UBND TỈNH HẢI DƯƠNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI
GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC”
MÔN:TOÁN
KHỐI LỚP: 8; 9
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG CẤP TỈNH
ĐIỂM THỐNG NHẤT
Bằng số:
Bằng chữ:
Họ và tên Giám khảo số 1: chữ ký:
Họ và tên Giám khảo số 2: chữ ký:
Năm học: 2012-2013
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
Trường: THCS Văn Giang
TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI
GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC”
MÔN:TOÁN
TÊN TÁC GIẢ: ÔNG NGUYỄN ĐẮC VIỆN
Xác nhận của nhà trường( ký, đóng dấu)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
2
Số phách
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH GIANG

TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ YẾU PHỤ KHI
GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC”

thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì toán học là môn khoa
học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó
đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu
cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ
năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường
phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả
thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư
duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách
khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm
đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ở
mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định
nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đó khoảng cách từ lạ
đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán
hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển
năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
1.1.2 CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có
vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này,
đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận
xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán,
tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ
sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt
bộ môn.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất
nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách
5
giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với đa số
học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường phụ cũng như
kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về

toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh
phổ thông cơ sở như:
+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
+ Sách giáo viên 7, 8, 9
+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh
- Hội thảo khoa học, phỏng vấn, dạy học thực nghiệm và khảo sát đối với
học sinh khá, giỏi khối 8 và khối 9.
- Đúc rút kinh nghiệm qua khảo sát thực nghiệm và đối chứng.
1.5. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
- Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tố
phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì
cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, say mê học Toán và phát huy
năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
- Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụ
trong giải toán hình học ở bậc THCS , phát hiện và vận dụng các phương pháp
giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1 CƠ SỞ KHOA HỌC.
2.1.1 LÍ LUẬN CHUNG
7
Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh
tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới,
và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành
lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng. Đây
là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
Khi giải bài tập hình có kẻ thêm yếu tố phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều
các thao tác tư duy, trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý
mà phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến,
việc làm các ví dụ về bài tập trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này.

thẳng khác một góc bằng góc cho trước.
- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.
- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.
- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung
trong , tiếp tuyến chung ngoài hoặc đường nối tâm.
- Vẽ tia đối của một tia cho trước.
- Dựng các đường đặc biệt trong tam giác ( Trung tuyến, trung bình,
phân giác, đường cao, trung trực )
* Đường phụ là đường tròn:
- Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có
- Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có
- Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác.
9
Trên cơ sở đó, các yêu cầu về vẽ các đường phụ, giáo viên cần phân
dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
2.2.1. Thuận lợi:
- Được sự chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động dạy và
học đặc biệt là trong hoạt động chuyên môn luôn tạo mọi điều kiện cho giáo
viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi
mới sáng tạo nhất nhằm bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi của nhà
trường.
- Bên cạnh đó các đồng chí giáo viên giảng dạy môn toán cũng thấy sự cần
thiết phải trang bị cho học sinh những kiến thức về việc vẽ thêm các yếu tố phụ
để có phương án đề xuất tìm lời giải cho những bài tập hình.
2.2.2. Khó khăn.
- Hình học là bộ môn khó, đòi hỏi sự tư duy cao đặc biệt là những bài tập
có yếu tố kẻ thêm đường phụ.
- Phần lớn các em học sinh thường ngại học môn hình, nhiều em học còn
yếu những kĩ năng cơ bản như kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng sử dụng sơ đồ

Ví dụ 1.

Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn
BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC.
CMR: CE = CD.
11

(Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.)
Phân tích : Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.
Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong
các cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứng
minh hai đoạn thẳng bằng nhau .
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh
CE = CM hoặc CE=DM. Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu
chứng minh được ∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng
minh.
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh
∆ EBC = ∆ MBC(c.g.c)
Việc hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta
có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở.
+ Với M là trung điểm của CD, thì CE và CM là các cạnh của tam giác
nào?
+ Để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng
minh điều gì? Hoặc ta có thể hỏi: Để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh
điều gì?
12
b. Kẻ thêm các yếu tố phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề
tương đương để giải quyết bài toán.
Phương pháp: Từ yêu cầu của bài toán ta biến đổi chúng đưa bài toán
về dạng quen từ đó gợi nên các đường phụ cần vẽ.

·
·
= ⇒ ∆ ∆ −: ( )BAM NCM BAM NCM g g

⇒ = ⇔ =
MB AM
MB.MC AM.MN
MN MC
thay và (1) ta được

AM.MN MN(MB MC) AM MB MC> + ⇒ > +
Vậy để chứng minh
1 1 1
MN MB MC
> +
ta chỉ cần chứng minh
AM > MB + MC là xong.
13
Đến đây ta lại trở lại bài toán quen thuộc: Cho ΔAB’C’ đều nội tiếp (O);
M là một điểm bất kì trên cung nhỏ B’C’. Chứng minh rằng: AM = MB’ + MC’
Ta có trên AM lấy E sao cho ME = B’M. Khi đó
·
·
0
B'ME B'C'A( 60 )= =

