ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————o0o—————

NGUYỄN DOÃN MINH

GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————o0o—————

NGUYỄN DOÃN MINH

GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN


Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn về sự hướng dẫn hiệu quả, tận tình chỉ
bảo và động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy
và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm cùng các đồng nghiệp
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn
thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì
vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019
Tác giả

NGUYỄN DOÃN MINH

ii


Mục lục
Lời mở đầu



Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . . . . .

28

2.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân trên ràng buộc điểm bất
động tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4

Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài
toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo


1


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu một số phương pháp giải bài
toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.
(i) Đề tài nghiên cứu chỉ ra phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài
toán BV I(F, G, C) với điểm mới là sử dụng tính chất co của ánh xạ

Tλ = I − λF với λ > 0, F là ánh xạ giá đơn điệu mạnh và liên tục
Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N. Anh.
(ii) Kết hợp giữa phương pháp dưới đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất
động đưa ra thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên
tập nghiệm của bài toán cân bằng V IEP (F, f, C) với ánh xạ giá F
đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏa
mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Với các mục đích đặt ra như trên, trong đề tài này chúng tôi nghiên
cứu các nội dung sau về phương pháp giải bài toán V IEP (F, f, C):
(i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân
bằng trên giả thiết song hàm f là giả co chặt, đồng thời chứng minh
được tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm:

S(u) = argmin λf (u, v) +

1
v−u
2

biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Khi phát biểu một bài toán, người ta phải quan tâm bài toán được
đặt ra ở đâu. Tức là phải quan tâm tới không gian của bài toán. Vậy trước
hết ta phải nhắc lại một số kiến thức liên quan tới không gian, sau đó tới
một số tính chất của chúng.
Một không gian tuyến tính thực (phức) cùng với một hàm ·, · song
tuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện

u, u ≥ 0, ∀u ∈ H,

u, u = 0 ⇔ u = 0,

được gọi là không gian tiền Hilbert thực (phức).
Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa được chuẩn của u ∈ H
như sau: u =

u, u , ta dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩn

trên H và từ chuẩn này ta định nghĩa được khoảng cách giữa hai điểm u, v
như sau: ρ(u, v) = u − v ; khi ấy H, ρ trở thành không gian định chuẩn.
Nếu H đầy đủ với chuẩn này thì không gian với tích vô hướng được
gọi là không gian Hilbert. Ta dễ dàng nhận thấy trong không gian Hilbert


Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng
xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:

·, · : H × H → R,
(u, v) → u, v ;
thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H;
(b) u + v, t = u, t + v, t , ∀u, v, t ∈ H;
(c) λu, v = λ u, v , ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ H;
(d) u, u ≥ 0, ∀u ∈ H,

u, u = 0 ⇔ u = 0.
5


u, v được gọi là tích vô hướng của hai véctơ u và v .
Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với u =

u, u với

mọi u ∈ H thì H được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian
Hilbert.
Trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert
và ta chủ yếu làm việc trên không gian Hilbert thực H .
Ta nói hai véctơ u và v của một không gian Hilbert H trực giao với
nhau, và ký hiệu u ⊥ v , nếu u, v = 0. Ta ký hiệu tích vô hướng ·, · và
chuẩn tương ứng được xác định bởi u =

u, u với mọi u ∈ H . Ta định


u∗ và uk → u∗ trong H , thì uk → u∗ ;

ii) Nếu uk

iii) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và
hội tụ yếu là tương đương;
iv) Mọi dãy con bị chặn trong không gian Hilbert H đều chứa dãy con hội
tụ yếu.
Theo định nghĩa chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau.
Bổ đề 1.1 Với mỗi u, v ∈ H , ta có
(i) u − v

2

= u

2

− v
2

(ii) t(u) + (1 − t)v

2

− 2 u − v, v ;

=t u


(iv) P rC (u) − P rC (v)

2

≤ u − v 2 , ∀u, v ∈ H ;

(v) P rC (u) − P rC (v)

2

≤ u−v

2

− P rC (u) − u + v − P rC (v) 2 ,

∀u, v ∈ H ;
(vi) u − P rC (u − v)
(vii) t − P rC (u − v)

2
2

≤ v , ∀u, v ∈ H ;
≤ u−t

2

− 2 u − t, v + 5 v 2 , ∀u, t ∈ C, v ∈ H.


