Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri
thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho
những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà
nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo
dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục phổ thông nói
chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu
nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc
sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho ng-
ời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t duy của ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh
hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá,
chiếm lĩnh trong tự thân của ngời học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của
họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tợng ngời học nhạy
cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm
gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ động, độc lập,
sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho
học sinh? Trớc vấn đề đó ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai
thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học trong
các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh, xây dựng cho
học sinh một hớng t duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhng ngợc lại, giải
quyết đợc điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong
cách và phơng pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hớng t duy mới trong việc
lĩnh hội kiến thức Toán.
PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Giải:
Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
- Dựng đờng tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đờng tròn ( A; b) với tia Ax.
- dựng đờng tròn (A; c) và đờng tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác
ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trớc.
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trớc. Dựng đờng tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta đợc
∆OAB.
- Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c) nh bài toán 1, ta đợc
O
ˆ
'O
ˆ
=
.
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dợng các đờng tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD là tia phân giác
của xAy.
Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ị
21
A
ˆ
A
ˆ

C
D
r
r
r
r
1
2
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng hai đờng tròn ( A; r ) và ( B; r ) ( AB< r < AB )chúng cắt nhau tại C, D.
Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đờng trung trực của đoạn thẳng cho trớc.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng a cho
trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đờng trung trực của AB.

Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
C
D
BA
O
D
BA
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc
lại cách dựng.

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ
DH vuông góc với BC( H ẻ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hớng suy nghĩ:
∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của BC. Vậy yếu
tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có:
BK = KC =
6BC
2
1
=
cm.
Lại có: BD =
AB
2
1
= 5 cm ( do D là trung điểm
của AB)
Xét ∆ HBD có: BHD = 90
0
( gt), theo định lí Pitago ta có:DH
2
+ BH
2
= BD
2
ị BH
2

2
1
DBDA ==
; DH ⊥ BC
DH = 4 cm
KL
∆ ABC cân tại A.
A
A
B
C
H
K
D
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đờng thẳng đi qua trung
điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đờng
trung bình này học sinh sẽ đợc nghiên cứu trong chơng trình toán 8 nhng ở phạm vi
kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh đợc, việc chứng minh dành cho học sinh khá
giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ
muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có
C
ˆ
B
ˆ
=
; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách
vận dụng trờng hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:

C
ˆ
B
ˆ
=
( gt)
ị
21
I
ˆ
I
ˆ
=
(2)
Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
•
21
I
ˆ
I
ˆ
=
( theo (2))
• Cạnh AI chung
•
21
A
ˆ
A
ˆ

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng
đó. Nh vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung
điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
0
90A
ˆ
=
;
AM là trung tuyến
KL
BC
2
1
AM
=
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
• M
1
= M
2
( vì đối đỉnh)
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
B
A
C

0
90C
ˆ
A
ˆ
==
( Theo (2))
• AC là cạnh chung
ị ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c)
ị BC = AD (2 cạnh tơng ứng) Mà
AD
2
1
AM
=
ị
BC
2
1
AM
=
4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh
BC
2
1
AM
=
ta đã vẽ
thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó
AD

GT
∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
• M
1
= M
2
( vì đối đỉnh)
• MB = MC ( Theo gt)
ị ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c)
ị AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1)
và
D
ˆ
A
ˆ
1
=
(2 góc tơng ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ịCD < AC. (3)
Xét ∆ACD có:
CD < AC ( theo (3))
⇒
D
ˆ

= D, ta chỉ còn phải so sánh D và A
2
ở trong cùng một tam
giác ADC.
CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỜNG
THẲNG.
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài
38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn đợc phát biểu dới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song
bị chắn giữa hai đờng thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hớng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu
tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
3) Chứng minh:
GT AB // CD; AC // BD
KL AB = CD; AC = BD
Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:
• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
• AD là cạnh chung
• ADB = DAC( so le trong AC // BD)
ị ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g)
⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tơng ứng)
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
B
A

