Chơng I : Giới thiệu về hệ mật RSA
I. Cơ sở toán hệ mật RSA.
1. Hàm cửa sập một chiều và độ bảo mật của hệ mật khoá công khai.
Nh đã trình bày trong phần trớc, một khái niệm cơ bản khi nghiên cứu các hệ
mật khoá công khai nói chung và hệ mật RSA nói riêng là khái niệm về hàm cửa
sập một chiều,
Định nghĩa 1: Hàm f: X Y đực gọi là hàm một chiều nếu tính y=f(x) với
mọi x X là dễ nhng việc tìm x khi biết y lại là vấn đề khó.
Thực ra phát biểu trên chỉ là định nghĩa phi hình thức (do thuật ngữ khó đợc
dùng đến là không định lợng và thậm chí sau này chúng ta đã biết là ngay cả khi
đã định lợng bằng sự không tồn tại thuật toán giải bài toán ngợc trong phạm vi đa
thức thì khía niệm khó nêu trên có tồn tại hay không cũng cha đợc ai khẳng
định rõ ràng) và điều đáng tiếc hơn nữa là tất cả các hàm ứng cử viên cho khái
niệm này cho đến nay chỉ mới đợc coi là một chiều.
Chúng ta dễ dàng thống nhất đợc với nhau là chỉ riêng hàm một chiều là
không đủ để xây dựng thành một luật mã theo kiểu công khai hàm mã hoá do vì
chính bản thân chủ nhân của bức điện mật cũng gặp phải hoàn cảnh tơng tự nh
ngời khác. Nh vậy để có thể giải mã một cách hữu hiệu thì ngời giải mã phải có
một hiểu biết tuyệt mật nào đó về khoá giải (một hiểu biết theo kiểu nếu biết
nó thì cách giải dễ dàng) hiểu biết tuyệt mật này đợc gọi là cửa sập. Hàm một
chiều nh trên đợc gọi là hàm một chiều có cửa sập.
Dĩ nhiên dù không biết cửa sập thì ngời thám mã vẫn có thể sử dụng hiểu biết
về hàm f để lần lợt tính tất cả các giá trị f(x) cho mọi bản rõ x cho tới khi tìm đợc
bản rõ thoả mãn y=f(x). Bản rõ tìm đợc trên chính là kết quả giải mã của y.
Ngoài ra ngời thám mã còn có thể sử dụng nhiều phơng pháp tấn công khác
nhằm vào đặc thù riêng của từng hàm f để tìm ra bản rõ trong các trờng hợp riêng
rẽ khác chứ không nhất thiết phải giải bài toán ngợc.
Tóm lại đọc an toàn của hệ mật khoá công khai không chỉ phụ thuộc vào độ
khó của việc giải bài toán ngợc mà tính bền của sự an toàn này còn phụ thuộc
vào các phơng pháp tấn công của các thám mã, vả lại nh đã trình bày ở trên thì
toàn bộ các hê khoá mật công khai đang đợc sử dụng đều cha đực sự khẳng định

f
-1
(x) y
d
mod n x Z
n
.
nh vậy nếu biết đợc d thì việc tính f
-1
sẽ trở nên vấn đề dễ vậy giá trị d trên
chính là cửa sập của f.
Tất nhiên hiện nay ngời ta cũng cha tìm đợc thuật toán hữu hiệu nào cho phép
tìm đợc d mà không cần tìm p,q do vậy có thể ngầm hiểu rằng việc tìm đợc d
cũng tơng đơng việc tìm đợc p, q. Tuy nhiên ở phần sau chúng ta sẽ thấy thậm
chí việc biết d cũng không giúp ích gì lắm cho việc tìm p và q.
b. Xây dựng mạng thông tin theo hệ mật RSA.
Trong hệ mật RSA thì không gian các bản rõ P, không gian xác các bản mã
chính là Z
n
còn không gian khoá
K={
(e,d,n): ở đây n là tích của hai số nguyên
tố p và q với e*d 1 mod (n)}
Mạng thông tin theo hệ mật RSA đợc thiết lập nh sau:
Mỗi thành viên M
i
trong hệ thống chọn cho mình một khoá (e
i
,d
i

tác cơ sở của máy tính. Với một số công bố gần đây ngời ta đã chỉ ra rằng thời
gian tính đó chỉ còn là O(log
2
n) với việc sử dụng biến đổi Furier nhanh.
Theo các tài liệu công bố hiện nay thì những thiết bị phần cứng mật mã RSA
hiệu quả nhất hiện nay chỉ đạt tốc dộ khoảng 600 Kb/s tức là chậm hơn 1500 lần
so với hệ mật DES (1 Gb/s) nh vậy việc mã dịch bằng luật RSA vẫn còn bị hạn
chế về mặt thờ gian do về mặt thực tế thì hệ mật RSA có lẽ chỉ dùng đẻ thực hiện
các tính năng u việt của nó nh phân phối mầm khoá tự động, xác thực...
3. Độ an toàn của hệ mật RSA.
a. Bài toán phân tích số và việc phá hệ mật RSA.
Cách tấn công dẽ thấy nhất đối với hệ mật RSA là ngời thám mã sẽ cống
gắng phân tích n rathừa số nguyên tố n=p*q và khi đó anh ta dễ dàng tính đợc
(n)=(p-1)(q-1) và do đó tìm đợc thông tin cửa sập D tơng ứng với thông tin mã
hoá E bằng thuật toán Euclide. Nh vậy chúng ta thấy ngay rằng việc phá hệ mật
RSA là dễ hơn bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố tuy nhiên
cũng cha có một kết quả nào chỉ ra rằng bài toán phân tích số là thực sự khó hơn
cho nên ngời ta thờn thừa nhận rằng bài toán phá hệ RSA là tơng đơng với bài
toán phân tích số nguyên thành thừa số ngời.
để đảm bảo tính khó phân tích ra thừa số của n=p*q thì yêu cầu đầu tiên là p,q
là các số nguyên tố lớn xấp xỉ bằng nhau và là số nguyên tố mạnh . Khái niệm
mạnh ở đây chỉ bắt nguồn từ ý nghĩa khó phân tích do vậy nó sẽ đợc bổ xung
cùng với kết quả có đợc của khả năng phân tích số. Nói một cách khác là khái
niệm mạnh bao gồm sự loại trừ các lớp số nguyên tố mà với chúng tồn tại thuật
toán phân tích hiệu quả, chúng ta có thể biết đén một khái niệm sơ khai của tính
mạnh đó là các số nguyên tố p mà p-1 và p+1 có chứa thừa số nguyên tố lớn.
b. Việc tấn công hệ mật RSA khác phơng pháp phân tích số.
Trong [Stínon] đa ra chứng minh một kết quả thú vị là một thuật toán bất kỳ
để tính số mũ giải mã D đều có thể đợc dùng nh một chơng trình con trong thuật
toán xác suất kiểu Las Vegas để phân tích n.

- Tìm k+1 các thặng d bậc hai nhỏ hơn B và phân tích đợc hoàn toàn trong tập
cơ sở trong lớp các số dạng Q(x) ((m+x)
2
- N) mod N với k là số phần tử của cơ
sở, m = [
N
] còn x=0, 1, 2,....
- Xây dựng đồng d thức x
2
y
2
mod N từ k+1 thặng d bậc hai tìm đợc trên.
Cơ sở thuật toán chủ yếu dựa vào thứ nhất là khả năng tìm đợc k+1 thặng d
bậc hai và tiếp đến là xây dựng đồng d thức x
2
y
2
mod N nh thế nào.
Trớc hết chúng ta cùng xem xét đến vấn để thứ hai.
Giả sử thặng d bậc hai thứ i tìm đợc ở trên là r
i
=
i
2
= q
1

1
. q
2


a
i
v
i
với là véc tơ không và a
i
không đồng d bằng không.
khi đó

=
1ai
Q(X
i
) theo định nghĩa sẽ là x
2
mod N, mặt khác do điều kiện đặt