1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo
ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao.
Nhằm đáp ứng yêu cầu mới trong nhu cầu của thời đại, việc triển khai chương
trình giáo dục phổ thông, nhằm thực hiện các mục tiêu, nhiệm vụ của Nghị
Quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban chấp hành Trung ương Đảng về
“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp
hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa
và hội nhập quốc tế” đã được Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương
(Khóa XI) thông qua.
Nghị quyết số 29 của Hội nghị BCH TƯ lần thứ 8 (Khóa XI) là sự kế
thừa, nâng cao của Nghị quyết Trung ương 2 (Khóa 8). Theo đó, Trung ương
Đảng tiếp tục xác định phát triển GD&ĐT là quốc sách hàng đầu và trong xu
thế hiện nay “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu
công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã
hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” nhằm nâng cao chất lượng nguồn nhân lực
được Đảng ta xác định là một trong ba đột phá chiến lược của công cuộc phát
triển đất nước.
Quan điểm chỉ đạo, mục tiêu, nhiệm vụ và giải pháp của Nghị quyết số
29-NQ/TW của BCH Trung ương đưa ra để tập trung lãnh, chỉ đạo thực hiện 8
nhiệm vụ và giải pháp cơ bản theo đúng thực tiễn của sự phát triển kinh tế xã
hội trong đó nhiệm vụ giải pháp thứ 2 là tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ
các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm
chất, năng lực của người học.
Đó là một cuộc cải cách nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện,
phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm
của từng lớp học, môn học, nhằm tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng

1


phá tri thức mới của mình.
2


Hiện nay, trong kì thi học sinh giỏi Toán 7, các bài toán có vẽ thêm yếu
tố phụ khá phổ biến. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho
việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp. Vậy làm thế nào để học sinh có thể
nắm được một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài tập trong
Hình học 7?
Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 7, đặc biệt là trong công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn
được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập
trong các kì thi học sinh giỏi, các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số
trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện đề tài
nghiên cứu: “Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình
học lớp 7”.
* Điểm mới của Đề tài
Nội dung của đề tài này trước đây đã có một số người nghiên cứu song nội
dung còn chung chung, chưa đưa ra các dạng bài cụ thể. Điểm mới trong đề tài
này, tôi tập trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng một số phương
pháp vẽ thêm yếu tố phụ. Đối với mỗi dạng toán đưa ra phương pháp giải cụ thể
và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng. Trong đề tài này tôi đã cố
gắng tìm ra một số ví dụ về các phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ, đưa ra các
dạng bài tập từ dễ đến khó, các bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi. Khi
gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và giúp học sinh chủ động được cách giải,
chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho các bài toán. Đề tài thực hiện tại
trường đang giảng dạy và áp dụng giảng dạy có hiệu quả tốt. Nội dung vẽ thêm
yếu tố phụ trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS có thể nhân
rộng áp dụng vào giảng dạy ở các đơn vị trên địa bàn. Mong rằng đề tài sẽ được
các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận.

mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không
phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân
theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi
người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ
cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên:
Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ
này còn có cách nào khác không? hay tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được
bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất
vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ
được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho
việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn
đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng
5


khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em
những cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng
khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm
yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động
được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy
hiệu quả sẽ cao hơn.
* Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Trước khi áp dụng đề tài tôi đã tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức
liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau:
0-

a

C

b
c

b

a

A

B

c

Giải:
* Cách dựng:
- Dựng tia Ax.
6

x


- Dựng đường tròn (A, c). Gọi B là giao điểm của đường tròn (A, c) với
tia Ax.
- Dựng đường tròn (A, b) và đường tròn (B, a), gọi C là giao điểm của
chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b và BC = a.

Cách dựng:
- Dựng đường tròn (A, r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dựng các đường tròn (B, r) và (C, r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia
·
phân giác của xAy
.

7


Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c - c - c) ⇒ µA1 = ¶A2

x

B
r
A

r
D

1
2

z

r

r
C

a
A

B

D

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không
cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào
những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
2.2. 2. Cơ sở thực tế
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương
ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc
chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng
nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau:

9


Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai
góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương
ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần
có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới
xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu
cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố

GT

1
BC = 12 cm; DA = DB = AB ;
2

B

H

DH ⊥ BC, DH = 4 cm
KL

C

K

∆ ABC cân tại A.

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =

1
BC = 6 cm.
2
Lại có: BD =

1
AB = 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
2




·AKB = ·AKC = 900
AK là cạnh chung
Do đó ∆ ABK = ∆ACK (c - g - c)
⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân tại A (đpcm).
4) Nhận xét:
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra
hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến
AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam
giác, đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba,
kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương
trình Toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc
chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của
bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu
tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có

µ = C
µ
B

; chứng minh rằng: AB =

AC? (Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai
tam giác).
1) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có

µ = C

1

2

·
Vẽ tia phân giác AI của BAC
( I∈ BC).
B

12

C


1·
BAC .
2

A1 =¶A2 =
⇒µ

(1)

I

Áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta

(

µ + Iµ =1800 ⇒ Iµ =1800 − ¶A + B

1
2

(2)

Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:

µ
I1 =µ
I2

( theo (2))

Cạnh AI chung

µ
A1 = ¶A2 ( theo (1))
⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g - c - g)
⇒ AB = AC ( 2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm
AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Phương pháp 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng
đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến
thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với
cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: AM =
13


BC

C

M

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
A

Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:

1

MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
B

¶ =M
¶
( hai góc đối đỉnh)
M
1
2

2

C

M 1


2

1
2

Mà AM = AD nên AM = BC
4) Nhận xét:
1
2

Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh AM = BC ta đã vẽ
thêm đoạn thẳng MD trên tia AM sao cho MD = MA, do đó AM =

1
AD
2

Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở về bài
toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Trên một tia cho trước, đặt một
đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để
vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của
BC.

·
·
So sánh BAM
? (Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
& MAC
1) Phân tích bài toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm

& MAC
B
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có:

C

M

A
1

MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

¶ =M
¶ ( vì đối đỉnh)
M
1
2

2

1

B

M

MB = MC ( Theo gt)


4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong
cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và

¶
cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc µ
A1 & A
2

về cùng một tam

µ , ta chỉ còn phải
giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó µ
A1 = D
µ &A
¶ ở trong cùng một tam giác ADC.
so sánh D
2
16


Phương pháp 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao
điểm của hai đường thẳng.
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Chứng minh: AB = CD, AC = BD?

A

B



·
·
(hai góc so le trong (AB // CD))
BAD
= CDA
AD là cạnh chung

·
·
(hai góc so le trong (AC // BD))
ADB
= DAC
17

D


⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g - c - g)
Vậy: AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung
là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ∆ ABD =
∆ DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung) nên chỉ
cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp
bằng nhau góc - cạnh - góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất
của hai đường thẳng song song.
Phương pháp 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song
song hay vuông góc với một đường thẳng.
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia

I

1 2

H

M

C


KL

∆ ABC vuông ;
∆ ABM đều
Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)
Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:

¶ = Iµ =900 ( gt)
H
⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền - góc

AM là cạnh chung)
nhọn)

¶A = µ
A3 (gt)
2

⇒ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)


từ

(1)

và

(2)

⇒

1
BM
2

Lại có BM = CM (gt) ⇒ MI =

1
CM
2

Xét ∆ MIC vuông tại C có: MI =

1
µ = 300 từ đó suy
CM nên C
2

3·
3

4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất
khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm (MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở
lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong
giải toán hình học.
Bài toán 7: ( Đề kiểm tra HSG Toán 7 PGD&ĐT LỆ THỦY - năm học: 20112012)
Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại
E. Chứng minh rằng tam giác AHB cân.
B

M

K
2

E

1
H

1

1

A

N

C

học sinh chú ý đến những tam giác chứa góc có số đo xác định như:
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa
cạnh huyền...
Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm
thông qua mối liên hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo
hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối liên hệ bằng nhau của một
tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ta hãy xét một bài toán điển hình:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, µ
A = 200 . Trên cạnh AB lấy
1
·
= µ
A .
điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA
2
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ABC cân tại A, µ
A = 200 ; AD = BC ( D ∈AB)

1
·
= µ
A.
Yêu cầu chứng minh: DCA
2


2

B

C

Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta

·
·
được: AD = BC = CM đồng thời ABM
= ACM
= 800 - 600 = 200
·
·
Ta có ∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ⇒ MAB
= MAC
= 200 : 2 = 100
Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
·
CAD
= ·ACM ( = 200 )
AC là cạnh chung
Do đó ∆CAD = ∆ACM ( c -g -c )

1·
·
·
·

Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, C
= 150. Trên tia BA lấy

điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.

O

1) Phân tích bài toán:
µ = 150.
Bài cho tam giác ABC vuông tại A, C
Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC.
Yêu cầu chứng minh ∆ OBC cân tại O.
2) Hướng suy nghĩ:

A
B

23

150

C


µ = 150 suy ra 750 - 150 = 600
Ta thấy C
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều
⇒ sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT

1
OB .
2

1
OB
2

từ đó có AC = BH
Xét ∆ HMB và ∆ ABC có: BH = AC (cmt)

·
HBM
= ·ACB ( = 150 )
MB = BC (cạnh ∆ đều BMC)
¶ = µA = 900 ⇒ MH ⊥ OB
Do đó ∆ HMB = ∆ ABC ( c - g - c) ⇒ H
∆ MOB có MH là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại M, lại
·
·
có góc đáy OBM
=1800 − 2.150 = 1500 .
= 150 ⇒ góc ở đỉnh BMO
·
·
·
= 3600 − ( 1500 + 600 ) = 1500 ⇒ CMO
= BMO
Từ đó CMO
( = 1500 )

B

Hướng dẫn :
Điều đầu tiên trong bài toán này là HS phải phát hiện ra
tam giác AEC cân tại E vì có hai góc bằng 150

E
A

150

150

C

từ đó suy ra EA = EC và ·AEC =1800 − 2.150 = 1500
Cũng như ở bài toán 8, ở bài toán này các em

·
·
sẽ sớm phát hiện thấy BAE
= 750 & EAC
= 150
mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều
(Cũng có em nhận xét:
0
0
0
·
·