SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KRÔNG ANA
TRƯỜNG THCS BUÔN TRẤP
----------

TÊN SÁNG KIẾN:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI
BÀI TẬP HÌNH HỌC 7
Thuộc bộ môn Toán

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Kim Thoa
Chức danh: Giáo viên
Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học
Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán.

Krông Ana, tháng 03 năm 2017

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

1


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THCS, tôi nhận
thấy đa số học sinh đều rất sợ học Hình học. Không chỉ đối với các em học sinh

sáng tạo cho học sinh, đồng thời cũng là để rèn luyện, nâng cao trình độ chuyên
môn nghiệp vụ của bản thân cũng như trao đổi một số kinh nghiệm cùng quý Thầy
cô, bạn bè, đồng nghiệp.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

2


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Rất mong được sự góp ý và trao đổi chân thành của quý thầy cô để kinh
nghiệm nhỏ này hoàn thiện hơn và mang lại hiệu quả cao hơn trong dạy học Toán ở
trường THCS.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
*Mục tiêu: Giúp giáo viên và học sinh nắm được một số phương pháp vẽ
thêm yếu tố phụ để giải bài tập Hình học 7 mà việc tìm được lời giải đòi hỏi phải vẽ
thêm yếu tố phụ mới có thể giải quyết được hoặc giúp cho việc giải Toán được
thuận lợi, dễ dàng và ngắn gọn hơn. Mặt giúp học sinh khắc sâu và nắm vững kiến
thức tổng hợp, phong phú để vận dụng vào việc giải hoặc chứng minh Hình học.
Tạo niềm say mê, hứng thú học Hình học của học sinh, môn học mà nhiều học sinh
rất sợ và không thích học, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng
tạo cho học sinh
Đưa ra một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giáo viên và học sinh có
thể áp dụng trong việc giải một bài tập Hình học nhằm nâng cao chất lượng giáo
dục và hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của
giáo viên cũng như của học sinh trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh
giỏi môn Hình học 7.
Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, làm tài liệu tham khảo cho
giáo viên và học sinh. Giúp giáo viên và học sinh thấy được sự quan trọng của việc


II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Trong Toán học, Hình học là phân môn đòi hỏi tư duy cao và có nhiều khả
năng nhất trong việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học. Muốn đạt hiệu quả
cao trong việc dạy và học Hình thì phải có phương pháp dạy và học tốt. Không có
phương pháp tốt, không có hiệu quả cao. Biết cách dạy Hình và biết cách học Hình,
hiệu quả dạy và học sẽ tăng gấp nhiều lần. Để dạy và học tốt môn Hình học thì đòi
hỏi cả giáo viên và học sinh phải nắm vững các kiến thức Hình học một cách sâu và
rộng; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức từ đơn giản đến phức tạp để có
thể giải được bài toán Hình học.
Giúp học sinh nắm được phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tập
Hình học 7 là vô cùng quan trọng vì trong chương trình Toán 7, học sinh bước đầu
được làm quen với việc chứng minh Hình học, rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận để
chứng minh các định lý, tính chất cũng như giải bài tập Hình học. Vì vậy trong mỗi
tiết dạy bài mới, luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi, giáo viên cần linh động đưa
ra các dạng toán Hình học mà việc giải đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ một cách
sáng tạo, hiệu quả, thuận lợi cho việc giải bài toán. Sau khi học xong các em sẽ tự
hệ thống hóa được các kiến thức và các phương pháp giải cần nhớ để áp dụng vào
bài tập và vào thực tế, việc học Hình học vì thế cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quả
hơn. Các em sẽ có thể tự giải được bài Toán Hình học dễ dàng và nhanh chóng,
không còn thụ động trông chờ vào người khác.
Việc đưa ra các dạng toán có vận dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ một
cách hợp lý trong phần luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi sẽ có tác dụng rất lớn
trong việc phát triển tư duy đồng thời tạo hứng thú học tập cho HS. Phát triển trí
tuệ cho HS lớp 7 qua bộ môn Hình học là một vấn đề rất quan trọng, cần được thấu
triệt trong mọi khâu của việc giảng dạy Toán: cách đặt vấn đề, nội dung các câu hỏi
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

