Chuyên đề2
Số nguyên tố, hợp số, số chính phơng

I. Mục tiêu
- HS nắm đợc định nghĩa các loại số : Hợp số, số nguyên tố, số chính phơng
và một số công thức tổng quát của các loại số trên
- Vận dụng các kiến thức trên vào giải toán một cách thành thạo
- Rèn luyện cho HS t duy toán học, khả năng phát triển.
II. Chuẩn bị
- Hệ thống các kiến thức cơ bản và nâng cao
- Tài liệu tham khảo: Các chuyên đề số học các tác giả Võ Đại Mau, Vũ D-
ơng Thuỵ, Sách nhà xuất bản giáo dục
III. Nội dung
A.Lí thuyết
I. Số nguyên tố, hợp số:
1. Định nghĩa
- Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ớc số là 1 và
chính nó. Ví dụ 2,3,5,7,11,...
Lu ý: Chỉ có duy nhất một số nguyên tố chẳn là số 2.
Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n+1 hoặc 4n+3 (n

N)
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n+1 hoặc 6n+5 (n

N)
( Ngợc lại không đúng)
- Hợp số là những số tự nhiên có từ 3 ớc số trở lên(một hợp số có ít nhất hai ớc
số lớn hơn 1)
Lu ý:
- Số 0 và số 1 không phải là hợp số và cũng không phải là số nguyên tố
- Bất kì số tự nhiên nào lớn hơn 1 cũng có ít nhất là một ớc nguyên tố(thuật

là số nguyên tố)
- Số ớc nguyên tố của số A = a

b

...c

với a,b,c là các số nguyên tố,

,,
là các số nguyên dơng là
)1)...(1)(1(
+++

3. Hai số nguyên tố cùng nhau
+ (a,b) =1

a và b là hai số nguyên tố cùng nhau
+ (n,n+1) =1 (

n

N)
+ Hai số nguyên tố luôn nguyên tố cùng nhau
+ a,b,c nguyên tố cùng nhau

(a,b,c) =1
+ a,b,c gọi là nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
a ,b,c nguyên tố sánh đôi


Ví dụ1: Tìm hai số nguyên tố p, q sao cho p
2
= 8q+1
Giải
Ta có p
2
=8q+1

(p-1)(p+1) = 8q
Do 8q+1 là số lẽ p
2
là số lẽ nên đặt p =2k+1(k

N)
p
2
=(2k+1)
2
=4k
2
+4k+1 = 8q+1

4k
2
+4k =8q

k(k+1)=2q
k(k+1)

2 (tích hai số tự nhiên liên tiếp)

+ Nếu a=3k+2 =>a+10 = 3k+12 3 không phảI nguyên tố (vô lí)
+ Do đó a có thể có dạng 3k, mà a ngyên tố nên a=3
Khi a =3 ta có: a+10 =13 nguyên tố
A+14 =17 nguyên tố
Vậy với a=3 là số nguyên tố thoả mãn điều kiện bài ra
C2: Thử với a=2 =>a+12=12 không nguyên tố (thoả mãn)
a=3 => a+10 và a+14 đều nguyên tố (không thoả mãn)
Với a>3,a nguyên tố ta xét các dạng của a là: 6n+1 hoặc 6n+5 khi đó
a+14 hoặc a+10 không là nguyên tố
Vậy a=3 thoả mãn điều kiện bài ra.
Ví dụ4: Tìm số nguyên tố b sao cho b+6,b+14,b+12,b+8 đều là những số
nguyên tố
(HD: giải tơng tự ví dụ3)
Ví dụ5: Tìm số nguyên tố a sao cho 2a+1 là một lập phơng
Giải
C1 :Đặt 2a+1 = t
3
(t

N,t>1)
ta có : 2a+1 =t
3
2a = t
3
-1 <=> 2a =(t-1)(t
2
+t+1)
Do t
2
+t+1 >2, t-1>1 và a nguyên tố a>3 nên ta có t-1 =2 và t

+p
4
= a
2
(1)
=> 4+4p+4p
2
+4p
3
+4p
4
=(2a)
2
Ta có [p(2p+1)]
2
< (2a)
2
< [p(2p+1)+2]
2
=>(2a)
2
=[p(2p+1)+1]
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra p=3
2. Chứng minh
Ví dụ1: Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố , p>3
Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số
Giải
P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 6n+1 hoặc 6n+5 (n

-4ac)
=(20a+b)
2
- k
2
=(20a+b+k)(20a+b-k)
Do (20a+b+k)(20a+b-k)


abc
mà
abc
nguyên tố nên ta có 20a+b+k


abc
hoặc 20a+b-k


abc
Mà
abc
= 100a +10b +c > 20a+2b> 20a+b+k ( do b>k) do đó 20a+b+k

abc
là vô lí
Tơng thự ta có
abc
= 100a +10b +c > 20a+b> 20a+b- k ( do b>k) do đó
20a+b-k


N. Chứng minh m
4
+4 và m
4
+m
2
+1 đều là hợp số(m>1)
Giải
PP: Phân tích ra thừa số trong đó có ít nhất hai thừa số lớn hơn 1
+ Ta có m
4
+4 = (m
4
+4m
2
+4) 4m
2
=(m
2
+2)
2
-(2m)
2
=(m
2
+2+2m)(m
2
+2-2m) =[(m+1)
2

p
q-1
+q
p-1
-1

pq
Giải
Ta có p
q-1
+q
p-1
-1 = (p
q-1
-1) +q
p-1
Trong đó p
q-1
-1

q(theo định lí fecma) và q
p-1


q
=>p
q-1
+q
p-1
-1

c
d
=k (k

N
*
)
=> a
n
/b
n
=d
n
/c
n
=k
n
Vậy A=a
n
+b
n
+c
n
+d
n
= b
n
+c
n
+k

2
+n-1 là số nguyên tố
Bài3 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để n
4
+(n+1)
4
là hợp số
Bài4 :P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng p
8n
+3.p
4n
- 4

5
Bài5 :Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2
p
+p
2
cúng là số nguyên tố
II/ Số chính phơng,số luỹ thừa
Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k thì số A=1+9
2k
+77
2k
+1977
2k
không phải là số chính phơng.
Giải
Số chính phơng có dạng 3t hoặc 3t +1(t


N)
Xét tích n(n+1)
Ta có n
2
<n(n+1)<(n+1)
2
do đó n(n+ 1) không thể là số chính phơng.
+ Gọi 2 số chẳn liên tiếp là :2k,2k+2 (với k

N)
Xét tích 2k(2k+2)
Ta có 4k
2
<2k(2k+2)<4(k+1)
2
=>2k(2k+2) không phải là số chính phơng.