(1.2)

Ngược lại, nếu u∗ ∈ C thỏa mãn (1.2) và F (u∗ ) ∈ C ∗ = {v ∈ H :

v, u ≥ 0, ∀u ∈ C}, thì u∗ ∈ S(F, C). Như vậy, bài toán V I(F, C) được
phát biểu dưới dạng bài toán tìm điểm u∗ thỏa mãn

u∗ ∈ C, F (u∗ ) ∈ C ∗ , F (u∗ ), u∗ = 0.
Bài toán này thường được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không
gian Hilbert thực H.
Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân và bài toán cân bằng, ta cần một số tính chất của toán tử trong không
gian Hilbert, ta có
Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập con khác rỗng của H . Một ánh xạ

F : C → H được gọi là
8


(a) đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên C , nếu

F (u) − F (v), u − v ≥ γ u − v 2 , ∀u, v ∈ C;
(b) đơn điệu trên C , nếu

F (u) − F (v), u − v ≥ 0, ∀u, v ∈ C;
(c) giả đơn điệu trên C , nếu

F (v), u − v ≥ 0 ⇒ F (u), u − v ≥ 0, ∀u, v ∈ C;
(d) đơn điệu mạnh ngược trên C với hằng số β > 0, nếu



Sau đây ta nêu một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân.
Định lý 1.2 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng. Khi đó v = PC (u) nếu và chỉ
nếu v ∈ C sao cho

u − v, w − v ≤ 0, ∀w ∈ C.
Hệ quả 1.1 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng và F : C → H . Thì u∗ nghiệm
đúng của V I(F, C). khi và chỉ khi

u∗ = PC (u∗ − λF (u∗ )) với mỗi λ > 0.
Chứng minh. Với λ > 0 là một vô hướng. Từ định lý 1.2, u∗ = PC (u∗ −

λF (u∗ )) khi và chỉ khi u∗ ∈ C và
u∗ − λF (u∗ ) − u∗ , u − u∗ ≤ 0, ∀u ∈ C.
Điều này tương đương với u∗ ∈ C và

F (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ C,
hay u∗ ∈ Sol(F, C).
Trong bài toán bất đẳng thức V I(F, C), với mỗi u ∈ C và λ > 0 xét
ánh xạ FCnat : C → C xác định bởi

FCnat (u) = u − PC (u − λF (u)).
Ánh xạ FCnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C . Mối
quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và
ánh xạ giá tự nhiên FCnat được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.2 Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FCnat , hay

0 = FCnat (u∗ ).

v − u∗ , u∗ − λF (u∗ ) − u∗ ≤ 0.
Với giả thiết λ > 0, ta có

F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C.
Vậy u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C).

Sol(F, C) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(F, C). Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc giải bài
toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bài toán sau
(ký hiệu DV I(F, C)):
Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ C.
Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng
thức biến phân V I(F, C). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán DV I(F, C)
11


là Sol(F, C)∗ . Khi đó tính chất của tập nghiệm Sol(F, C) và mối quan hệ
của nó với tập nghiệm Sol(F, C)∗ như nhau.
Định lý 1.4 Cho C là một tập lồi, đóng, giới nội trong không gian Hilbert
H và F : C → H ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con
hữu hạn chiều. Khi ấy tập nghiệm của Bất đẳng thức biến phân (1.1) khác
rỗng, lồi và đóng. Nếu ngoài ra T là đơn điệu chặt thì (1.1) có tính duy nhất
nghiệm.
Để chứng minh định lý 1.4 thì ta cần bổ đề sau về tính chất ánh xạ
đơn điệu và một bổ đề về tồn tại nghệm của bất đẳng thức trong không
gian hữu hạn chiều.
Bổ đề 1.2 (Minty, 1962). Cho tập C, không gian H và ánh xạ F như ở
Định lý 1.4. Khi ấy u∗ ∈ C thỏa mãn F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C khi và
chỉ khi F (v), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ C.
Bổ đề 1.3 (Hartman – Stampacchia). Cho D là một tập lồi, compact

