PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng
một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm
năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động
có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực
nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn
luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển
phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh.
Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn
hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong
học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp
chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp,
trung thực, tự tin, khiêm tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới
một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ
hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….

1

Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng
thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó
việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có
một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có
kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài

bày của đề tài “Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải toán hình học
giúp học sinh giải đúng một số bài toán hình học liên quan” là một nội dung
tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt
hơn loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm
đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt
kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương
trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc
giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có
của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ
thêm đường phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các
kiến thức này cho học sinh. Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời
giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ
thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp
phần gợi về phương pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ
phức tạp của việc kẻ thêm đường phụ.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan.
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng
trong giải Toán THCS có: 10 em chiếm 40 %
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng
trong giải toán THCS có: 6 em chiếm 24%.
03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một
số bài toán trong chương trình toán lớp 8 gồm có: 4 em chiếm 16%.
04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có
vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 16 em chiếm 64 %
05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các
bài toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%
2. Quá trình thực hiện:
2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.
01- Vẽ đường phụ phải có mục đích:
Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy
nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán
theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với
điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường
phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không
giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm
cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu

5

hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?". Nếu
"không" nên loại bỏ ngay.
02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải
xác định được.
03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:
Đường phụ thườngthỏa mãn các tính chất nào đó , việc lựa chọn đường
phụ là rất quan trọng.Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách

Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn
BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD.
Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.
Phân tích:
Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong
các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng
minh hai đoạn thẳng bằng nhau .
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh
CE=CM hoặc CE=DM. Chọn CE = CM.
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được
∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE=CM là điều phải chứng minh.
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆
MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c
Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta
có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh
của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng
minh điều gì?

7
A
C
M
D
B
E

- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta

·
BFC
.
Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh.
- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung
điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng
minh bài toán này bằng cách nào?
Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các
em có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy .
Liệu BF có là đường cao của ∆ BNC được không?

8
C
M
DA
B
E
I
K
F
N

Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh
BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC.
Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E.
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được
CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một
đường cao của ∆ BNC. Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK). Do đó
suy ra điều phải chứng minh là: BF ⊥ AC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
Ta có lời giải như sau
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q. Theo định lý Talét

' '
' '
; ;
MH CA MQ BC MP BA
MP CB MK BA MQ CA
= = =
' '
' '
. . . .
MH MQ MP CA CB BA
MP MK MQ CB BA CA
→ =

→

1
MH
MH MK
MK
= → =
03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ
Ví dụ 4: Cho
∆
ABC có
µ µ

vào tam giác đồng dạng
( )
2 2 2
.BC AC AC AB BC AC AC AB= + ⇐ = +
Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng
minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn
thẳng bằng AB+AC
-Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn
bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB
? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào để vận dụng được giả
thiết
µ µ
2A B=
?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải

Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó
∆
ABC cân tại A nên:
·
· ·
2 2BAC ABD ADB= =

Xét
∆
ABC và
∆

11
B
C
D
A

Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac
tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH
Chứng minh rằng :
2
2
AB AC
CH BC
 
=
 ÷
 

Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có
µ
0
20A =
.Chứng minh rằng :
2
2
3
AB BC
BC
AB


12

PHẦN III. KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên
đối với 25 em học sinh lớp 8B trường THCS Vân Đồn đã thu được kết quả như
sau:
01. Số học sinh nắm được các loại đường phụ thường sử dụng trong giải
toán THCS có: 20/25 = 80%.
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường được sử
dụng trong giải toán THCS có: 18/25 = 72%.
03. Số học sinh vẽ (dựng) được các đường phụ hợp lý và giải được một số bài
toán hình trong chương trình Toán lớp 8 có: 11/25 = 44%.
04. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các
bài toán tương đối khó : 5/25 em chiếm 20%
Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp này , tôi đã thu được
nhiều kết quả tốt .
Bảng kết quả khảo sát sau cho thấy rõ điều đó:
Tổng số
Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém
Đầu năm 26 2 = 7,6 % 6 = 23% 13 = 50% 5 = 19,4%
Học kỳ I 25 3 = 12% 9 = 36% 10 = 40% 3 = 12%
Giữa KHII 25 3 = 12% 12= 46% 8 = 34% 2 = 8%

13

PHẦN IV. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự

2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
Tóm lại, các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ
tuy là những bài toán khó nhưng lại là những bài toán hay, nó giúp cho tư duy lo
gic của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy
cho học sinh.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ
ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp
học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới
phân dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng
đã chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết
trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện chưa cho phép, đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi
rộng và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các dạng
bài toán đã nêu do gới hạn của đề tài . Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên