SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂNCẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN

Câu 1.

ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN 11
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Giải các phương trình sau:
1) 1  3 sin 2 x  cos 2 x .

Câu 2.

Câu 3.

2) 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x  8 .
1) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn, mỗi người 1 thư.
Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi tem thư lên mỗi bì
thư để gửi đi?
2) Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó
có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để một học sinh làm bài thi trả lời
đúng được ít nhất 3 câu hỏi?
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển Niutơn của biểu thức  2  3x  biết n là số
n

nguyên dương thỏa mãn hệ thức C21n1  C22n1  ...  C2nn1  220 1 .
Câu 4.

Câu 5.

AC
AD
.


MB
MC 
MD

----------------HẾT---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………………………
Số báo danh:…………………………………………………………

1


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Giải các phương trình sau:
1) 1  3 sin 2 x  cos 2 x
2) 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x  8
Lời giải
1) 1  3 sin 2 x  cos 2 x  3 sin 2 x  cos 2 x  1







6
2
6




 2 x      k 2
3


6
6
2) 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x  8   6cos x  3sin 2 x    cos 2 x  9sin x  8   0
  6cos x  6sin x cos x   1  2sin 2 x  9sin x  8  0
 6cos x. 1  sin x    2sin 2 x  9sin x  7   0

 6cos x. 1  sin x    2sin x  7  sin x  1  0   sin x  1 6cos x  2sin x  7   0



sin x  1  x   k 2

2


6 cos x  2sin x  7 *
Phương trình * vô nghiệm vì có a 2  b 2  40  49  c 2 .


4
3

2

45
1 3
Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 3 câu là: C53 .     
.
 4   4  1024
2


4

 1   3  15
Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 4 câu là: C .     
.
 4   4  1024
4
5

5

1
1
Xác suất để một học sinh trả lời đúng cả 5 câu là: C .   
.
 4  1024
45

 C22n1  ...  C2nn1  C2nn11  C2nn21  C2nn31  ...  C22nn11 .

1
2 n 1
0
2 n 1

2
2 n 1
1
2 n 1

Mặt khác: 1  1

2 n 1

n
2 n 1

20

 C20n1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1  C2nn11  C2nn21  C2nn31  ...  C22nn11 .

 22 n 1  2.220  22 n 1  221  2n  1  21  n  10 .
1 9
10
Xét khai triển Niutơn  2  3x  , ta có:  2  3x   C100 210  C10
2 .  3x   ...  C10
 3x  .
10

x  7  2  2  5  x2
x7 2
2  5  x2
 lim
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
 x  1 x  1
x 1
 lim
 lim
x 1
x 1
2
 x  1 2  5  x2
 x  1  3  x  7   2 3 x  7  4 


1 1 7
1
x 1
   .
 lim

2 2
0
Mà a  b  A  B  60 .
Vậy tam giác ABC có 2 góc có số đo không vượt quá 60 0 .
Câu 5. Cho tứ diện ABCD.
3


1) Gọi E , F , G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC , ACD, ABD .
a) Chứng minh  EFG  / /  BCD  .
b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích của tam giác BCD .
Lời giải
A

G
F

E

D
B

P
N

M
C

a) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm BC , CD, DB .
SE SF 2


.
  4
1
SBCD
BD
CD
4
BD.CD sin BDC
2
1
S
1
Từ  3 và  4  ta có EFG  . Vậy S EFG  S BCD .
9
SBCD 9

b) Ta có

2)

4


A

C'

D'


1
AB BE S BCD

MC  SMBD
MD SMBC


 2 ;
 3
AC S BCD
AD S BCD

Từ 1 ,  2  ,  3 

MB MC MD SMCD  SMBD  SMBC



1
AB
AC
AD
S BCD

MB MC  MD
MB.MC .MD


 33
AB

 



Dấu ''  '' xảy ra 
AB
AC
AD 3
BE CF DG 3
 M là trọng tâm BCD .
T

5