Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học PEN – M Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hàm số

XỬ ĐẸP CÁC DẠNG TOÁN LÝ THUYẾT HÀM SỐ
Bài tập tự luyện
Giáo viên: Lưu Huy Thưởng

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  . Kí hiệu f '  x  , f ''  x  ,  C  là đạo hàm
cấp 1, cấp 2 và đồ thị của f  x  trên khoảng ấy.
Hàm số đồng biến trên  a; b   f '  x   0, x   a; b  . Dấu đẳng thức nếu có thì chỉ xảy
ra tại một số điểm hữu hạn mà thôi.
Hàm số nghịch biến trên  a; b   f '  x   0, x   a; b  . Dấu đẳng thức nếu có thì chỉ
xảy ra tại một số điểm hữu hạn mà thôi.
Đồng biến trên khoảng  a; b  , nghịch biến trên khoảng  a; b  gọi chung là đơn điệu trên
khoảng ấy.
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và x   a; b 
Định lý 1.
● f '  x   0 trên  x0  h; x0  với h  0 và f '  x   0 trên  x0 ; x0  h  với h  0
 x 0 là điểm cực đại của f  x  .

● f '  x   0 trên  x0  h; x0  với h  0 và f '  x   0 trên  x0 ; x0  h  với h  0
 x 0 là điểm cực tiểu của f  x  .

Định lý 2.
f '  x 0   0
 x 0 là điểm cực đại của f  x  .

M  xCD ; yCD  ; N  xCT ; yCT  : lần lượt là điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
 Định nghĩa.

 

Giả sử hàm số f x xác định trên tập K (K  ) . Khi đó:

   
nhất của hàm số f  x  trên K. Kí hiệu: M  Maxf  x  .

 

   
nhất của hàm số f  x  trên K. Kí hiệu: m  min f  x  .

 

a) Nếu tồn tại một điểm x 0  K sao cho f x  f x0 , x  K thì số M  f x0 được gọi là giá trị lớn
xK

b) Nếu tồn tại một điểm x0  K sao cho f x  f x0 , x  K thì số m  f x0 được gọi là giá trị nhỏ
xK

 Định lý
Hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a; b   tồn tại max f  x  , min f  x  .
a;b 
a;b 
 Cách tìm
Bước 1: Tìm các điểm trên x1 , x 2 ,..., x n trên a; b  , tại đó f '  x   0 hoặc f '  x  không xác

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học PEN – M Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hàm số

 x'   x
+ Đối xứng M qua trục tung ta được M'  x'; y'  với 
.
 y'  y
5. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
ax  b
d
a
(c  0; ad  bc  0) có tiệm cận đứng x   , tiệm cận ngang y   .
Đồ thị y 
cx  d
c
c
6. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Xét hai đồ thị  C  : y  f  x  và  D  : y  g  x  .

Phương trình hoành độ giao điểm giữa  C  và  D  là: f  x   g  x  .  1
Số điểm chung giữa  C  và  D  đúng bằng số các nghiệm số của phương trình  1 .

 C và  D  được gọi là tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
f  x   g  x 
.

 Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f nghịch biến trên K.
 Nếu hàm số đồng biến trên K thì f '  x   0, x  K .
 Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f '  x   0, x  K .
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 4. Cho hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K. Cho các phát biểu sau:
 Nếu f '  x   0, x  K và f '  x   0 tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến
trên K.
 Nếu hàm số đồng biến trên K thì f '  x   0, x  K .
 Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f '  x   0, x  K .
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 5. Giả sử hàm số  C  : y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K. Cho các phát biểu sau:
 Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f x nghịch biến trên K.
 Nếu hàm số  C  đồng biến trên K thì phương trình f  x   0 có nhiều nhất một nghiệm
thuộc K.
 Nếu hàm số  C  nghịch biến trên K thì phương trình f  x   0 có đúng một nghiệm
thuộc K .
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên.
A. 0.
B. 1.
C. 2.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

B.  2
C.  2
D.  2




 b  3ac  0
 b  3ac  0
 b  3ac  0
 b  3ac  0
Câu 8. Hàm số y  ax3  bx2  cx  d,a  0 có khoảng nghịch biến chứa hữu hạn số nguyên
nếu
a  0
a  0
a  0
a  0




A.  2
B.  2
C.  2
D.  2




 b  3ac  0


Câu 11. Cho hàm số y  f  x  xác định trên D, x0  D. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0 thì hàm số y  f  x  đạt cực đại tại
điểm x0 .

B. Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 thì hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại

điểm x0 .

C. Nếu f '  x  không đổi dấu khi qua x 0 thì hàm số y  f  x  không đạt cực trị tại điểm x0 .
D. Nếu f '  x  có nghiệm là x 0 thì hàm số y  f  x  đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x0 .

Câu 12. Xét các khẳng định sau:
 Phương trình f '  x   0 có n nghiệm thì hàm số f  x  có n điểm cực trị.
 Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 và f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì f '  x0   0

 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và f '  x0   0 thì hàm số f(x) đạt cực trị tại
điểm x 0 .
 Nếu hàm số f(x) không có đạo hàm tại điểm x 0 thì không là cực trị của hàm số f(x).

