ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————————————

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2018


i


Nguyễn Quỳnh Hoa


iii

Mục lục
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

vi

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức cơ bản

7

1.1 Không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . 12
1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


Tài liệu tham khảo

105


v


vi

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

2X

tập các tập con của tập hợp X

X∗

không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X

p, x


∃x

tồn tại x

∅

tập rỗng

{xα }

dãy suy rộng

coA

bao lồi của tập hợp A

coneA

bao nón lồi của tập hợp A

clA, A¯

bao đóng tôpô của tập hợp A

intA

phần trong tôpô của tập hợp A



sau: Tìm x ∈ D sao cho
F (x) = 0,

(1)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào
không gian tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử.
Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao
cho
f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D,

(2)

với D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian các số
thực R. Bài toán này còn được gọi là bài toán tối ưu.
Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào
giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây
dựng những lý thuyết để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1)
được gọi là lý thuyết phương trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi
là lý thuyết tối ưu. Hai bài toán trên đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này.
Lý thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác
lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa về bài toán (2) và ngược
lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm f , bài toán (2)


2

tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
x = PD (x − f (x)),
với PD (x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F (x) = 0, với F (x) =



3

Năm 1994, Blum và Oettli [14] đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh
xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho
f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D.

(5)

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng Định lý
về sự tương giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất
động Browder.
Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân,
bài toán điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những
trường hợp đặc biệt. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm
tìm nghiệm cho những bài toán này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước
cũng như quốc tế mở rộng và phát triển mạnh mẽ.
Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng
được mở rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được
gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân
bằng véctơ. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các
tác giả N. X. Tan [46], D. T. Luc [11], P. N. Tinh [58], P. H. Sach [53], P. Q. Khanh
[32], L. J. Lin [40], T. T. T. Duong [22], B. T. Hung [35], N. T. Q. Anh [8], ... đã
phát biểu các bài toán trên và chứng minh sự tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh
xạ liên quan là những ánh xạ đa trị.
Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ,
ánh xạ đa trị đều có thể quy về bài toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y . Tìm x ∈ D
sao cho
0 ∈ F (x),


3) 0 ∈ F (x, y).
Các ánh xạ P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là hàm mục tiêu.
Ta thấy, nếu đặt D = D × K, P = P × Q thì bài toán (8) trở về dạng bài toán
(7).
Bài toán tựa cân bằng tổng quát (8) bao hàm rất nhiều lớp bài toán tối ưu mà
ta đã biết như bài toán tựa bao hàm thức biến phân, bài toán tựa quan hệ biến
phân,... Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (8) đã được rất nhiều các
tác giả nghiên cứu như L. J. Lin và S. Park [39], M. P. Chen, L. J. Lin và S. Park
[19], S. Park [51], Jian Wen Peng và Dao Li Zhu [52], ... Đặc biệt, các tác giả N. X.
Tan và D. T. Luc [43], N. X. Tan và L. J. Lin [40], N. X. Tan và T. T. T. Duong
[22], N. X. Tan và B. T. Hung [35], N. X. Tan và N. T. Q. Anh [8] xét trong trường
hợp P là ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c hoặc l.s.c và tất cả
các ánh xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng.
Mở rộng hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét bài toán (8) với hàm mục tiêu là
dạng tổng của hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y). Tức là, chúng tôi xét bài


5

toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) x ∈ P (x, y);
2) y ∈ Q(x, y);
3) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y),
với các điều kiện đặt trên hai hàm G và H khác nhau và ta gọi là "Bài toán tựa cân
bằng dạng Blum - Oettli tổng quát". Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về những
bài toán dạng Blum - Oettli, tức là các bài toán đa trị có hàm mục tiêu là tổng
của hai ánh xạ như N. X. Tan và P. N. Tinh [58], T. Y. Fu [29], G. Kassay và M.
Miholca [37], G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh [38],...
Mục tiêu của luận án là:

Fan - Browder với nhau (Hệ quả 2.1.7, Hệ quả 2.1.8, ...).
Chương 3 trình bày một số ứng dụng, xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ quả 3.1.1), bài toán tựa cân bằng suy rộng
loại II (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.2, Hệ quả 3.2.3) và bài toán tựa cân bằng suy rộng
hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) dựa trên các kết quả có được từ Chương 2.
Nội dung cơ bản của luận án được viết dựa trên cơ sở là các bài báo trong Danh
mục công trình nghiên cứu.


7

Chương 1

Kiến thức cơ bản
Trong toán học cũng như trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, muốn giải quyết
một vấn đề nào đó, người ta thường mô hình hóa dưới dạng một bài toán. Bài toán
đưa ra phải được đặt trong không gian nhất định, nghiệm của bài toán đó cũng phải
được xác định trong một không gian nào đó. Không gian phải có những cấu trúc
để đảm bảo cho bài toán có nghiệm và có thể tính được nghiệm theo thuật toán.
Do đó, trước khi nghiên cứu các bài toán được nêu trong luận án, ta cần nhắc lại
những kiến thức cơ bản về các không gian thường dùng và các khái niệm liên quan
đến các bài toán ta cần nghiên cứu.

1.1
1.1.1

Không gian thường dùng
Không gian tôpô

Để định nghĩa không gian tôpô, người ta đưa ra khái niệm tôpô trên một tập

1) Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu X\A ∈ τ ;
2) Tập U ⊆ X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại một tập mở B ⊂ U sao
cho x ∈ B;


9

3) Ux ⊂ X được gọi là họ cơ sở lân cận của điểm x nếu
(a) Với mọi U ∈ Ux thì x ∈ U ;
(b) U1 , U2 ∈ Ux thì U1 ∩ U2 ∈ Ux ;
(c) U1 ∈ Ux và U1 ⊂ U2 thì U2 ∈ Ux ;
(d) Với mỗi U ∈ Ux có một V ∈ Ux sao cho U ∈ Uy cho mọi y ∈ V.
4) Cho {xα } ⊂ X với α thuộc tập chỉ số I được sắp xếp theo thứ tự trong N, ta nói
rằng xα hội tụ đến x (theo một tôpô τ ) nếu với lân cận U của x, tồn tại α0 ∈ I,
sao cho với mọi α ≥ α0 , xα ∈ U.
Nhận xét 1.1.1. Ta thấy rằng bốn khái niệm này đều tạo ra cùng một cấu trúc
tôpô trên X.
Ngoài ra, ta có định nghĩa.
Định nghĩa 1.1.5. Cho Ux là một họ cơ sở lân cận của điểm x trong không gian
tôpô X. Một tập Bx ⊂ Ux được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi V ∈ Bx ,
tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ V .
Trong nội dung chính của luận án, ta luôn nhắc đến không gian Hausdorff. Nó
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi cặp điểm
khác nhau x1 , x2 ∈ X đều có hai lân cận V1 , V2 của x1 , x2 sao cho V1 ∩ V2 = ∅ được
gọi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô của nó được gọi là tôpô
tách hay tôpô Hausdorff.
Định nghĩa 1.1.7. 1) Cho A ⊂ X, tập mở lớn nhất nằm trong A được gọi là phần
trong của A và ký hiệu là intA;
2) Cho A ⊂ X, tập đóng nhỏ nhất chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu

được gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận Uy0 của điểm y0 = f (x0 ) đều có một
lân cận Vx0 của điểm x0 sao cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 . Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó
liên tục tại mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.1.2. Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô
Y là liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở (đóng) trong Y đều là tập
mở (đóng) trong X.
Mệnh đề trên còn tương đương với mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.3. Ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô
Y là liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng xα ⊂ X, xα → x thì
f (xα ) → f (x).


11

1.1.2

Không gian tuyến tính

Cho tập hợp X. Trên X xác định hai ánh xạ:
+

: X × X −→ X

.

: R × X −→ X

(x, y) −→ x + y;

(α, x) −→ αx.

1. φ(x1 + x2 ) ≤ φ(x1 ) + φ(x2 ), với mọi x1 , x2 ∈ X;
2. φ(αx) = αφ(x), với mọi x ∈ X, α ≥ 0.
Dưới đây, ta sẽ nhắc lại định lý Hahn - Banach, một trong những định lý cơ bản
dùng cho các chứng minh ở chương sau.
Định lý 1.1.2. ([3])Cho M là không gian con của không gian tuyến tính X, ánh
xạ tuyến tính f : M → R. Nếu có một hàm dưới tuyến tính φ xác định trong X,
sao cho
f (x) ≤ φ(x), với mọi x ∈ M.
Khi đó, tồn tại hàm tuyến tính F : X → R sao cho
F (x) ≤ φ(x), với mọi x ∈ X.
1.1.3

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Trên một tập hợp X có thể đồng thời trang bị cả cấu trúc tôpô và cấu trúc đại
số. Nếu các ánh xạ "+" và "." của cấu trúc đại số liên tục trong tôpô của X thì ta
nói hai cấu trúc này tương thích với nhau.
Định nghĩa 1.1.12. Một không gian tôpô X mà trên đó, cấu trúc tôpô tương thích
với cấu trúc đại số (tức là, các phép tính "+" và "." liên tục đối với tôpô trên X)
được gọi là không gian tôpô tuyến tính (hay không gian véctơ tôpô ).
Từ điều kiện tương thích ta có thể dễ dàng suy ra:


13

Định lý 1.1.3. 1) V là một lân cận của gốc khi và chỉ khi V + a = {x + a : x ∈ V }
là một lân cận của a;
2) Nếu V là một lân cận của gốc thì với mọi α = 0, αV = {αx : x ∈ V } cũng là lân
cận của gốc.
Định lý 1.1.4. Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian tôpô tuyến tính X.

yếu* trên X ∗ .

1.2
1.2.1

Nón và ánh xạ đa trị
Các khái niệm cơ bản về nón

Trong không gian các số thực, hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với nhau qua
quan hệ thứ tự toàn phần. Nhưng điều này không có được trong không gian tôpô
tuyến tính tùy ý. Muốn mở rộng các bài toán tối ưu nhận giá trị thực sang các bài
toán nhận giá trị véctơ và các bài toán đa trị người ta đưa ra khái niệm nón. Trên
đó, ta có thể xác định được quan hệ thứ tự. Từ đó, ta mở rộng được các khái niệm
đã biết trong không gian các số thực cho không gian tôpô tuyến tính (xem [1]).
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là một không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Khi đó, ta
nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc (gọi tắt là nón) trong Y nếu tc ∈ C với mọi
c ∈ C, t ≥ 0.
Trong trường hợp X là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong X, ta ký
hiệu clC, intC, convC lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C và đặt
l(C) = C ∩ (−C). Ta có các phân loại về nón:
1) Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi;
2) Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng;
3) Nón C được gọi là nón lồi đóng nếu C vừa là tập lồi vừa là tập đóng;
4) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0};
5) Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn;
6) Nón C được gọi là nón đúng nếu clC + C\l(C) ⊆ C.
Chú ý 1.2.1. Nếu C là nón đóng thì C là nón đúng.


15

Trong trường hợp B không chứa điểm gốc O và với mỗi c ∈ C, c = 0 đều tồn tại
duy nhất b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb, B được gọi là cơ sở của nón C. Hơn nữa, nếu
B là tập hữu hạn phần tử thì tập C = cone(convB) được gọi là nón đa diện.
Trong trường hợp X là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff, một nón có cơ sở
lồi, đóng, giới nội là nón lồi, đóng, nhọn.


16

1.2.2

Ánh xạ đa trị và các tính chất

1. Các khái niệm cơ bản
Mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị: Cho hai tập hợp X, Y , một ánh xạ f đi từ X
vào Y là một quy tắc chuyển mỗi phần tử của X tới một và chỉ một phần tử của
Y , ký hiệu f : X → Y . Nhiều khi trong thực tế, ta gặp trường hợp ảnh của ánh xạ
không chỉ là một giá trị, mà là một tập hợp con. Khi đó, trường hợp này đưa ta đến
khái niệm về ánh xạ đa trị (xem [1], [4],...). Khái niệm này được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai tập hợp X, Y . Ánh xạ F đi từ tập X vào tập 2Y (tập
gồm tất cả các tập con của Y ) được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta thường ký
hiệu F : X → 2Y .
Nếu với mọi x ∈ X, F (x) chỉ là một phần tử của tập Y thì ta nói F là ánh xạ
đơn trị từ X vào Y . Khi đó, ta sử dụng ký hiệu quen thuộc là F : X → Y .
Định nghĩa 1.2.4. Cho hai tập hợp X, Y , D ⊆ X. Miền xác định và đồ thị của
ánh xạ đa trị F : X → 2Y lần lượt được định nghĩa như sau:
domF = {x ∈ D|F (x) = ∅},
Gr(F ) = {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ F (x)}.
Ta có các khái niệm:
1) F được gọi là ánh xạ đóng (mở), nếu Gr(F ) là tập con đóng (mở) trong không