A phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1-Cơ sở khoa học :
Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững
đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào
các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên . Hơn nữa toán học còn
là cơ sở của mọi ngành khoa học khác chính vì thế toán học có vai trò quan
trọng trong nhà trờng phổ thông ,nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động
nghệ thuật sáng tạo,để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và
giải quyết các bài toán .
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toàn học từ
tiểu học đến trung học .Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức
không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho
nhiều môn học khác nh hoá học , vật lý , tin học Đặc biệt việc phát triển t
duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học . Nhng vấn đề đặt ra cho
mỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung va
Bất đẳng thức nói riêng .
Trong quá trình dạy toán ở THCS ,qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm
tòi tài liệu bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức
mà tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy học
sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học ,tạo
điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác .
2- Cơ sở thực tiễn :
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó .
Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và ph-
ơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh thế nào .Thực tế cho thấy toán Bất đẳng
thức có nhiều trong chơng trình THCS ,nhng không đợc hệ thống thành những
1
phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp , khi giải toán
Bất đẳng thức .
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi

b < a
2- a < b , b < c

a < c (tính chất bắc cầu )
3- a < b

a + c < b + c ( tính chất đơn điệu )
4- a < b , c < d

a + c < b +d ( Cộng hai vế của một Bất
đẳng thức cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng
chiều với chúng )
5- a < b , c > d

a - c < b d ( trừ hai Bất đẳng thức
ngựoc chiều ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều
của Bất đẳng thức bị trừ )
6- Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số
m a<b



<>
><

0,..
0,..
mmbma
mmbma
7- Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều

với 0< a <1
10- Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất
đẳng thức đổi chiều : a

b

ba
11

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc .
III- Một số Bất đẳng thức cân nhớ :
3
1- A
2k

0 với mọi A Dấu"=" xảy ra khi A=0
2-
AA

,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3-
AAA

4-
BABA
++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0

i
n
i
<+=

===
;.2)(
2.,1,
2
1
2
1
Các ký năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng
thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài :
3-Bài tập áp dụngj
Bài 1- chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

abGiải : Xét hiệu : a
2
+b
2
- ab =
(a
2
+
4
1

3
b
2

0 Dấu "=" xảy ra khi (a-
2
1
b)
2
=
4
3
b
2
=0 suy ra a=b=0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
4
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (a
n
)
2
+(b
n
)

c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc

2
byaxyxba
+

++
=
4
1
(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức ;
33
.
3
czbyaxzyxcba ++


2
+c
2
+d
2
+e
2
- ab-ac-ad ae
=
4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad 4ae)
=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a

0 và (a+2c)
2


0 và (a+2d)
2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh :
Bài 5 Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2,..,n là các sổ thực .chứng minh rằng :
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng :
Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau :
1/ 4.x
2
+y
2

4xy
2/ x

1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3
+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
) : a,b,c >0
6/Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng ;
a/
cbaabc
cba 111
)(
3
888
++
++

a
2
1
1
2
1
2
II-ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi
tơng đơng :
11- Nội dung ph ơng pháp :
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức
cần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một
Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài .
12- Kiến thức cơ bản :
Các tính chất của Bất đẳng thức .
Các Bất đẳng thức thờng dùng .
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức .
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1 Chứng minh rằng :
x
2
+2y
2
+2z
2


2xy +2yz+2z-1 (*)
Giải

+(z-1)
2

0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh .
Bài 2 : chứng minh Bất đẳng thức :
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)
Giải :
(a
10
+b

4
+b
4
)

0


a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a
12
a
8
b
4
- a
4
b
8

b
2
(a
2
-b
2
) a
2
b
8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2

)

0 đúng với mọi a, b
Dấu "=" xảy ra khi a
2
=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh .
*-Nhận xét từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự :
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức :
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)

2
-7x +6)(x
2
-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2
-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9

)( cac

)( cbc



ab
c
2
+2c
)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
( c-
)( ca

)( cb

)
2


0
8
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b ,c thoả mãn điều
kiện của đề bài vậy

1
+
bc
+
1
+
ca
+
1
)
2
. biết a,b,c >0
Giải :
Ta có
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
=
abc
cba )(
++
. Do a,b,c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)


8abc

))()((
)(4)(4)(4
accbba
accbba
+++
+++++

2(
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
)

))((
8
cbca
++
+
))((
8
caba
++
+
))((
8

bc
+
và
ac
1



2
)(
4
ca
+

suy ra
ab
1
+
cb
1
+
ac
1



2
)(
4
ba

+
bc
+
1
+
ca
+
1
)
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất
đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh . Sau
đây là một ví dụ nữa kiểu nh vậy .
9
Bài 5 : Cho 0 < a ,b , c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau :
1
1
33
++
ba
+
1
1
33
++
bc
+
1
1

b-ab
2
+b
3


0 a
3
+b
3


a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
+1

a
2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3

++
ba



)( cba
c
++
Tơng tự ta có
1
1
33
++
bc



)( cba
a
++
Dấu "=" xảy ra khi b=c
và
1
1
33
++ ca


)( cba
b


x+y+z xy-yz-zx

1
B) x
2
+y
2
+z
2


1+x
2
y +y
2
z +z
2
x
C)
1
+
yz
x
+
1
+
xz
y
+

4
>x
2
+y
2

Bài 4 Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1] .Chứng minh :
1- a
2
+b
2
+c
2