1.3 để chứng minh bất đẳng thức biến phân sau có nghiệm:

uM ∈ C ∩ M : F (uM ), v − uM ≥ 0, ∀v ∈ ∩M,
trong đó M ⊂ B là một không gian con hữu hạn chiều của B với C ∩M = ∅.
Do đó

v∈C

S(v) = ∅1 , nghĩa là (1.1) có nghiệm. Tính lồi, đóng của

tập nghiệm suy ra từ Bổ đề 1.2.

1.3

Bài toán cân bằng
Cho C là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và

song hàm f : C × C → R thỏa mãn f (u, u) = 0 với mọi u ∈ C . Bài toán
cân bằng, ký hiệu là EP (f, C), được phát biểu như sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C.
Tập nghiệm của bài toán EP (f, C) ký hiệu là Sol(f, C).
Ta nhắc lại một số định nghĩa của song hàm f . Song hàm f : C ×C →

R được gọi là
(i) γ - đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

f (u, v) + f (v, u) ≤ −γ u − v 2 , ∀, v ∈ C;
(ii) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ u, v ∈ C và u = v sao cho

f (u, v) + f (v, u) < 0;

các bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác. Nó mang đến một cách
nhìn tương đối tổng quát về các bài toán khác nhau bắt nguồn từ nhiều
lĩnh vực nghiên cứu khác nhau, hợp nhất chúng trong một thể thống nhất.
Sau đây ta xét mối quan hệ giữa bài toán EP (f, C) với các bài toán thường
gặp.
Bài toán tối ưu

Cho C là tập con, lồi, đóng và khác rỗng của H và F : C → R là
hàm lồi và nửa liên tục dưới. Bài toán tối ưu, ký hiệu (OP ), là bài toán:
Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗ ) ≤ F (v), ∀v ∈ C.
14


Bằng cách đặt f (u, v) = F (v) − F (u) với mọi u, v ∈ C . Theo định nghĩa,

u∗ là nghiệm của bài toán (OP ) nếu và chỉ nếu u∗ là nghiệm của bài toán
EP (f, C).
Bài toán bù phi tuyến

Cho C ⊂ H là một nón lồi và đóng,

C ∗ = {u ∈ H : u, v ≥ 0, ∀v ∈ C},
là nón đối ngẫu của nón C và một ánh xạ liên tục S : C → H . Bài toán bù
phi tuyến, ký hiệu (C, P ) là bài toán:
Tìm u∗ ∈ C sao cho S(u∗ ) ∈ C ∗ và S(u∗ ), u∗ = 0.
Với mọi u, v ∈ C , đặt f (u, v) = S(u), v − u . Khi đó, bài toán (C, P ) sẽ
tương đương với bài toán EP (f, C).
Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T : C → 2H là một


R. Một điểm (u∗1 , u∗2 ) được gọi là điểm yên ngựa của f nếu (u∗1 , u∗2 ) ∈ C =
C1 × C2 và
F (u∗1 , v2 ) ≤ F (u∗1 , u∗2 ) ≤ f (v1 , u∗2 ), ∀(v1 , v2 ) ∈ C1 × C2 .
. Xét ánh xạ F : C × C → R

F (u, v) = f (v1 , u2 ) − f (u1 , v2 ),
trong đó u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ). Khi đó, điểm u∗ = (u∗1 , u∗2 ) là điểm yên
ngựa nếu và chỉ nếu

F (u∗ , v) ≥ 0, ∀v = (v1 , v2 ) ∈ C.
Như vậy, u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C)
Chú ý: Giả sử song hàm f : C × C → R xác định bởi f (u, v) =

F (u), v − u với mọi u, v ∈ C . Bằng định nghĩa, ta dễ chỉ ra rằng các khái
niệm về tính đơn điệu của f và các khái niệm về tính đơn điệu tương ứng
của F (ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơn
điệu mạnh) là tương đương.

