Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8)
Ngô Thị Loan
Giáo viên trường THCS Thọ Hải, Thọ Xuân

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI NÓI ĐẦU.
Trong giai đoạn hiện nay, Đảng ta đã nhận định:  “Cùng với khoa học  
và công nghệ  cần phải đưa giáo dục và đào tạo trở  thành quốc sách hàng 
đầu”;  “Giáo dục phải đào tạo những con người có trình độ cao về tri thức,  
phát triển cao về trí tuệ, thích ứng nhanh với sự phát triển mạnh mẽ của xã  
hội”. 
Để đáp ứng kịp thời sự phát triển ấy, giáo dục không chỉ cần đổi mới 
về nội dung mà còn cần phải đổi mới và hiện đại hoá cả về phương pháp  
dạy học và phương tiện dạy học; giáo dục phải tiếp thu bằng nhiều cách 
khác nhau và bằng chính thái độ  chủ  động, tích cực sáng tạo của người  
học.
Trong   “Đổi   mới   giáo   dục”,  điều   rất   quan  trọng  là   sự   đổi   mới   về 
phương pháp. Giáo dục phải chuyển từ “Cung cấp kiến thức” sang “Luyện  
cách tự  mình tìm ra kiến thức”. Vì vậy, giáo dục phải đề  cao việc rèn óc  
thông minh sáng tạo, giảm sự “nhồi nhét”, “ghi nhớ”. Giáo viên phải từ  vị 
trí truyền thụ kiến thức chuyển sang vị trí người hướng dẫn học trò tự tìm 
lấy kiến thức; còn học trò, từ  vị  trí thụ  động tiếp thu kiến thức, trở  thành 
người chủ  động tìm học, tự  học, tự  nghiên cứu để  chiếm lĩnh kiến thức. 
Dạy kiến thức phải phát huy lòng say mê ham thích học tập của người học.  
Xét cho cùng, giáo dục là quá trình cung cấp kiến thức, hướng dẫn người 
học tìm kiến thức mới để  làm cơ  sở  cho sự  phát triển năng lực tư  duy và 
hành động. 
Đổi mới phương pháp dạy học (nói chung) phải phát huy tính tích cực 
trong dạy học, tích cực hoá hoạt động của người học. Quá trình giáo dục là  
một quá trình nhận biết ­ thuyết phục ­ vận dụng để  tiếp thu những kiến 
thức mới từ  chưa biết, chưa biết sâu sắc, đến biết, biết sâu sắc và vận 

tính chất “Người lớn”. Tuy nhiên, nhược điểm của các em là chưa nắm 
được các phương cách thực hiện các hình thức học tập mới. Vì vậy, cần có  
sự  hướng dẫn, điều chỉnh một cách khoa học và nghệ  thuật của các thầy 
cô.
Lý luận về phương pháp dạy học đã cho thấy: Dạy học theo phương 
pháp mới, phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn,  
tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học.
­ Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo trong dạy  
học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài, thông qua từng tiết học,  
thông qua nhiều năm học và thông qua tất cả  các khâu của quá trình dạy 
học.
­ Hiện nay, trong nhà trường nói chung vẫn còn không ít học sinh lười  
học, lười tư duy trong quá trình học tập.
­  Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, chưa có những hoạt 
động đích thực của bản thân để  chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ  động. 
Trong những năm qua, các trường trung học cơ sở đã có những chuyển biến 
tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy học. Học sinh cũng đã chủ 
động nghiên cứu, tìm tòi, khám phá kiến thức. Song, mới chỉ  dừng lại  ở 
những bài tập cơ bản trong sách giáo khoa. Định lý Talét là một phần kiến  
thức khó đối với các em, đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài  
tập.
­ Hậu quả của thực trạng trên là: Việc vận dụng ngay những lý thuyết  
đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập, học sinh còn gặp rất  
nhiều khó khăn, lúng túng. 
 Vậy, làm sao các em có khả  năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài  
tập có nội dung mở rộng và nâng cao?.
Năm học 2010 – 2011                                        

2 


giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn  
thẳng tương ứng tỷ lệ.
* Định lý đảo:  Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và  
định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳg tương  ứng tỷ  lệ  thì đường  
thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
ABC
        a // BC    

AB AC
=
AB AC
AB AC
=
  
BB CC
BB CC
=
AB AC

Năm học 2010 – 2011                                        

3 


Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8)
b/ Hệ  quả của định lý Talét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một  
tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới  
có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. 
B’


