KHOA HC & CôNG NGHê

Phín tẩch kọt cịu vẻm Ellipse lión tệc
chèu ti trẹng tỡng quắt
bng phừùng phắp ma trõn chuyổn ci tiọn
ThS. Ló Dếng Bo Trung

Túm tt

Hỡnh 6. th bin thiờn chuyn v theo phng trc x ph thuc thi gian ti im A(50,0)
trong 2 trng hp:
1. Trng hp khụng cú ai cn;
2. Trng hp khụng cú ai cn dy 20m

Giai on 2 th hin sai s ca tớnh toỏn v ph thuc
vo kớch thc tớnh toỏn ca mụ hỡnh phn t hu hn.
di ca phn ny ph thuc vo kớch thc ca V1 v
xỏc nh theo thi gian súng i ti biờn gn nht V1, phn
x v quay v im ang xột.

phn th cha cú tỏc dng ca cỏc súng phn x trong
khong thi gian 0 T 0.36s. iu ny cú ngha l
nghiờn cu trng thỏi ng sut bin dng trong mt min
cú bỏn kớnh 150m cn chn kớch thc mụ hỡnh tớnh toỏn
V1 l A=H>VpT=1000*0.36=360()

Giai on 3 th hin tỏc dng ca súng phn x ti cỏc
biờn o mụ hỡnh (cỏc biờn ny thc t khụng tn ti trong
bỏn khụng gian). T thi im ny cỏc kt qu s khụng
cũn tng ng vi cỏch gii ca bi toỏn ó cho.


phỏp ma trn chuyn ci tin. Kt qu nghiờn
cu c lp trỡnh bng Matlab v kim chng
vi chng trỡnh SAP 2000.

Abstract
This paper presents a new method in linear analysis
of internal force and displacement of continous ellipse
arch under 3D loads by Enhancements Transfer
Method. Results are programed by Matlab and
verified by SAP 2000 programe.

Keywords: Planar Ellipse Arc; 3D Load; Curved
Element; Linear Analysis; Enhancements Transfer
Method (Vũm phng Ellipse; Ti trng khụng gian;
Phn t cong; Phõn tớch tuyn tớnh; Phng phỏp
(PP) ma trn chuyn (MTC) ci tin).

ThS. Lờ Dng Bo Trung
B mụn Kt cu Thộp - G, Khoa Xõy Dng
T: 098 583 9898
Email: [email protected]

1. t vn
Vũm Ellipse l dng kt cu c in, trong cỏc cụng
trỡnh c i vũm cú cu to n gin, tớnh toỏn khụng
phc tp. Ngy nay vũm c s dng rng rói vi quy
mụ ln, khi lm vic vũm chu ti trng bt kỡ trong khụng
gian (ng t ngang, ng; giú ngang, dc ng thi,..)
nhng cỏc ti liu c hc kt cu hin nay ch ch yu
cp n tớnh toỏn vũm vi ti trng trong mt phng,

M 2 } , {U2 } = {U 2
T

2 } . Biu thc c
T

bn ca phng phỏp MTC, l mi liờn h gia ti trng
- chuyn v u 1 v 2 ca phn t thanh m (N.Trõm,
1982), [1], nh sau:
s2


U
T 1




A
A

[B ] ds [ A1 ]1
U 2 12 2

=
s1

P2
P
A12

ab
sin ϕ cos ϕ
ab
ab 
sin ϕ cos ϕ
−
−
sin ϕ cos ϕ ;
=
−
C6 
; C7 =
2
2
2
2
 EI y ' GI x '  a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ
EF
EI
a
sin
ϕ
+
b
cos
ϕ
z'


 a 2b a 2b

Hình 2. Phần tử thanh cong phẳng Ellipse

tuyến tính có ẩn số là các chuyển vị nằm ở cả hai vế của phương trình, cải tiến Biểu thức (1) đưa ẩn số về cùng một
vế, ta có:
−1
T12−1  U1   K11 K12  U1 
P1   −T12 T11
=
=

  
 =
 
−1
−1 
P2  T21 − T22T12 T11 T22T12  U 2   K 21 K 22  U 2 

Các tích phân thành phần của

Ellipse thuộc dạng thanh có bán kính cong biến đổi, gọi độ dài các bán trục trên HTĐ Oxy là a và b tương ứng trục
Ox và Oy, tham số góc ϕ = (00 ÷ 3600). Cách xác định điểm S(xϕ, yϕ) trên Ellipse tương ứng tham số góc ϕ, thể hiện
trên Hình 1.
Phương trình tham số trục thanh Ellipse có dạng xϕ = acosϕ, yϕ = bsinϕ. Quy ước HTĐ riêng, dấu của chuyển vị,
ứng lực như Hình 2, trục z và z’ trong hình vẽ biểu diễn vuông góc với mặt phẳng trục thanh. Gọi η là góc biến đổi tọa
độ giữa trục x’-x, dựa vào phương trình tiếp tuyến của Ellipse tại điểm S(xϕ, yϕ) và công thức chuyển đổi lượng giác
giữa các cung liên kết, ta xác định được mối liên hệ giữa η và ϕ (rad) như sau:

ϕ1
ϕ2


2
2
2
2
ds
ds
a
sin
ϕ + b 2 cos 2 ϕ
a sin ϕ + b cos ϕ
a sin ϕ + b cos ϕ
Các số hạng của ma trận [B] trong Biểu thức (1) tính được như sau:

C4

46

2

2

∫

ϕ2 

sin 2 ϕ
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ
cos 2ϕ
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ


 dϕ ;
C6 ds =
−

 GI x ' EI y '  2 2
2
2


 a sin ϕ + b cos ϕ 
ϕ1
ϕ1 

∫

∫

ϕ2

ϕ2 

∫
∫

=
C5 ds

ϕ1

∫

ϕ1  

∫ ( xC6 − yC1 ) ds =∫ − 

ϕ1

ϕ2

ds
∫ ( xC2 − yC6 )=

ϕ1

ϕ2

∫
ϕ

=
yC3ds
1

∫
ϕ

1

ϕ2

 a 3


2

2

2

a sin ϕ + b=
cos ϕ dϕ ; T12

2

2

=
T13

ϕ2

∫ sin
ϕ
1



3

1

1

Đặt tên tích phân cơ sở của các số hạng trong ma trận

a
sin ϕ
b
b
cos ϕ
a
=
+
sin 2 ϕ ; C5
+
cos 2ϕ ;
2
2
2
2
2
2
2
2
EF a sin ϕ + b cos ϕ EI z '
EF a sin ϕ + b cos ϕ EI z '
T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG

+

ϕ1

như sau:

b
a
−
yC3 = sin ϕ ; − xC3 =
cosϕ .
EI z '
EI z '
2

∫  B  ds

1
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;
EI z '

ϕ2

∫

dx
xϕ =
=
−asinϕ ; dx =
−asinϕ dϕ ; dy =
b cos ϕ dϕ ; ds =
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;
( dx )2 + ( dy )2 =
dϕ

b2


ϕ1

ϕ1

C1

b2

 GI x '
ϕ1 

ϕ1

Từ đó tính được:

a
sin ϕ
b
cos ϕ
+
;
2
2
2
2
2
2
GI x ' a sin ϕ + b cos ϕ EI y ' a sin ϕ + b 2 cos 2 ϕ


a − xϕ



2

2

ϕ1

∫

2.2. Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh cong Ellipse

)

ϕ2

=
C1ds

Biểu thức (2) có dạng biểu thức của PP phần tử hữu hạn, biểu thức này được xây dựng từ PP ma trận chuyển,
trong đó [kc]m là ma trận độ cứng (MTĐC) của phần tử thanh cong m trong HTĐ chung. Vận dụng đặc điểm sơ đồ tính
của thanh là dạng tuyến, không phân nhánh, xây dựng được [kc]m, và giải bài toán theo trình tự PP phần tử hữu hạn,
[3].

2

2



ϕ2

∫ cosϕ
ϕ

a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ;

1

S¬ 24 - 2016

47


KHOA H“C & C«NG NGHª
3.2. Ví dụ phân tích bằng PCE-V1 và kiểm chứng bằng SAP 2000

∫ cos ϕ
ϕ
2

a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ dϕ ; T16 =

1

ϕ2

T18 =



sin ϕ cosϕ
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ

dϕ ; T20 =

ϕ2

sin 2 ϕ cos 2ϕ
=
dϕ ; T25
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ

∫ sin ϕ cosϕ

2

∫
ϕ

dϕ ; T23 =

2

sin ϕ
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ
cos3ϕ
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ

ϕ2

a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ

ϕ2

dϕ ; T19 =

a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ

ϕ2

1

∫
ϕ

1

sin 3 ϕ

ϕ2

dϕ ;

dϕ ;

sin 2 ϕ cosϕ
a 2 sin 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ

dϕ ;


0

+

0

a
T14
EI z '

0

0

0

0

 a 2b a 2b 
−


 GI x ' EI y ' 
−
 T22
3
+ b

 EI y '


−

2

a b
T18
GI x '

a2
b2
T17 +
T19
GI x '
EI y '

+

2

ab
T20
GI x '

 ab
ab 
−

T
 EI y ' GI x '  21


−


 GI x ' EI y ' 
−
 T22
3
+ b

 EI y '



−

0

0

a 2b2
T16
GI x '

 ab
ab 
−

T
 EI y ' GI x '  21







0










0











0



D

E

G

J

-12.0

18.0

5.0

5.0

18.0

Py [kN]

14.0

-5.0

-5.0

-9.0

Pz [kN]


-8.0

Px [kN]

2

Hàm trong các tích phân Tm, m = (11 ÷ 25), đều là siêu việt hoặc không thể xác định nguyên hàm nên sử dụng
phương pháp tích phân số Simson, [4], để tính, ta có:

 a2
b2
T17 +
T13

EI z '
 EF
 ab
ab
−
T21 −
T25
EI z '
 EF







b
T12

EI z '


Sử dụng chương trình PEA –V1 tính chuyển vị, ứng lực tại các nút A, B, C, D, E, F, G, H, J và K của thanh cong
phẳng, phương trình trục thanh hình Ellipse, sơ đồ tính Hình 3. Bán trục thanh a = 12 m, b = 8 m. Vật liệu thép có E
= 2,1e+08 kN/m2; G = 0,808e+08 kN/m2. Tiết diện thép hình chữ I tổ hợp kích thước 1500×400×20×10 mm có Ix’ =
2,551e-06 m4; Iy’ = 0,0114 m4, Iz’ = 2,135e-04 m4; F = 0.0306 m2. Trục tiết diện Oz’// trục Oz. Kí hiệu CD là dạng liên kết
ngăn cản chuyển vị, TD là dạng liên kết cho phép chuyển vị.

Tên nút

U

A

C

D

F

G

H

K


TD

TD

-4.0

Uz

CD

CD

CD

CD

CD

CD

CD

-10.0

-9.0

Ωx

CD


TD

-5.0

12.0

Ωz

CD

TD

TD

TD

TD

TD

TD

Dùng PEA - V1 để phân tích chia và kí hiệu phần tử như Hình 4, hệ có 9 phần tử cong, 10 nút. Còn khi dùng SAP
2000 để phân tích hệ chia thành 108 phần tử thẳng, Hình 5. Kết quả phân tích bằng PEA - V1 trình bày trong Bảng 3,
Bảng 5, Bảng 7; phân tích bằng SAP2000 trình bày trong Bảng 4, Bảng 6, Bảng 8.
Bảng 3. Chuyển vị nút trong HTĐ chung, tính theo chương trình PEA - V1
Nút

A


-0,037

0,0

0,195

0,276

0,316

Uy [m]

0,0

-0,005

-0,014

-0,030

-0,005

0,007

0,0

0,140

0,314


-0,009

-0,014

-0,008

0,002

0,005

0,007

-0,089

-0,068

Ωy [rad]

0,0

-0,027

0,003

0,001

-0,004

0,001


Bảng 4. Chuyển vị nút trong HTD chung, tính theo chương trình SAP 2000
Nút

A

B

C

D

E

F

G

H

J

K

U1~Ux [m]

0,0

-0,011

-0,018


0,148

0,330

0,608

U3~Uz [m]

0,0

0,006

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,043

0,0

R1~Ωx [rad]


0,040

0,001

-0,004

-0,019

0,024

0,019

R3~Ωz [rad]

0,0

0,004

0,004

-0,002

0,020

-0,003

-0,006

0,050

-11,49
12,00

Bảng 5. Ứng lực nút trong HTĐ chung, tính theo chương trình PEA - V1
Phần tử

Đầu 1

=
T15

ϕ2

Đầu 2

ϕ2

1
Px [kN]
Py [kN]
Pz [kN]
Mx [kNm]
My [kNm]
Mz [kNm]
Px [kN]
Py [kN]
Pz [kN]
Mx [kNm]
My [kNm]
Mz [kNm]

7,28
2,93
-4,26
-7,31
-13,19
7,43
-7,28
-2,93
4,26
-2,67
-22,94
-49,36

5
25,28
-2,07
6,50
-4,33
36,94
44,36
-25,28
2,07
-6,50
-2,63
2,05
-4,87

6
30,28
-7,07

2,59
17,49
0,00
0,00
0,00
3,45
0,00
0,00
0,00

49


KHOA H“C & C«NG NGHª

Hình 5. Sơ đồ tính Ellipse
trong SAP2000

So sánh thấy trị tuyệt đối của kết quả phân tích được trong các bảng bình quân chênh lệch không quá 2%. Một
số ứng lực nút trong HTĐ riêng trái dấu do quy ước dấu của trục địa phương tương ứng tại nút đó ngược chiều nhau
giữa PEA-V1 và SAP 2000.
Hình 3. Sơ đồ tính thanh

4. Kết luận và kiến nghị

Hình 4. Ký hiệu phần tử thanh

Bảng 6. Ứng lực nút trong HTĐ chung, tính theo chương trình SAP 2000

Đầu 2

12,65
18,05

3
8,52
2,34
-3,85
-13,79
-20,65
-9,05
-8,52
-2,34
3,85
7,41
13,31
-9,53

4
8,52
2,34
-4,32
-7,41
-13,31
9,53
-8,52
-2,34
4,32
-2,71
-23,33
-49,31

31,52
-7,66
3,62
-3,39
5,02
-67,22
-31,52
7,66
-3,62
-15,81
7,65
261,38

8
-18,00
-17,00
0,79
5,81
6,35
-266,38
18,00
17,00
-0,79
-10,57
-9,12
98,72

9
-18,00
-17,00

-260,29
5,55
24,13
-0,72
-3,58
-13,94
98,72

9
-5,55
-24,13
0,55
3,58
13,94
-98,72
12,14
21,58
-0,55
-7,65
-14,42
12,00

0,00
0,00
-3,45
-2,72
17,47
0,00
0,00
0,00


Đầu 1

Phần tử

1
Px [kN]
Py [kN]
Pz [kN]
Mx [kNm]
My [kNm]
Mz [kNm]
Px [kN]
Py [kN]
Pz [kN]
Mx [kNm]
My [kNm]
Mz [kNm]

2
11,07
19,28
7,10
1,21
2,63
-78,53
-20,99
-7,33
-7,10
7,33


5
25,28
-2,07
6,50
-4,33
36,94
44,36
-22,85
11,01
-6,50
-1,72
2,86
-4,87

6
25,72
-17,47
0,50
-1,58
8,05
-3,13
-21,27
22,67
-0,50
-0,06
-6,82
59,19

7

P~Px [kN]
V3~Py [kN]
V2~Pz [kN]
T~Mx [kNm]
M3~My [kNm]
M2~Mz [kNm]

2
12,33
-20,13
-7,15
1,25
-2,77
-81,37
22,05
-8,43
-7,15
-6,62
27,95
-18,05

3
4,01
-7,87
3,85
5,99
24,10
-9,05
5,66
-6,79

3,24
0,10

T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG

6
26,35
18,93
0,63
-1,42
-7,67
8,10
22,45
23,42
0,63
-0,16
-6,06
67,22

7
21,49
24,30
3,62
0,09
-6,06
67,22
-4,54
32,12
3,62
-6,07


0,00
0,00
3,39
2,40
17,22
0,00
0,0
0,0
-3,39
0,0
0,0
0,0

GiÀi ph¾p giäng trñi trong chung cõ...
(tiếp theo trang 31)
Trong các tòa nhà chung cư, giếng trời được thiết kế
ở khoảng giữa của 2 đơn nguyên để tận dụng diện tích,
đón ánh sáng cho các phòng ngủ của căn hộ.
Diện tích giếng trời thường tùy thuộc vào không gian
trong mỗi tòa nhà mà diện tích này có thể điều chỉnh tăng
hoặc giảm cho phù hợp. Giếng trời phải có cửa thoát gió
ở trên nóc, được chiếu sáng trực tiếp không bị che chắn,
tại điểm tiếp xúc với tầng mái nên làm bằng kính sáng,
hoặc cửa tự động đóng mở... để tận dụng tối đa ánh sáng
lọt vào.

T¿i lièu tham khÀo
1. Trần Xuân Đỉnh, Thiết kế nhà cao tầng hiện đại, Nhà xuất
bản xây dựng, 2010.