16


1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại, tính
duy nhất nghiệm và tính chất nghiệm của bài toán cân bằng. Trước hết ta
nhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau.
Cho tập C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
thực H và một ánh xạ F : C → R. Ánh xạ F được gọi là


(A2) f (u, ·) tựa lồi với mỗi u ∈ C ,
(A3) f (·, v) nửa liên tục trên với mỗi v ∈ C .
Trong [5] Blum và Oettli đã chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài
toán cân bằng, trong đó f = g + h , g thỏa mãn điều kiện đơn điệu và tính
nửa liên tục trên theo biến thứ nhất, h không cần đơn điệu nhưng phải thỏa
mãn điều kiện mạnh hơn theo tính liên tục trên.
Khi g = 0 ta suy ra được kết quả của Ky Fan,
Khi h = 0 ta suy ra được kết quả của Browder Minty.
Trước hết ta nêu lại một số khái niệm sau:
Cho C, H là hai tập lồi, C ⊂ H , nhân của tập C đối với tập H , ký
hiệu CoreH C , được định nghĩa:

u ∈ CoreH C ⇔ u ∈ C, C ∩ (u, v] = ∅ ∀v ∈ H \ C,
hiển nhiên CoreH H = H
Định lý 1.5 ([5]) Giả thiết các điều kiện i → iv dưới đây được thỏa mãn.
(i) H là không gian Hilbert, C là tập lồi, đóng, khác rỗng;
(ii) g : H × H → R có các tính chất:

g(u, u) = 0, ∀u ∈ H;
g(u, v) + g(v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ H;
∀u, v ∈ H : t ∈ [0, 1] → g(tv + (1 − t)u, v) là nửa liên tục trên tại
t = 0 và nửa liên tục dưới đối với biến thứ 2.
(iii) h : H × H → R có các tính chất sau:

h(u, u) = 0, ∀u ∈ H;
h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất;
h là lồi theo biến thứ hai.
(iv) ∃ C ⊂ K là lồi, compact, khác rỗng sao cho ∀u ∈ C \ CoreH C,

∃v ∈ CoreH C sao cho g(u, v) + h(u, v) ≤ 0.


Ở đây, song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau
(i) f đơn điệu;
(ii) với mỗi u, v, t ∈ C, lim f (kt + (1 − k)u, v) ≤ f (u, v);
k→0

(iii) với mỗi u ∈ C, v → f (u, v) là hàm lồi và nửa liên tục dưới, khi đó với
mọi u ∈ H , tồn tại v ∈ C thỏa mãn

f (v, t) +

1
t − v, v − u ≥ 0, ∀t ∈ C.
r

Hơn nữa, ánh xạ Sr : H → C được định nghĩa bởi (1.3) là ánh xạ đơn trị
và thỏa mãn tính đơn điệu mạnh ngược

Sr (u) − Sr (v)

2

≤ Sr (u) − Sr (v), u − v , ∀u, v ∈ H,

19


và u∗ ∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C) nếu và chỉ nếu nó là điểm bất
động của ánh xạ Sr .
Đặt f (u, v) = F (u), v − u với mọi u, v ∈ C , ở đây ánh xạ F :


S(u) − u∗ ≤ u − u∗ , ∀(u, u∗ ) ∈ C × F ix(S);
(iii) tựa co, nếu F ix(S) = ∅ và tồn tại β ∈ (0, 1) thỏa mãn

S(u) − u∗ ≤ β u − u∗ , ∀(u, u∗ ) ∈ C × F ix(S);
(iv) nửa co, nếu F ix(S) = ∅ và tồn tại β ∈ [0, 1) thỏa mãn

S(u) − u∗

2

≤ u − u∗

2

+ β u − S(u) 2 , ∀(u, u∗ ) ∈ C × F ix(S).
20