ˆ

A
ˆ
H
ˆ
=
= 90
0
⇒ ∆ MOB cân tại M ⇒ BMO = 150
0
⇒ CMO = 360
0
– ( 150
0
+ 60
0
) = 150
0
∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) ⇒ OB = OC, vậy ∆ OBC cân tại O.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát
hiện thấy
C
ˆ
= 15
0
suy ra
A
ˆ
= 75
0