Ta có thể suy ra 

k (k

1)  

thì   ba  đường thẳng BB’, CC’, DD’  đồng 
quy tại một điểm A hay không? Nếu C là 
trung điểm của BD thì C’ có là trung điểm của B’D’ hay không? 
Từ những suy nghĩ đó, tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những  
bài tập về đường thẳng đồng quy, các điểm thẳng hàng ...
Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao  
cho học sinh có thể  tích cực, độc lập suy nghĩ, tự  xây dựng, tự  khái quát  
hoá, tổng hợp kiến thức cần thiết cho việc giải bài tập có nội dung nói 
trên.
Sau đây là hệ thống các câu hỏi, bài tập cơ bản dẫn dắt học sinh.
II. Bước thứ hai:      
Xây dựng hệ thống bài tập, giúp cho học sinh tư duy phân tích tổng  
hợp, khái quát hoá kiến thức mới, từ  đó làm cơ  sở  cho việc vận dụng  
khi giải bài tập.
Năm học 2010 – 2011                                        

4 


Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8)
* Bài số  1:   Cho ba tia Ox, Oy, Oz  cắt hai đường thẳng song song m, m’  
lần lượt tại:  A, A’   Ox ; B,  B’   Oy ;  C,  C’  Oz . 
O
AB

  (đpcm). 
A' B' B' C '
* Bài số 2:   Vấn đề đặt ra là:
Bài toán trên còn đúng không nếu có bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot  cắt hai 
đường thẳng song song m và m’ ?  Hãy phát biểu và chứng minh bài toán.
        Đến đây học sinh đã có thể dựa vào bài toán 1 để trả lời; “ Cho bốn tia  
Ox, Oy, Oz, Ot   cắt hai đường thẳng song song m và m’ tại các điểm theo  
thứ tự tại A, A’   Ox; B,  B’   Oy; C,  C’  Oz; D, D’ Ot.
AB
BC
CD
O
=
=
Chứng minh rằng: 
A' B '

B 'C '

C'D'

                                        
                                                                                                         
                                                                   A       B         C        D m
                                                           A/             B/               C/                      D/ m
          Chứng minh:                              x                 y                z                  t

/

AB

HS trả  lời: “Nếu các đường thẳng đồng quy tại một điểm và cắt hai  
đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song  
ấy các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ”. 
GV giới thiệu với học sinh tính chất trên, chính là tính chất của ba 
đường thẳng đồng quy. Sau đó giáo viên cho học sinh lập mệnh đề đảo và  
chứng minh (phát biểu thành bài toán đảo của bài toán trên) chính là nội  
dung của bài toán 3 sau đây:
* Bài số 3:  Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng song song m,  
m’   lần   lượt   tại   A,   A’     a   ;   B,   B’     b   ;   C,   C’   c       sao   cho 
AC
A' C '

BC
B' C '

k (k

1)  

 Chứng minh rằng các đường thẳng a, b, c đồng quy tại một điểm. 
Chứng minh:
Giả  sử  hai đường thẳng a, b cắt nhau  
tại O, ta cần chứng minh đường thẳng c đi 
qua O.  Gọi giao điểm của đường thẳng OC 
với m’ là C”.   Khi đó, theo định lý thuận, ta 
có:
AC
BC
. Mặt khác theo GT:
AC ' ' B' C '

từ đó suy ra:     

AM
DN

MB
NC

Theo kết quả bài 3 ta được AD, BC, MN đồng quy, 
đến đây GV cho học sinh tiếp tục làm bài tập sau đây.
* Bài số  5:  Chứng minh rằng: Trong hình thang giao điểm hai cạnh bên,  
giao điểm hai đường chéo và trung điểm của hai đáy thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi giao điểm của AD và BC là O ; giao 
điểm của AC và BD là I. Gọi M là trung 
điểm của AB, N là trung điểm của CD. 
Ta có: O, M, N thẳng hàng (áp dụng bài 4)
Ta có I, M, N thẳng hàng (tương tự bài 4)
Suy ra: O, M, N, I thẳng hàng (đpcm).
Đây là bài toán, sau khi làm bài, 4 học 
sinh đã làm được bài làm một cách dễ  dàng 
mà không cần phải gợi ý thêm gì cả. Sau đó 
tôi cho học sinh làm bài toán mà tôi đã đặt vấn đề ở trên:
* Bài số 6:
a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì  
đường thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ  đi qua  
trung điểm của các đáy của hình thang.
b/ Hãy nêu ra cách dùng chỉ  một cái thước (không dùng com pa) để  dựng  
trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước khi cho một đường thẳng d song  
song với AB và dựng qua điểm M cho trước một đường thẳng song song  


song song AB, CD và ba đường thẳng đồng 
quy AC, MN, BD
MB
AM NC
, do đó 
 (2). 
DN
MB ND
DN NC
Từ (1) và (2) Suy ra 
 do đó DN = NC 
NC DN