suy ra ΔB’EM đều.
·
·
EB'M AB'C'⇒ =

Do M và N là trung điểm của AB và CD, lại có AD = BC nên ta lấy thêm I
là trung điểm của AC.
Khi đó MI và IN là các đường trung bình của ΔABC và ΔACD.
Đến đây ta cần chứng minh ΔMIN cân tại I thì ta tìm được lời giải cho bài
toán
Ta có thể đưa ra câu hỏi gợi mở như sau:
+ Với AM = MB, DN = NC và AD = BC thì trung điểm của AC có mối quan hệ
gì với hai tam giác ΔABC và ΔACD?
+ Để chứng minh
·
·
DFN CEN=
ta cần chứng minh ΔMIN là tam giác gì?
d.Kẻ thêm yếu phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý
để giải quyết bài toán.
Phương pháp: Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc
vuông, đồng quy, song song và trung điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kết
các giả thiết đó lại với nhau để đề xuất phương pháp chứng minh phù hợp.
Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD và N
là một điểm trên đường chéo AC sao cho
·
0
BNM 90=
. Gọi F là điểm đối xứng
của A qua N. Chứng minh FB ⊥ AC
(Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh)
Phân tích: Ta thấy
·
BFC
là một góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: Tổng 3 góc

- Để chứng minh BF
⊥
AC ta có thể chứng minh BF là đường gì của
∆BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có điểm
nào?
- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một
đường cao của ∆ BNC?
- Với NE là đường cao của ∆BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng minh
điều gì?
16
Ví dụ 5: Cho
∆
ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong tam giác. Nối M với các
đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng
song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MH
Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh . Sau khi đã tìm nhiều
cách chứng minh không có kết quả . Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho
ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với nó nhất?
(Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet)
Phân tích:
- Ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ ?
- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC
- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
- Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q. Ta có KH //BC nên theo định lý Talét

' '
; ;
' '

. Mặt khác
·
xAB
là góc tạo bởi tia tuyến và dây cung AB nên
·
·
xAB HCB=
·
·
xAB AKH⇒ =
suy ra Ax // KH mà Ax
⊥
AO nên AO
⊥
KH
Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ
thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh
mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân
dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng
bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ
đường phụ trong giải các bài toán hình học.
2.3.3 Một số bài tập tham khảo.
Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngoại tiếp
cac tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4
Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH
Chứng minh rằng :
2
2
AB AC
CH BC

M và N sao cho OM +ON = 2a không đổi .
a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox , Oy thì trung điểm của MN luôn
nằm trên một đoạn thẳng cố định A
b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất
Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi D;E;F thứ tự là trọng
điểm của BC;AC và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC.
Chứng minh các đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.
Bài 7 : Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát
tuyến BAC bất kỳ.Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B (Q)
là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C
a) Tứ giác APOQ là hình gì ?
b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E
≠
A)
Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và
Oy sao cho OP + OQ = 2007 . Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)
a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau
b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .
2.4 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
2.4.1. Kết quả điều tra trước khi thực hiện đề tài.
Trước khi thực hiện sáng kiến này tôi đã tiến hành điều tra tại một
trường THCS trên địa bàn về việc hiểu các yếu tố phụ và kỹ năng giải bài toán
hình có vẽ thêm các yếu tố phụ đối với học sinh khá, giỏi như sau:
- Tổng số học sinh được điều tra (khối 8 và khối 9) là: 65 em
19
- Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong
giải Toán THCS có: 5 em chiếm 7,7%
- Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng

khi các em giải các bài tập hình mà có thêm các yếu tố phụ, mặc dù dẫn dắt các
em phát hiện vấn đề từ dễ đến khó nhưng tôi vẫn nhận thấy các em vẫn cảm thấy
ngại và sợ khi gặp các bài toán như thế.
Sau khi triển khai và áp dụng những kinh nghiệm của bản thân tôi nhận
thấy việc các em có kĩ năng phát hiện và tìm được các yếu tố phụ trong lời giải
bài tập hình là cần thiết. Đề tài cũng đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tôi thiết nghĩ những phương pháp vừa trình bày ở trên không quá khó
tiếp cận với các các em học sinh và các Thầy, Cô mà điều quan trong là rèn cho
các em có một thói quen tìm tòi phán đoán, say mê phát triển và khai thác triệt
để một bài toán.
PHẦN 3: KẾT LUẬN
3.1 KẾT LUẬN
Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là
những bài toán khó nhưng lại là những bài toán rất hay và độc đáo, nó giúp cho
học sinh có tư duy logic của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc
nhiều thao tác tư duy.
Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ
ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp
học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ các đường phụ sau đó mới phân
21
dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã
chia. Việc củng cố kỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết
trong nội dung thực hiện.
Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi
rộng và cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các dạng
bài toán đã nêu do gới hạn của đề tài .
3.2 KHUYẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
- Với tổ chuyên môn cần đề cập nhiều đến những vấn đề mà học sinh còn

Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP
8 – Vẽ thêm một số yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7, 8, 9 –
Nguyễn Đức Tấn – NXB GD
8 – Tạp chí toán học tuổi thơ 2, tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản
giáo dục.
MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN
23
1.1.2 CƠ SỞ THỰC TIẾN
1.2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1.3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1.5 ĐÓNG GÓP MỚI CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1 CƠ SỞ KHOA HỌC
2.1.1 LÍ LUẬN CHUNG
2.1.2 MỘT SỐ YÊU CẦU KHI VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ
2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
2.2.1 Thuận lợi
2.2.2 Khó khăn
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
2.3.1 Một số cơ sở đề xác định yếu tố phụ
2.3.2 Một số bài tập sử dụng yếu tố phụ
2.2.3 Một số bài tập tham khảo
2.4 KẾT QUẢ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DUNG ĐỀ TÀI
2.4.1 Kết quả điều tra trước khi thực hiện đề tài
2.4.2 Kết quả khảo sát đối chứng
2.5 BÀI HỌC KINH NGHIỆM