•
0
90I
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AM lµ c¹nh chung) ⇒ ∆ MAI = ∆ MAH
( c¹nh huyÒn – gãc nhän)
•
32
A
ˆ
A
ˆ
=
(gt) ⇒ MI = MH ( 2 c¹nh t¬ng øng) (1)
XÐt ∆ ABH vµ ∆ AMH cã:
•
0
21
90H
ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AH lµ c¹nh chung ⇒ ∆ ABH = ∆ AMH ( g – c - g)
•

3
2
1
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
MÆt kh¸c: H ∈ BM , Tõ (1) vµ (2) ⇒
CM
2
1
MICM
2
1
BM
2
1
MHBH
=⇒===
Xét ∆ vuông MIC có:
CM
2
1
MI
=
nên
0
30C
ˆ
=
từ đó suy ra: HAC = 60
0
.

nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tởng chừng nh rất khó giải, tuy
nhiên, chỉ bằng một đờng vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua
đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng vuông
góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng
minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng vuông góc với tia
phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Chứng minh: BD = CE.
2) Hớng suy nghĩ:
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng minh
chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đờng phụ cần vẽ thêm là đờng thẳng qua B và song
song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;AB < AC;
BC
2
1
MCMB
==
AH là tia phân giác BAC
DE ⊥ AH ;
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
D
A
B

nhng cha đợc khai thác nhiều trong giải toán.
CÁCH 6: PHƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU”
Đây là một phơng pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm đợc vào trong hình
vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán đợc thuận lợi. Ta
xét một bài toán điển hình:
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20
0
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
AD = BC. Chứng minh rằng DCA =
A
ˆ
2
1
.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ABC cân tại A, A = 20
0
; AD = BC ( D ẻAB)
Yêu cầu chứng minh: DCA =
A
ˆ
2
1
.
2) Hớng suy nghĩ:
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
,

20180
C
ˆ
B
ˆ
=
−
==
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta đợc: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ị MAB = MAC = 20
0
: 2 = 10
0
ABM = ACM = 80
0
– 60
0
= 20
0
Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM ( = 20
0
)
AC là cạnh chung
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
A
B
C

Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính đợc góc DCA dẫn tới
điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi ngời và
bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình.
* Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm:
Sau thời gian vận dụng phơng pháp kết, quả đạt đợc tơng đối khả quan 60% đã vận
dụng thành thạo, 30% đã biết vận dụng để giải một số bài đơn giản, 10% cần đợc bồi dỡng
thêm .
PHẦN IV: KẾT LUẬN
I. Kết luận.
Thông qua một số bài toán và phơng pháp giải một số bài toán hình học bằng cách vẽ
thêm yếu tố phụ học sinh đã hình thành cho mình một cái nhìn về phơng pháp này một
cách tích cực hơn đặc biệt là học sinh khá, giỏi.
Qua quá trình hớng dẫn một số bài tập thể nh vậy, học sinh đã biết vận dụng
một cách linh hoạt một số phơng pháp giải vào bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức
tạp. Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng, kết hợp các phơng pháp để giải đ-
Đỗ Thị Thu Hiền THCS CHí Tân – Khoái Châu – Hng Yên
Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
ợc các bài toán hình ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại
bài toán này nói riêng và học môn toán nói chung.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc bồi dỡng học sinh về phơng pháp giải
một số bài toán hình bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ cho HS lớp 7 đặc bịêt là HS khá,
giỏi. Mong rằng với một số phơng pháp này đồng nghiệp vận dụng sáng tạo vào
tình hình của học sinh và bổ sung để công tác bồi dỡng học sinh ngày càng có kết
quả.
II. Một số ý kiến đề xuất
1. Đối với giáo viên toán:
Trong quá trình dạy giáo viên cần phân loại các dạng toán, tìm các phơng pháp, phân
tích bài toán
- Tạo hứng thú cho các em khi học toán
2. Đối với các cấp quản lý.