Ta có 

AM
NC

nên N là trung điểm của CD. 
Từ DN = NC và (2) suy ra AM = MB nên M là trung điểm của AB.
b/ Nếu có đường thẳng d song song với đoạn thẳng 
AB thì ta lần lượt nối A, B với cùng một điểm E 
nào đó  ở  ngoài d và khác phía đối với A. Gọi giao 
điểm của d với EA, EB theo thứ tự là C, D. Nối AD, 
BC và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là F. 
Nối F với E thì theo chứng minh ở phần a giao điểm  
của EF với AB là trung điểm M của đoạn thẳng AB. 
Nếu   điểm   M   nằm   trên   đường   thẳng   AB   thì 
không thể  có đường thẳng song song với AB và đi qua M. Nếu điểm M 

 
 Giải:
   Gọi H là giao điểm của AD, BE, CF
   ta có 

BI
IF

BD
DC

BK
KE

IK // FE     (1)

  Tương tự                 MN//FE               (2)
IF DH NE
IN // FE  (3)
  Ta lại có 
FA HA EA
   Từ (1), (2) và (3) suy ra I, K, M, N 
thẳng hàng 
* Bài số  8:  Cho hình thang ABCD (AB//CD; AB,CD). Đường thẳng qua A  
song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B song song với AD cắt  
CD tại H, đường thẳng qua H song song với BD cắt BC tại I. Chứng minh  
rằng:
   a)  EI // AB                           b)  Ba đường thẳng EI, BH, ACđồng quy 
Giải:
Gọi F là giao điểm của BH và AC, G là giao điểm của AE và CD 

BI
IC

BE
ED

 

Từ đó suy ra EI // DC hay EI // AB    (4)
b/ Từ (2) và (3) ta có 
AB
DG

AB
, lại có HC // AB 
HC

ra FI // AB hay FI // CD (5) 
từ (4) và (5)   EI, BH, AC   đồng quy. 

 

AB
HC

Năm học 2010 – 2011                                        

AF
BI
 do đó 

 
PA

 

AQ
NB
NC
AQ

   Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được 
MA PC
NC
.
=
 
MB PA
NB

    Nhân 2 vế với 

NB
ta có:      
NC

MA NB PC
.
.
MB NC PA


* Bài số  10:     Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD, Lấy hai  
điểm tương ứng M, N. Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q  
là giao điểm của BN với MD. Chứng minh rằng ba  điểm C, P, Q thẳng  
hàng.
Giải: 

NA QD BM
.
.
1      
ND QM MA
      Gọi K là giao điểm của CD với đường thẳng MP. Khi đó BCKM, 
NDKP là các hình bình hành nên: 
NA PM
BM CK
  và 
 
BA CD
ND PK
      Vì ba điểm N, Q, B thẳng hàng nên theo bài 3 ta có: 

Năm học 2010 – 2011                                        

10 


Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8)
NA QD BM PM QD CK PM CK QD
.
.

AR AE
=
  (1)
RB BC
PB OP
=
∆BOP     ∆FOA  
  (2)               B                                                       
AF OA
OP PC
C
=
P
∆POC     ∆AOE  
  (3) 
OA AE
CQ BC
PB AF
=
=
Từ (2) và (3)     
  (4).   ∆AQE      ∆CQB    
  (5)
QA AF
PC AE
AR BP CQ AE AF BC
=
.
.
= 1   (Điều phải c/m) 

DA EA
DA MB EC DA EC
.
.
=
.
= 1  hay 
DB MC EA DB EA
DB EC
tức là DE//BC 

Năm học 2010 – 2011                                        

11 


Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8)
* Bài số 13:   Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE, CAFnằm  
phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy.
Giải :
     Gọi P là giao điểm của AE và BC, Q là giao điểm của BF và CA, R là 
giao   điểm   của   CD   và   AB   .   Hai   tam   giác 
ABE và ACE có chung cạnh AE nên tỷ  số 
diện tích của chúng bằng tỉ  số  các khoảng 
cách từ  B và C đến cạnh chung AE. Theo  
định  lý   Talét   trong   tam   giác,   tỉ   số   khoảng 
cách đó bằng  

PB
PB

Vì  ABE =  DBC (c.g.c),  ACE =  FCB   (c.g.c),  FAB =  CAD (c.g.c).
PB QC RA S ABE S FCB S CAD
.
.
.
.
1 . Ba đường thẳng AE, BF, CD 
Nên  
PC QA RB S ACE S FAB S DBC
đồng quy. (định lý Xêva HS sẽ được học kỹ hơn ở bậc THPT).
* Bài tập vận dụng
Bài 1: Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC, đặt các đoạn   AA' = AB , 
BB ' = BC ,  CC ' = CA . Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác ABC và  A B C  
trùng nhau.
Định hướng giải:                                                                                                
A/
 Kẻ đường trung tuyến BE của  ABC và               
đường trung tuyến  A D của A B C . 
Áp dụng định lí về đường trung bình                        
vào tam giác  CB C , rồi suy ra                                                
A
E
Tứ giác AEDB  la hbh nên ED song song 
G
và bằng AB.                                                       
B
Áp dụng hệ quả của định lí Talet vào                                                C
Năm học 2010 – 2011                                        