1+ a
2
b +b
2
c +c
2
a
2- 2(a
3
+b
3
+c
3
) (a
2

Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+

Chứng minh rằng :1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<2
Do a ,b ,c là ba cạnh của tam giác nên ta có : a,b ,c >0 và a+b > c ; b+c > a
Và c+a >b .
Từ a+b > c


ba
c
+
< 1


ba
c
+
<
cba
cc

+
<
cba
a
++
2
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc
11

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<
cba
a
++
2
+
cba
b
++
2

=1 Do a,b ,c dơng
Vậy 1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
< 2 (đfcm)
Nhận xét : ở đây ta đã sử dụng tính chất :
- Với ba số dơng a,b,c
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+

i
là các số dơng i=1,2,..,n
Giải :
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) thứ tự là m và
M
Khi đó ta có m


i
i
b
a


M với mọi i=1,2,,n

++b
n
)


m <
n
n
bbb
aaa
+++
+++
....
.....
21
21
< M Do ( b
1
+b
2
++b
n
) >0 (đfcm)
Bài 3 :
Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng :
2
1
(
1
+

a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
12
Do a > 0 ta có
1
+
a
a
< 1


1
+
a
a
<
1
++
+
ba



2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1
++
+
ba
ba
(1)
*) Ta chứng minh
1
++
+
ba
ba
<
1
+

++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1
+
b
b
(2)
Từ (1) Và ( 2) Ta đợc :
2
1
(
1
+
a
a
+
1
+
b
b
) <
1

+
a
+
22
1
+
b
<
ba
ba
++
+
1
<
1
1
+
a
+
1
1
+
b
Bài 3 Cho
y
x

b
a


13
3- Bài tập mẫu :
Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng
thức sau sai : a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25
Giải : Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) >
0,25 đều đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25
3
(1)
Mặt khác ta có
a(1-a) = a - a
2
= 0,25 (a
2
2 .a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 ( a-0,5 )
2


0,25


a(1-a)

0.25 Tơng tự ta có b(1-b)

0,25 và c(1-c)

0,25
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3

x
2
-(y-z )
2
<0

(x-y+z)(x+y-z) < 0
Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :
[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]
2
<0 vô lý .
Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức :
x
<
zy

,
zxy
<
,
xyz
<
Bài 3 : Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện





>


ac + b(a+c) < ac-(a+c)
2

ac + b(a+c) < -(-ac+a
2
+c
2
)

ac +ba +bc < -(a-0.5c)
2
- 0.75c
2

0

Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tơng tự đồi với trờng hợp A

0 b<0 ,c>0 ta cũng

điều vô lí .
Vậy (*) đợc chứng minh .
Bài 4 :Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo
của nó không nhỏ hơn 2 .
Giải : Giả sử phản chứng
b
a
>0 ta có

b
a
+
a
b

2
Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn
2 .
4-Bài Tập áp dụng :
Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c : chứng minh rằng ít nhất một
trong các Bất đẳng thức sau là sai : a(2-b)>1 ; b(2-c) >1 ; c(2-a)>1
Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng :
S=(a-1 +b
-1
)( b-1+c
-1
)(c-1+a
-1
)

1
Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau
đúng :
c
2
> a : d
2
> b
Bài 4 : Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn :

dãy số hoặc những Bất đẳng thức tổng quát . Thông thờng để chứng minh
các Bất đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp .
Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp
chứng ta thực hiện các bớc sau ;
Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với

n
0
nào đo ( thông thờng
ta chọn n
0
=0 hoặc 1)
Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k
Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1
Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi
2- Kiến thức cần vân dụng :
Các tình chất của Bất đẳng thức :
Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức .
3 Bài tập mẫu :
Bài 1 : Chứng minh rằng :
a) [(a+b):2]
n


(a
n

(a
k
+b
k
):2
+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là :
16
[(a+b):2]
K+1


(a
k+1
+b
k+1
):2 Thật vậy:
xét [(a+b):2]
K+1
=[(a+b):2]
K
[(a+b):2]

[(a
k
+b
k
):2][ (a+b):2]
Ta chứng minh
(a
k

k b
b - ab
k

0

(a-b)( a
k
- b
k
)

0 *
Nếu a,b

0 thì * đúng .
Nếu a

0

b

a-b

0
mà a+b

0 (gt)

a


0 nên a, b không cùng <0 .
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài .
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]
n


(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
đợc chứng minh .
b) + Với

1 Bất đẳng thức trở thành
a
<
2
141
++
a


2
a

a
a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là

dauk
aaa
),1(
.....
++
+++
<
2
141
++
a
a

0
Đặt x
n
=

daun
aaa
,
.....

+
<
2
141
++
a
a

0

(
k
xa
+
)
2
< (
2
141
++
a
)
2
17

a+x
k
<
4
14242

<
2
141
++
a
a

0
Bài 2 : cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông , c là độ dài cậnh
huyền của tam giác đó chứng minh rằng :
b
2n
+a
2n


c
2n
Giải : + Với

1 theo định lí Pithago ta có b
2
+a
2
= c
2
Bất đẳng thức đúng .
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là b

+b
2
) =a
2k+2
+ a
2k
.b
2
+b
2k
a
2
+b
2k+2


a
2k+2
+ b
2k+2


b
2(k+1)
+a
2(k+1)


c
2(k+1)


n bằng quy nạp .
+ Với n =1 : ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2 : ta có 9

8 * đúng
+ Với n =3 : ta có 27

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng
Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k


k
3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3
k+1


(k+1)
3
Thật vậy : Ta có 3
k+1

2
-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3


Bất đẳng thức * đúng với n = k+1
18
Vậy 3
n


n
3


n , Z
+


n


n
n
3
3

n
m



n
n



n
m



3
3
- Nếu m

n


m
m



m
n


)n
c)

n

1 , Chứng minh :
d) 1+
212
1
........
3
1
2
1
++++
n
n
Bài 2 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau :
a) 2
n+2
>2n+5

n

1 , N

n
b) [(n+1)!]
n