4

dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải đã tạo ra những tình huống bất ngờ,
làm cho học sinh rất hứng thú với việc học tập. Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ
như thế nào để có lợi cho việc giải toán thì lại không hề đơn giản mà rất khó khăn
và phức tạp với cả giáo viên và học sinh bởi vì thực tế dạy học cho thấy không có
phương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ cả. Mỗi một bài toán lại có
cách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau khác nhau. Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài
tập Hình học không chỉ khó khăn với học sinh trung bình, yếu, kém mà ngay cả học
sinh khá giỏi cũng cảm thấy ngại và lười suy nghĩ, tìm tòi. Khi đọc đề bài toán, học
sinh chưa phân tích được các yếu tố bài toán đã cho, không biết vẽ hình hoặc vẽ
hình không chính xác, chưa biết sử dụng kiến thức nào, phương pháp nào để giải
dẫn đến không làm được bài tập. Một số học sinh định hướng được cách giải nhưng
lại không biết cách trình bày bài như thế nào cho chặt chẽ, logic.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

5


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Tuy nhiên trong quá trình dạy học, một số giáo viên chưa thường xuyên và
chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học
7, không biết nên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý nên khó khăn trong
việc hướng dẫn cho học sinh, do đó hiệu quả giảng dạy chưa cao. Nguyên nhân
chính là do giáo viên chưa thực sự đam mê nghiên cứu, tìm tòi, đào sâu và mở rộng
kiến thức, chưa nắm được nhiều phương pháp giải toán. Do tâm lý học sinh trung
bình, yếu sợ học môn Hình nên giáo viên khi dạy giáo viên thường chỉ dạy qua kiến
thức và bài tập trong sách giáo khoa ở mức độ áp dụng kiến thức cơ bản trong bài
mà không cần phải mở rộng, khai thác kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau,
không đưa ra nhiều cách giải khác cho các bài tập, không đưa ra các bài tập đòi hỏi

dễ dàng, biết chọn lựa phương pháp giải hay, hợp lý, ngắn gọn khi giải một bài
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

6


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

toán, phát triển tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh. Bồi dưỡng năng lực tự
học, tự nghiên cứu và tìm tòi khám phá kiến thức mới cho học sinh.
Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được sự cần thiết của
việc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học 7, có thể thấy
việc giải bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ mang lại hiệu quả rất lớn, ngoài ra
nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn khả năng tư duy,
phát huy tính sáng tạo, rèn tính cẩn thận và rèn kỹ năng sử dụng ngôn ngữ chính
xác, chính vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên thực sự nên đưa ra các bài tập
Hình học để hướng dẫn học sinh giải bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp
lý.
3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp:
- Giúp GV nhận biết được trường hợp nào nên đưa ra bài toán cần vẽ thêm
yếu tố phụ để giải khi dạy học môn Toán lớp 7 cho phù hợp để tạo hứng thú học tập
cho học sinh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy.
- Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức, khắc sâu, mở rộng và nâng
cao kiến thức cho HS, giúp học sinh biết vẽ hình theo yêu cầu đề bài, biết trường
hợp nào cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán, từ đó có thể vận dụng vào giải bài tập
từ cơ bản đến nâng cao.
- Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi vẽ hình và khi giải bài
tập Hình học, nắm được nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán, biết
chọn lựa cách giải hay, ngắn gọn, hợp lý để vận dụng vào giải bài tập, làm cho học

song với nhau”

A

C

B

D

Do vậy cần phải tạo ra một cặp góc so le trong hoặc
một cặp góc đồng vị mà sẽ chứng minh được gặp góc đó bằng nhau. Điều này gợi
cho ta nghĩ đến việc vẽ thêm tia đối của một trong bốn tia trên hình AB, AC, CA,
CD.
*Hướng dẫn giải:
A

Vẽ tia CE là tia đối của tia CA.