12 


Bài 3: Qua điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC, ta dựng các đường thẳng DE, 
FK, MN tương  ứng song song với AB, AC, BC sao cho F và M nằm trên  
AB, E và K trên BC, N và D trên AC. Chứng minh:
AF BE CN
+
+
= 1.
AB BC CA

Bài 4: Cho hình thang ABCD có P và Q là trung điểm của hai đáy BC và 
AD. M là một điểm trên tia đối của tia CA. Các đường thẳng MP và MQ 
cắt hai cạnh bên AB và CD ở H và K. Chứng minh rằng HK song song với  
đáy của hình thang. 
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
Qua nội dung trình bày trên, ta thấy  ở  nhiều bài tập, khi chứng minh  
rất cần đến việc áp dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy. Những  
kiến thức này, giúp cho học sinh phát triển được tư  duy và kĩ năng chứng  
minh hình. 
       Do được trang bị những kiến thức về đường thẳng đồng quy nên việc  
chứng minh và trình bày sẽ  ngắn gọn và dễ  hiểu hơn, làm cho học sinh  
hứng thú trong học tập cũng như khi giải các bài tập khó. Qua thử nghiệm, 
tôi nhận thấy có một số kết quả rất phấn khởi như sau:
I. Kết quả về nhận thức:
­   Khi chưa thực hiện chuyên đề  này, học sinh gặp nhiều khó khăn 
trong việc chứng minh loại bài tập này, ngay bài tập số  4 tương đối dễ mà 
có tới 99%  các em không giải được, còn các bài tập từ bài số 6 đến bài số 
13 các em hoàn toàn bế tắc.
­  Sau khi nghiên cứu sắp xếp hệ thống bài tập, câu hỏi (như  đã trình 
bày ở trên) và áp dụng dạy cho học sinh giỏi lớp 8 thì thấy rằng: Học sinh  

cho các em lòng mê say nghiên cứu, tìm hiểu, khám phá những điều lý thú, 
bổ ích của môn Toán học.
­ Đối với học sinh trung bình: Các em được củng cố  và phát triển 
những kỹ  năng cơ  bản của kiến thức toán nên đa số  HS đã có niềm thích 
thú, tìm tòi và sáng tạo trong học tập  môn học.
­ Với đối tượng học sinh còn yếu, kém: Chuyên đề  cũng đã có một  
đóng góp đắc lực vào việc giúp các em phát tiển được tính tự giác, tích cực 
và độc lập trong quá trình tiếp thu kiến thức và làm bài.
III. Bài học kinh nghiệm rút ra:
1. Đổi mới phương pháp dạy học là một quá trình. Song, mỗi giáo viên 
cần có ý thức thường trực tìm tòi những phương pháp phù hợp với từng  
loại bài tập và từng đối tượng học sinh theo hướng tích cực hoá hoạt động  
của học sinh trong quá trình học tập.
2. Học sinh trung học cơ sở còn ở tuổi thiếu niên, việc tư duy của các 
em, khả năng khái quát hoá còn rất hạn chế. Do đó, để giải các bài tập khó 
là cả một công việc khá nặng nề đối với các em, nhất là các bài tập hình. 
Vì vậy, đòi hỏi  ở  người giáo viên phải có một sự  đầu tư  lớn trong việc 
nghiên cứu chương trình của sách giáo khoa, hệ  thống bài tập áp dụng và 
bài tập nâng cao, từ  đó xây dựng thành những chuyên đề  nhằm giúp học 
sinh có năng lực độc lập tư  duy, khái quát hoá các kiến thức. Từ  đó mà 
năng lực và trí tuệ của các em mới được rèn luyện và nâng cao. 
Năm học 2010 – 2011                                        

14 


Phát triển tư duy cho học sinh từ định lý TaLét...(BD HS giỏi lớp 8)
3. Chỉ  qua một ví dụ  về  “Định lý Talét”, ta thấy đã rút ra được rất 
nhiều kiến thức khá bổ ích cho việc giải bài tập hình về chứng minh trung  
điểm của đoạn thẳng, các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song,  

II. Thực trạng của vấn đề.                                                    Trang 1, 2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Các giải pháp  (Bước thứ nhất).                                      Trang 3
II. Biện pháp cụ thể  (Bước thứ hai).                                   Trang 4 đến 
11
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
I. Kết quả về nhận thức.                                                      Trang 12
II. Kết quả về hành vi, thái độ.                                             Trang 13   
1. Với giáo viên:
2. Với học sinh:                                                          
III. Bài học kinh nghiệm rút ra:                                           Trang 13, 14

Năm học 2010 – 2011                                        

16