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học PEN – M Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)



Câu 15. Cho hàm số có tập xác định là khoảng (3; 2) ; có lim f(x)  0 và chỉ có duy nhất
x3

giới hạn vô cực lim f(x)   . Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng.
x 2

A. Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng là đường thẳng: x  2
B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang: y  3 và y  2
C. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng: x  3 và x  2
D. Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y  0
Câu 16. Cho hàm số f  x  xác định trên

\2. Hàm số chỉ có các giới hạn vô cực sau:

lim f  x   ; lim f  x   ; lim  f  x   ; lim    . Số đường tiệm cận đứng của đồ thị

x 2

x 2

x  2 

hàm số đã cho bằng
A. 0.
B. 1.
Câu 17. Cho hàm số f  x  xác định trên

x  2 


Khóa học PEN – M Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hàm số

B. Với x 0 thỏa mãn f  x0   g  x0   0  f  x0   0

C. Phương trình f  x   g  x  có nghiệm trên  0;  
D. A và B đúng.
Câu 19. Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  3;   và nghịch biến
trên khoảng  2; 3  . Phương trình f  x   2017 có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 20. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn 0; 6  . Biết rằng trong khoảng
 0; 6  hàm số có ba điểm cực trị. Số nghiệm tối đa của của phương trình f  x   0
trên khoảng  0; 6  là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 21. Cho hàm số y  f  x  có tập xác định và liên tục trên 1; 6  . Hàm số đồng biến trên
1; 2  và  4; 6  , hàm số nghịch biến trên  2; 4  . Trong các mệnh đề sau:
 Đồ thị hàm số chắc chắn cắt trục tung.
 Đồ thị hàm số chắc chắn cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
 Đồ thị hàm số chắc chắn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Số mệnh đề đúng là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.


Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học PEN – M Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hàm số

 Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm của nó không xác định.
 Hàm đa thức luôn có số điểm cực trị nhỏ hơn bậc của đa thức đó.
 Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm và có đạo hàm tại điểm đó thì đạo hàm phải bằng
không tại điểm đó.
Số mệnh đề SAI là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 25. Cho các mệnh đề sau:
 Nếu một hàm số không có cực trị trên một khoảng thì luôn tăng hoặc luôn giảm trên
khoảng đó.
 Nếu hàm số luôn giảm hoặc tăng trên một khoảng thì không tồn tại điểm cực trị trên
khoảng đó.
 Hàm số số không có cực trị thì không thể đồng thời có các khoảng đồng biến và
nghịch biến.
 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà đạo hàm cấp hai của hàm số bằng không tại
điểm đó.
Số mệnh đề đúng là


hàm

số

y  f x

nghịch

biến

trên

khoảng

 3;1

thì

hàm

số

y  f  x  2   2017
A. đồng biến trên  1; 3  .

B. nghịch biến trên  1; 3  .

C. đồng biến trên  2014; 2018  .


ax  b
 Hàm số y 
 c  0; ad  bc  0  không có cực trị.
cx  d
Số mệnh đề đúng là:
A. 1
B.4
C.3
D.2
Câu 33. Cho các mệnh đề sau:
 Nếu một hàm số chẵn có một điểm cực trị khác 0 thì sẽ có một điểm cực trị khác trái
dấu khác nữa.
 Hàm số lẻ không thể có hai điểm cực trị trái dấu.
 Hàm tuần hoàn luôn có vô hạn điểm cực trị.
 Nếu hàm bậc bốn trùng phương có điểm cực tiểu thì cũng đạt giá trị nhỏ nhất tại đó.
Số mệnh đề đúng là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 34. Cho hai hàm đa thức y  f  x  và y  g  x  có một điểm cực trị. Khi đó:
A. hàm số f  x   g  x  có đúng hai điểm cực trị.
B. hàm số f  x  .g  x  có đúng hai điểm cực trị.
C. hàm số f  x   g  x  có một điểm cực trị.
D. hàm số f  x   g  x  có thể không có cực trị.
Câu 35. Cho hai hàm đa thức  C : f  x  ; C'  : y  g x  tương ứng có 2 điểm cực trị và có 1
điểm cực trị. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Bậc của hàm số (C) lớn hơn bậc của hàm số (C’) đúng một đơn vị.
B. Bậc của hàm số (C) lớn hơn bậc của hàm số (C’) đúng hai đơn vị.
C. Bậc của hàm số (C’) có thể lớn hơn bậc của hàm số (C).

D. Hàm số là hàm hằng trên khoảng  0; 2  .
Câu 38. Cho các khẳng định sau:
 Mọi hàm số f  x  không có giá trị nhỏ nhất trên một khoảng.
 M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D khi và chỉ khi f  x   M với mọi

x thuộc D .
 Trên một đoạn bất kì hàm số luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Số khẳng định là khẳng định đúng trong các khẳng định vừa cho là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 39. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  1; 4  , x  2 là điểm cực trị duy nhất của hàm
số trên  1; 4  , f ''(2)  0. Trong số các khẳng định sau, khẳng định sai là:
A. f '  2   f '  0   0

B. f ' 1 .f '  3   0

C. f '  3  f '  2   0

D. f '  3   f '  2   0

Câu 40. Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên 1; 5 , hàm số có đạo hàm trên  1; 5  .
x  2 là điểm cực trị của hàm số với f ''  2   0. Trong các mệnh đề sau
 Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 5  tại x  2.
 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1; 5  tại x  1.

 Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2  và nghịch biến trên khoảng  2; 5  .
Số mệnh đề đúng là
A. 0.