B

·
Ta có ECD
+ ·ACD = 1800 (vì hai góc kề bù)
·
· D = BAC
·
Ta lại có BAC
+ ·ACD = 1800 nên EC



A
2

O

1

*Hướng dẫn giải:

m

x

Vẽ tia OA, ta có:
2

1

n
y

µ = µA (hai góc đồng vị) (1)
Oy // An ⇒ O
1
1
¶ =A
¶ (hai góc đồng vị) (2)
Ox // Am ⇒ O
2

hai góc xOy và mAn có Ox // Am, Oy // An và xOy
= 900 thì

n

x

·
mAn
= 900 ”
m

A

Qua bài toán này ta cũng chứng minh được một tính
chất nữa về hai góc có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai
góc có cạnh tương ứng song song thì góc này vuông nếu góc
kia vuông” (2)

y

O

* GV cũng có thể thay đổi nội dung bài toán trên như sau: “Chứng minh
rằng: Nếu góc xOy nhọn và mAn tù có Ox // Am, Oy // An thì
·
·
xOy
+ mAn
= 1800 ”


A
O

y

·
·
Nếu thay góc xOy tù và góc mAn nhọn thì ta cũng có xOy
+ mAn
= 1800
Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất nữa về hai góc có
cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng
bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù” (3)
Từ ba tính chất (1); (2) và (3) có được ở các bài toán trên ta có định lý sau:
“Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:
a) Chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn hoặc đều tù
b) Góc này vuông nếu góc kia vuông
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

9


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

c) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù”
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh BC.
1
2


2

1

D

¶
⇒ ∆ MAC = ∆ MDB(c.g.c) ⇒ AC = DB, µA1 = D
2

¶ mà µ
¶ là hai góc so le trong nên AC // BD
A1 và D
Vì µA1 = D
2
2

Ta có:

AC / / BD 
0
·
 ⇒ BD ⊥ AB ⇒ ABD = 90
AC ⊥ AB 

·
Xét ∆ ABC và ∆ BAD có: AC = BD, BAC
= ·ABD (= 900 ) , cạnh AB chung
⇒ ∆ ∆ ABC = ∆ BAD (c.g.c) ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)
1

sáng tạo của học sinh, đồng thời làm cho học sinh hứng thú hơn với việc học Hình
học. Ngoài ra việc vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng bài toán còn giúp giáo viên ra đề
kiểm tra Hình học dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đối của các tia BA
và CA, lấy hai điểm D và E, sao cho BD = CE. Chứng minh DE //BC.
*Hướng dẫn giải:
A

B

D

Ta có: AB = AC (gt) và BD = CE (gt) nên AD = AE
⇒ ∆ADE cân tại A.
C

E

1800 − µA
∆ABC cân tại A ⇒ ·ABC =
2
∆ADE cân tại A ⇒ ·ADE =

1800 − µA
2

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ⇒ ·ABC = ·ADE . Mà ·ABC và ·ADE là hai góc đồng vị nên BC // DE.


C

N

2
1

E

∆DMB và ∆ENC có:

·
·
= ENC
= 900
BD = CE, B¶ 2 = C¶ 2 , DMB

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

11


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
⇒ ∆DMB = ∆ENC (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ DM = EN (hai cạnh tương ứng)

* Chứng minh ∆AMN cân:
¶ =E
µ (hai góc tương ứng)

M

· D = NA
· E ⇒ HAB
·
· AC
⇒ MA
=K
·
· AC )
⇒ ∆ABH = ∆ACK (vì AB =AC, HAB
=K
⇒ BH = CK, AH = AK (hai cạnh tương ứng)

B

K

C1

2

1

1

D

N


A

= ∆ ACO (Vì AB = AC,
·
· AO , AO chung)
BAO
=C

Khi đó
H
M

1

B

1 2

O

2

µ =O
¶ (hai góc tương ứng)
⇒O
1
2

K


Ta lại có: ∆ ABO = ∆ ACO ⇒ OB = OC (2 cạnh tương ứng) (5)
Từ (4) và (5) ⇒ AO là đường trung trực của BC hay AI là đường trung trực
của BC.
*Chứng minh tam giác IBC cân:
·
· AI , AI chung) ⇒ IB = IC (2 cạnh tương
∆ ABI = ∆ ACI (Vì AB = AC, BAI
=C
ứng) ⇒ ∆ IBC cân tại I.

