Sở GD & ĐT TPHCM Đề thi học sinh giỏi lớp 10
Năm học 2008 - 2009
--------***--------
Môn thi : Toán
Ngày thi: 04 / 05/ 2009
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
-------------------------***-----------------------------
Câu 1: (2 điểm) Cho
3)1(2)(
22
++=
mxmxxf
. Tìm m để f(x) có hai nghiệm phân
biệt
21
, xx
thỏa mãn
2
2
12
3
21
2
21
3
1
44 xxxxxxxx
+=+
.
Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình


+=
Câu 4: (2điểm) Giải bất phơng trình sau:
xxxx 25442
22
+++
Câu 5: (2điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC lần lợt ứng với các
góc A, B, C. Chứng minh rằng nếu





=
=
+
+
Cba
a
acb
acb
cos2
2
333
thì tam giác ABC đều.
Câu 6: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc Oxy, cho elip
225259:)(
22
=+
yxE
, gọi F

,
++
==
nn
aaaa
,
na
n
k
k


=
1
. Chứng minh rằng:

=
++

+
n
k
kk
k
n
aa
a
1
21
2

2
2
12
3
21
2
21
3
1
44 xxxxxxxx
+=+
0,5
Biến đổi
2
2
12
3
21
2
21
3
1
44 xxxxxxxx
+=+
0]42))[((
21
2
2121
=+
xxxxxx





=++
=+
42
3)2(
42
3)2(
2
2
2
yxx
yxx
yxx
xxy
0,5
Suy ra
yxx ,2
2
+
là nghiệm của phơng trình



=
=
=+
3

Hệ phơng trình có 4 nghiệm



=
=
3
21
y
x
;



=
=
1
3
y
x
;



=
=
1
1
y
x

aaaaaa
0,5
4
Điều kiện
Rxxx
++
0442
2
0,25
Đặt
0,442
2
++=
txxt
ta có bất phơng trình
05
2
4
2
+

t
t
0,5




+


0,25
5
Ta có
2222332
333
)( acbcbcbacba
acb
acb
=++=+=
+
+
0,5
0
222
60
2
1
cos
2
1
2
===
+
AA
bc
acb
(1) 0,5
cbcb
ab
cba

vuông tại M nên
ccFFOM
===
2
2
1
2
1
21
0,5
Gọi
);(
00
yxM
. Ta có





=+
=+





=
225259
16



=
=

4
9
4
75
16
81
16
175
0
0
2
0
2
0
y
x
y
x
0,5
Vậy có 4 điểm cần tìm






(C
1
) và (C
2
) là hai đờng tròn cắt nhau và có bán kính bằng nhau nên chúng có
đúng hai tiếp tuyến chung, hai tiếp tuyến này song song với đờng thẳng đi qua I
1
và I
2
.
0,5
)2;3(
21
=
II
, tiếp tuyến

cần tìm có phơng trình dạng:
032
=+
cyx
0,5
Ta có
1363
94
60
);(
11
==
+

yx
0,25
Do C thuộc đờng thẳng x 2y 1= 0 nên C = (2c + 1; c)
0,25
Ta có



=
=
==
+
++
=
11/27
3
303116
34
73)12(4
6);(
22
c
c
c
cc
ABCd
0,75
+ Với
)3;7(3
==

;
11
43
C
0,25
9
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
k
kk
kk
kkk
kk
k
a
aa
aa
aaa
aa
a
=
+
+

+
+
+
++
++
++
++

k
a
aa
aa
a
11
21
1
21
2
4
0,5

=
++
=
++

++++
+
+

n
k
k
nn
n
k
kk
k



==
++
0,25
Dấu = xảy ra khi
1...
21
====
n
aaa
0,25
10
Đặt
yvxu
==
,
, điều kiện 0 u, v 3. Ta có hệ





+++
=+
mvu
vu
35
3
22






=
=+
53
33
53
53
35
3
v
u
vu
vu
Khi đó







+
=
+
=
1528

Chú ý :
- Hớng dẫn chấm có 03 trang
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
[email protected]
5