PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÊ LINH
TRƯỜNG THCS LIÊN MẠC A

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
********
Họ và tên giáo viên: Phạm Phúc Đinh
Tổ chuyên môn: KHTN
Năm học : 2008 - 2009
*********
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
1. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1.1- Cơ sở lý luận:
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó
đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu
học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán
nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường
minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần
phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so
sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm
đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt
phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình
học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đó
khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt
các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc
phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
1.2- Cơ sở thực tiễn:
Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao
tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật phát

- Tổng số học sinh được điều tra: 40 em.
- Thống kê điều tra như sau:
01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giải
Toán THCS có: 20 em chiếm 50 %
02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng trong
giải toán THCS có: 15 em chiếm 37,5%.
03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số bài
toán trong chương trình toán lớp 7, 8 gồm có: 10 em chiếm 25%.
04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽ
thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm 50 %
05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài
toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%
2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:
Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy được và nắm vững các yêu cầu khi
vẽ (dựng) các đường phụ.
2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.
01- Vẽ đường phụ phải có mục đích:
Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó
phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một
mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã
cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ
tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng
minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì
vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục
đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay.
02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác
định được.
03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:
Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường phụ là
rất quan trọng. Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khác

Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là đường gì?
và vẽ từ đâu?
01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính
chất các hình để giải quyết bài toán.
02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để
giải quyết bài toán.
03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan
hệ để giải quyết bài toán.
04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
05. Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương
đương để giải quyết bài toán.
2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:
01. Dựa vào các bài toán đã biết:
Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinh
nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽ
đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc.
Ví dụ 1:

Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn
BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD.
Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.
Phân tích:
Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các
cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau.
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE=CM
hoặc CE=DM. Chọn CE = CM.
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được:
∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE=CM là điều phải chứng minh.

Câu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại “đột ngột” kẻ như vậy?
Nếu không kẻ thì có chứng minh được không?
- Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì?
Câu trả lời mong đợi:
- Sử dụng định lí Talet (để có tỉ số) và tạo được hai
đoạn thẳng bằng nhau
Tôi tự hỏi và cung đưa ra cho học sinh cùng tháo gỡ
Liệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh được định lí không?
Có rất nhiều ý kiến
Thế là bài học của tôi rất hấp dẫn học sinh vô cùng háo hức sôi nổi hơn cả sự mong
đợi của tôi.
A
B
D
C
E
Kết quả là chỉ sau một thời gian thầy trò tôi có được 10 cách giải khác nhau ứng với
các cách kẻ của hình vẽ.
Cách 2: Từ B kẻ BE sao cho góc ABE = góc ACB
Để
~AEB ADC∆ ∆
suy ra tỉ số và
BED∆
cân tại B
Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại E
Cách 4: Từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc với AD.
Cách 5: Từ D kẻ DE và DF vuông góc với AB và AC
Cách 6: Từ D kẻ DE, DF lần lượt song song với AC và AB
Cách 7: Từ A và D lần lượt kẻ Ax//BC và Dy//AB chung cắt nhau tại E
Cách 8: Từ B, và C kẻ

N

D
B
A
C
E
Hình 1
Ta thấy
·
BFC
là một góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một
tam giác bằng 180
O
thì có
· · ·
0
FBC BCF BFC 180+ + =
, nhưng ta chưa thể tính được
· ·
FBC BCF+
bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc
·
BFC
. Vậy không
thể vận dụng định lý trên để chứng minh.
- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm
của đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán
này bằng cách nào?
Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các em

cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC
cắt A’B’; A’C’ tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh .
? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả. Ta chú ý đến giả thiết của
bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với
nó nhất?
Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet
- Ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ?
- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC
- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
Ta có lời giải như sau
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q
Ta có: Theo định lý Talét
MKMH
MK
MH
CA
BA
BA
CB
CB
CA
MQ
MP
MK
MQ
MP
MH
CA

H
M
A
B
C
A'
B'
C'
P
Q
Ví dụ 5 : Cho
∆
ABC có
µ µ
2A B=
Chứng minh rằng: BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Hướng dẫn:
- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức
cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này,
ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra
được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay được
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn vào
tam giác đồng dạng

1
2
BDC ABC BAC= =
µ
C
chung nên
∆
ABC đồng dạng với
∆
BDV (g.g)
B
C
D
A
ABACACABACACADACACCDACBC
BC
AC
CD
BC
.)()(.
22
+=+=+===>=⇒
Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm
đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải
giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi
mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể. Trong
quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài
toán hình học.
2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác

tg
p AC
+ =
−
với p là nửa chu vi của tam giác ABC.
Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N
sao cho OM +ON = 2a không đổi.
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox, Oy thì trung điểm của MN luôn
nằm trên một đoạn thẳng cố định
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất
Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm của
BC;AC
và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh các
đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát tuyến BAC
bất kỳ. Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B.
(Q) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C.
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E
≠
A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho
OP + OQ = 2007 . Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
B. KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên
(Từ 15/10/2008 đến nay) đối với 40 em học sinh lớp 8A trường THCS Liên Mạc A –

nêu do gới hạn của đề tài.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy
tôi còn nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy cô giáo trong tổ toán
trường THCS Liên Mạc A – Mê Linh – Hà Nội, đặc biệt là sự giúp đỡ tận tình của
thầy giáo Đào Xuân Đoàn trực tiếp là hiệu trưởng của trường THCS Liên Mạc A đã
tham gia góp ý kiến để tôi hoàn thành đề tài này.
Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội dung
phong phú hơn. Mong được sự góp ý chân thành của bạn đọc./.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

ý kiến hội đồng khoa học nhà trường Người thực hiện

Phạm Phúc Đinh
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SGK Toán 7 - Nhà xuất bản GD
- SGK Toán 8 – Nhà xuất bản GD tập 2
- SGK Đại số 9 - Nhà xuất bản GD
- Một số vấn đề phát triển Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dưỡng Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất bản GD 1995
- Toán nâng cao và phát triển Toán 9
- 36 bộ đề thi HSG cấp 2 – Nhà xuất bản trẻ
- Để học tốt Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 1999
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000
- 23 chuyên đề toán học tuổi trẻ
- Các số báo của toán tuổi thơ năm 2007 đến tháng 04/2009
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan
Mục lục
I. Những vấn đề chung Trang 2
1. Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 2