*Chứng minh AI vuông góc với DE:
Ta có:

DE / / BC (cmt ) 
 ⇒ AI ⊥ DE
AI ⊥ BC (cmt ) 

Bài toán trên vẫn có thể tiếp tục mở rộng theo hướng khác, chẳng hạn có
thể yêu cầu HS chứng minh AI là đường trung trực của MN và DE; chứng
minh HK // MN hoặc gọi P là trung điểm của DE, chứng minh ba điểm A, I, P
thẳng hàng,...
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Từ D kẻ đường vuông góc với BC
cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N. Chứng minh MD =
NE.
*Hướng dẫn giải:

A

Ta có: ∆ ABC cân tại A ⇒ Bµ = Cµ1

Ta có: MD // NE ( ⊥ BC ) ⇒ M
1

A
M
1

1

B

D

I

C

E

2

¶ = IN
· E (cmt) và
Hai tam giác vuông DMI và ENI có: M
1
MD = NE (gt)
⇒ ∆ DMI = ∆ ENI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

N


1
2

12

M
1

(2 cạnh tương ứng)
¶ +H
¶ = 1800 (hai góc kề bù)
Mà H
1
2
¶ =H
¶ = 900 ⇒ AH ⊥ BC tại H
⇒H
1
2
⇒ AO ⊥ BC tại trung điểm H của BC

Vậy AO là đường trung trực của BC.

1 2

B

H

D

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

14


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

b.3. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán mà nếu không vẽ thêm yếu
tố phụ thì không thể tìm được lời giải.
Trong qua trình dạy và học Hình học, chắc chắn cả giáo viên và học sinh sẽ
gặp phải những bài toán hình học mà nếu chỉ dựa vào các yếu tố bài toán đã cho
thì chưa thể tìm được lời giải. Do đó cả GV và HS phải tìm cách vẽ thêm yếu tố
phụ đưa bài toán về dạng quen thuộc hoặc có thể sử dụng các kiến thức đã học để
giải. Việc vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp lý thực sự rất khó đối với nhiều học
sinh, đòi hỏi phải có sự sáng tạo để thuận lợi cho việc giải toán chứ không phải vẽ
một cách tùy tiện. Do đó giáo viên phải biết cách gợi ý, dẫn dắt học sinh để tìm ra
cách vẽ thêm yếu tố phụ cho phù hợp với bài toán đặt ra.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ·ABC = 600 . Chứng minh
AB =

1
BC
2

Nếu chỉ dựa vào hình vẽ và các yếu tố đã cho thì chưa thể giải được bài
toán. Do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải. Vì ·ABC = 600 nên ta nghĩ đến
việc tạo ra tam giác đều. Có thể vẽ thêm điểm D sao cho A là trung điểm của BD,
khi đó ∆ ABD là tam giác đều, từ đó có thể giải được bài toán dễ dàng.
*Hướng dẫn giải:
C

2

1
2

Mà AB = AD ⇒ AB = BC
Qua bài toán này, giáo viên lưu ý HS: “Nếu ∆ ABC vuông tại A có
·ABC = 600 hoặc ·ACB = 300 thì AB = 1 BC ”. Đây là một tính chất quan trọng mà HS
2

có thể sử dụng để làm các bài toán liên quan đến nửa tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho ∆ ABC có µA = 600 . Chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB .
AC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

15


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Bài toán chỉ cho duy nhất một yếu tố là µA = 600 , mà lại yêu cầu chứng minh
BC2 = AB2 + AC2 – AB . AC. Dựa vào yếu tố đã cho thì chưa giải được bài toán nên
ta nghĩ đến việc vẽ thêm yếu tố phụ là đường vuông góc để tạo ra nửa tam giác đều
và để có thể áp dụng được định lý Pi-ta-go. Trong trường hợp ta vẽ yếu tố phụ là
đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các
tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh.
*Hướng dẫn giải:
A


 2  4
2

2

2

2

2

2

2

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ta giác vuông HBC, ta có:
BC2 = HB2 + HC2
2

AC  3
AC 
AC  3


2
2
=  AB −
÷ + AC =  AB −
÷ AB −
÷+ AC

A

*Hướng
dẫn giải:
1

B

M
1

1

2

E
C

Người thực hiện:
H Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
1

F

D

16


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

µ =F
µ
Do đó: ⇒ D
1

⇒ ∆ ADE cân tại A ⇒ BF = BD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CE = BD.
Ví dụ 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có µA = 800 . Gọi D là điểm nằm
·
·
· D.
= 100 , DCB
= 300 . Tính số đo BA
trong tam giác sao cho DBC
·
·
µ =C
µ = 500 mà DBC
∆ ABC (AB = AC) có µA = 800 ⇒ B
= 100 , DCB
= 300 , cần tìm
· D . Từ giả thiết trên và qua kinh nghiệm giải các bài toán về tính số đo
số đo BA

góc, vẽ thêm tam giác đều là công cụ thường sử dụng nhất. Do vậy trên nửa mặt
phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tam giác đều BEC, từ đó ta xác định được số đo
· D.
BA
*Hướng dẫn giải:


C

⇒ Tia BA nằm giữa hai tia BC, BE.
·
·
·
·
⇒ CBA
+ ·ABE = CBE
⇒ ·ABE = CBE
− CBA
= 600 − 500 = 100

Xét ∆ EBA và ∆ ECA có:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

17


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

EB = EC (vì ∆ EBC đều), EA chung, AB = AC(gt)
· A = CE
· A (2 góc tương ứng)
⇒ ∆ EBA = ∆ ECA(c.c.c) ⇒ BE
·
· E = 600 : 2 = 300
Mà BEC
= 600 ⇒ BA

thông minh sáng tạo khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt mục
đích là tạo điều kiện để giải bài toán một cách ngắn gọn và dễ dàng hơn chứ không
phải tùy tiện thích vẽ thêm là vẽ. Do đó giáo viên phải thường xuyên đưa ra dạng
toán này để học sinh nắm được nhiều cách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau, từ đó áp
dụng làm bài ập tương tự.
b.4. Vẽ thêm yếu tố phụ để đưa ra nhiều cách giải khác nhau cho một
bài toán.
Trong quá trình giảng dạy, và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở rộng và nâng
cao kiến thức đã học nhằm phát triển tư duy, phát huy tính độc lập, sáng tạo và bồi
dưỡng năng lực tự học cho học sinh là vô cùng quan trọng. Chính vì thế giáo viên
cần phải tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải hay cho một bài toán.
Hệ thống kiến thức và bài tập đưa ra phải đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn, lôi
cuốn, kích thích được trí tò mò và mong muốn khám phá của học sinh. Trong các
tiết luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên khéo léo chọn lựa, cho học
sinh làm một số bài toán có thể giải bằng nhiều cách bằng cách vẽ thêm các yếu tố
phụ khác nhau. Trong đó học sinh có thể dùng kiến thức và phương pháp giải đã
học để giải bài toán. Điều đó sẽ tạo yếu tố bất ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và
phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. Học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say
mê học Toán khi phát hiện ra các cách giải mới cho một bài toán mà mình chưa
biết.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

18


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

µ =C
µ ”
Ví dụ 1: “Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh : B

Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:
¶ (theo cách vẽ)
AB = AC (gt); AH chung, µA1 = A
2
⇒ ∆ ABH = ∆ ACH (c – g – c)

B

C

H

µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒B

Để chứng minh Bµ = Cµ trong trường hợp này thì học sinh phải vẽ thêm yếu tố
phụ là vẽ thêm tia phân giác của góc A để tạo ra hai tam giác bằng nhau rồi chứng
minh hai tam giác bằng nhau dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh.
Đây là một cách vẽ yếu tố phụ đơn giản mà học sinh có thể thực hiện được.
Học sinh cũng có thể vẽ yếu tố phụ để giải bài toán trên theo hai cách sau:
* Cách 3:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho
BD = CE.
Ta có: AB = AC (gt) ; BD = CE (cách vẽ)
⇒ AB + BD = AC + CE ⇒ AD = AE

A

Xét ∆ ADC và ∆ AEB có:

= ECB
·
µ = 1800 (kb); ECB
·
µ = 1800 (kb) ⇒ B
µ =C
µ
+B
+C
Mà: DBC
1
1
1
1

*Cách 4:
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của
tia AC lấy điểm N sao cho: AM = AN.

M

N

1

1
1

Xét ∆ ABN và ∆ ACM có:


µ (2 góc tương ứng)
⇒ ∆ MBC = ∆ NCB (c – g – c) ⇒ B
1
1

Cũng vẽ thêm yếu tố phụ để tạo ra hai tam giác bằng nhau, nhưng trong cách
3 và cách 4 mức độ khó và phức tạp cao hơn cách 2 rất nhiều, trong trường hợp này
không thể chứng minh ngay hai tam giác chứa góc B và góc C bằng nhau mà phải
chứng minh thêm cặp tam giác khác bằng nhau trước, từ đó sử dụng một số yêu tố
bằng nhau trong hai tam giác này để chứng minh hai tam giác chứa góc B và góc C
bằng nhau.
Qua bài toán này, giáo viên giúp học sinh thấy được đối với nhiều bài toán
hình học, nếu chỉ sử dụng giả thiết đề bài cho nhiều khi chưa giải được bài toán,
nhưng nếu biết cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý, sáng tạo thì việc giải bài toán sẽ trở
nên dễ dàng và thuận lợi hơn chẳng hạn như cách 2 trong bài toán này. Học sinh sẽ
biết thêm một phương pháp giải toán hình học mới.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh
1
AB và AC. Chứng minh rằng: DE // BC và DE = BC .
2
* Cách 1:

