TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
Ng êi thùc hiÖn Mai tr ọ ng M ậ u
1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CƯ KUIN
TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ
TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THCS
********

Họ và tên: MAI TRỌNG MẬU
Tổ : Toán -lý-Tin
Năm học : 2011 - 2012
*********
TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
1 . Lý do viết sáng kiến kinh nghiệm .
1.1- Cơ sở lý luận :
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài
toán khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này
không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh
cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra
được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các
điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải
thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc
biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một
sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương
pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình
học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về

lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán
cụ thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là
góp phần gợi về phương pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào
mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đường phụ.
II. NỘI DUNG
A. Các bước tiến hành.
1. Điều tra:
Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu
và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh
như sau:
- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 9A+9B THCS Nguyễn đình Chiểu –
Cư Kuin năm học 2011-2012.
- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 28/8/2011.
- Tổng số học sinh được điều tra: 67 em.
- Thống kê điều tra như sau:
01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng
trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm 30 %
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng
trong giải toán THCS có: 15 em chiếm 22,4%.
03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một
số bài toán trong chương trình toán lớp 8, 9 gồm có: 10 em chiếm 15%.
04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có
vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 33 em chiếm 50 %
05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài
toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%
2. Quá trình thực hiện:
Ng êi thùc hiÖn Mai tr ọ ng M ậ u
3
TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy được và nắm vững các yêu

Ng êi thùc hiÖn Mai tr ọ ng M ậ u
4
TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng
xác định.
Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường
thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.
Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.
Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung
hoặc đường nối tâm.
Vẽ tia đối của một tia
Dựng các đường đặc biệt trong tam giác ( Trung tuyến , trung bình,
phân giác , đường cao )
c) Đường phụ là đường tròn:
*Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
*Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có
*Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác
Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần
phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ :
Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là
đường gì ? và vẽ từ đâu ?
01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc
tính chất các hình để giải quyết bài toán.
02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một
định lý để giải quyết bài toán.
03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các
mối quan hệ để giải quyết bài toán.

- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh
của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và
chứng minh điều gì?
Ng êi thùc hiÖn Mai tr ọ ng M ậ u
6
A
C
M
D
B
E
TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM
ta phải chứng minh điều gì?
02. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối
quan hệ để giải quyết bài toán:
Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh
các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của
một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến
Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh
CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho
·
0
BNM 90=
. Gọi F là điểm
đối xứng của A qua N, chứng minh:FB ⊥ AC
Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh.
Phân tích: Ta thấy
·

C
M
DA
B
E
I
K
F
N
TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được
CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một
đường cao của ∆ BNC.
Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK). Do đó suy ra điều phải
chứng minh là:
BF ⊥ AC
Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF
để chứng minh I là trực tâm của ∆ BNC.
Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi
gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử
dụng những câu hỏi như:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là
đường gì của ∆ BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có
điểm nào?
- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với
một đường cao của ∆ BNC?
- Với NE là đường cao của ∆ BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng
minh I là điểm có tính chất gì?
Ví dụ3: Cho

MH MQ MP CA CB BA MH
MH MK
MP MK MQ CB BA CA MK
= = =
=> = => = => =
03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ
Ví dụ 4: Cho
∆
ABC có
µ µ
2A B=
Chứng minh rằng:
BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan
đến công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công
thức này , ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý
Pitago vì không tạo ra được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba
cạnh ngay được
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn
vào tam giác đồng dạng
( )
2 2 2
.BC AC AC AB BC AC AC AB= + ⇐ = +

ABC cân tại A nên:
·
· ·
2 2BAC ABD ADB= =
Xét
∆
ABC và
∆
BDC có:
·
·
·
1
2
BDC ABC BAC= =
µ
C
chung nên
∆
ABC đồng dạng với
∆
BDV (g.g)
ABACACABACACADACACCDACBC
BC
AC
CD
BC
.)()(.
22
+=+=+===>=⇒

AB
+ =
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A
Chứng minh rằng :
·
1
2 2
ABC AC
tg
p AC
+ =
−
với p là nửa chu vi của tam giác ABC
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và
N
Ng êi thùc hiÖn Mai tr ọ ng M ậ u
10
B
C
D
A
TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012
sao cho OM +ON = 2a không đổi .
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn
nằm trên một đoạn thẳng cố định A
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất
Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của
BC;AC và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh
các đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7 : Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát

Bảng kết quả thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó:
Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 67 2 10 33 22
KH I 67 8 26 33 0
Giữa KHII 67 12 32 23 0
III. KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA
Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là
những bài toán khó nhưng lại là những bài toán hay, nó giúp cho tư duy logic
của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy cho
học sinh.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp
tuỳ ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp
học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới
phân dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng
đã chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết
trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm
vi rộng và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các
dạng bài toán đã nêu do gới hạn của đề tài .
Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội
dung phong phú hơn. Mong được sự góp ý chân thành của bạn đọc./.
Ngày 12 tháng 12 năm 2011
Người viết
Mai trngj Mậu
Ng êi thùc hiÖn Mai tr ọ ng M ậ u
12