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

20


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Nếu chỉ dựa các yếu tố đã cho trong hình vẽ thì chưa thể chứng minh được

⇒ AD = CM (2 cạnh tương ứng); µA = C
1
2

B

⇒ ∆ EAD = ∆ ECM (c-g-c)

tương ứng)

1

C

Ta có : µA = Cµ1 , mà µA và Cµ1 là hai góc so le trong

· DC = MC
· D (hai góc so le trong )
⇒ AD // CM ⇒ B

Xét ∆ BDC và ∆ MCD có:
· D (cmt), DC chung.
BD = MC (= AD) , B· DC = MC
⇒ ∆ BDC = ∆ MCD (c – g – c)
¶ =C
¶ (2 góc tương ứng)
⇒ BC = DM (2 cạnh tương ứng); D
1
2
¶ =C

Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD.
Xét ∆ EAD và ∆ ECN có:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

21


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

EA = EC (gt), µA = Cµ1 (vì AD // CN), AD= CN (theo cách

A

D

1

1
3

x

E

vẽ)
⇒ ∆ EAD = ∆ ECN (c-g-c)

N

2

BD = CN (= AD) , B· DC = NC
⇒ ∆ BDC = ∆ NCD (c – g – c)
¶ =C
¶ (2 góc tương ứng)
⇒ BC = DN (2 cạnh tương ứng); D
1
2
¶ =C
¶ , mà D
¶ và C
¶ là hai góc so le trong ⇒ DE // BC
Ta có : D
1
2
1
2

Vì DE =

1
1
DN mà DN = BC ⇒ DE = BC
2
2

Vậy DE // BC và DE =

1
BC .
2

2
¶ = ·ACB (SLT)
BF / / AC ⇒ B
2
BF =

µ = ·ACB ( ∆ ABC cân tại A ) ⇒ B
µ =B
¶
Mà B
1
1
2

Ta có :
1
2

1
2

AB =AC, BF = AC , BD = AB ⇒ BD = BF

A

Xét ∆ BDC và ∆ BFC có:

D

µ =B

tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung
1
2

điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có : BM = CE
Ta có : AB =AC,
A

AM =
D
B

M
C

1
1
AC , AD = AB ⇒ AM = AD
2
2

Xét ∆ ABM và ∆ ACD có:
AM = AD (cmt); µA chung; AB =AC (gt)
⇒ ∆ ABM = ∆ ACD (c – g – c)
⇒ BM = CD (2 cạnh tương ứng)

E

1
2


⇒ ∆ ACE = ∆ ABH (c – g – c)

D

⇒ BH = CE (2 cạnh tương ứng)
1
2

B

1
2

C

Mà CD = BH ⇒ CD = CE
E

H

* Cách 4:
Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB. Xét ∆ ABN có D,C lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BN, vận dụng tính chất được chứng minh ở ví
dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và
1
2

bằng một nửa cạnh còn lại, ta có: CD = AN
A

2
1

Xét ∆ BCE và ∆ CNA có:
BC = CN (cách vẽ); B¶ 2 = Cµ1 (cmt); BE = AC ( = AB)
⇒ ∆ BCE = ∆ CNA (c – g – c)
⇒ AN = CE (2 cạnh tương ứng)
1
2

1
2

Mà CD = AN ⇒ CD = CE
* Cách 5:
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

24


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Xét ∆ BEC P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE, vận dụng tính chất được
chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh
1
2

thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có: PQ = CE .
Xét ∆ BAC có P và D lần lượt là trung điểm của BC, BA, vận dụng kết quả

1
2
1
2

∆ BDP cân tại D (vì PD = BD =

2

1

C

P

Q

Từ (3) và (4) ⇒ PD = BQ
(5)

2
1

E

1
¶ =D
¶ (6)
AB ) ⇒ B
2

25