Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO LÙN TRẮNG
VÀ SAO NEUTRON.
Mã số: CS2002.23.12

Lê Nam - Khoa Vật Lý
5.2002 - 5.2003

I.

Báo cáo tóm tắt .......................................................................................................... 2

II.

Báo cáo tổng kết........................................................................................................ 5

III. Tài liệu tham khảo ................................................................................................... 21

1


I.

BÁO CÁO TÓM TẮT

1. Đặt vấn đề:
Vật lý lỗ đen là một vấn đề rất rộng lớn , trong đó có việc nghiên cứu sự tồn tại của lỗ đen
dưới con mắt của nhà vật lý thiên văn. Để chứng minh rằng trong vũ trụ có tồn tại lỗ đen thì


B. Sau đây là những kết quả đạt được theo nội dung đã thuyết minh đăng ký:
Dựa vào lập luận của Chandrasekhar và Fowler tác giả đã tìm ra biểu thức tính áp suất của hệ
khí điện tử siêu tương đối tính.

Sau đó tìm ra phương trình cân bằng hấp dẫn rồi ghép với biểu thức tính áp
suất của hệ khí điện tử siêu tương đối tính.
Kết quả trên dẫn tới phương trình Lane - Emdem

Với các số liệu hiện nay tác giả đã tìm được khối lượng tới hạn cho sao lùn trắng , mà nhờ
công trình này, Chandrasekhar và Fowler đã nhận được giải Noel Vật lý năm 1983.

Tiếp theo tác giả tìm nghiệm Schwarschild nội cho không thời gian trong ngôi sao. Từ đây
tìm tiếp phương trình cân bằng thủy tĩnh do Oppenheimer - Volkoff tìm ra lần đầu tiên vào
năm 1939.

Sau đó, xây dựng mô hình sao đủ đơn giản để cho ta biết giới hạn cực đại của các sao và kết
quả ta được biểu thức:

3


Vấn đề đặt ra ở đây là tìm cho được giá trị 𝜌 đúng với thực tế. Sự phát của lý thuyết cũng như
thực nghiệm của vật lý hạt nhân tại mật độ cực cao sẽ cho câu trả lời đúng. Rất tiếc là sự hiểu
biết về hệ khí neutron suy biến tạm dừng lại ở giá trị 10.1014g.cm-3.
Từ đây ta tính được

MMax≃ 3,5MSUN - 5,3 MSUN

3. Kết luận.

ta thấy sẽ có nhiều hạt pions xuất hiện tại một độ cực cao. Do hạt pions có spin=0 nên rất có
thể có hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein condensation) và ảnh hưởng của nó
lên khối lượng tới hạn vẫn chưa có lời giải đáp.

II.

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI.

Để tiện việc theo dõi và sử dụng sau này, đề tài chia làm hai phần - Phần đầu sẽ là cơ sở lý
thuyết và những tính toán cụ thể để tìm ra khối lượng cho sao lùn trắng về phương hướng giải
quyết, tác giả tuân theo phương hướng do Chandrasekhar vạch ra. Tuy nhiên, việc tính toán
áp suất của khí điện tử suy biến sẽ dựa trên cách tính trong các tài liệu về vật lý thống kê hiện
nay. Lý do là để sinh viên và giáo viên tiện theo dõi.
Phần hai là tính khối lượng tới hạn cho sao neutron theo phương pháp Oppenheimer-Volkoff
nhưng số liệu cho mật độ khối lượng được lấy theo Shapiro-Teukolsky. Kết quả của tác giả
sẽ khác xa so với Oppenheimer-Volkoff nhưng lại phù hợp với những số liệu gần đây nhất do
Phillips đưa ra vào năm 1999.

5


A. KHỐI LƯỢNG TỚI HẠN CỦA SAO LÙN TRẮNG

Số phận cuối cùng của một ngôi sao phụ thuộc chủ yếu vào khối lượng chứa trong lõi khi
phản ứng nhiệt hạch không còn duy trì áp suất cần thiết để cân bằng với lực hấp dẫn. Tại
trạng thái này ngôi sao phải dựa vào áp suất không bắt nguồn từ phản ứng nhiệt hạch để
chống đỡ với lực hấp dẫn của chính mình. Áp suất này gọi là áp suất khí điện tử suy biến.
Tuy nhiên sự cân bằng thủy tĩnh sẽ trở nên không ổn định nếu lực hấp dẫn được chống đỡ
bởi áp suất của hạt siêu tương đối tính. Nguyên lý chung đó đã áp đặt giới hạn cực đại
cho khối lượng của hệ khí điện tử suy biến.

Hàm phân bố Fermi_Dirac

f(EP ) =

1
0

𝐸𝑃 ≤ 𝐸𝐹
𝐸𝑃 > 𝐸𝐹

EP: năng lượng của điện tử có động lượng p
𝐸𝑃2 =(pc)2 +(mc2)2
EF: mức fermi của hệ khí điện tử suy biến
v: tốc độ của điện tử có động lượng p
𝑉

g(p)dp = 2ℎ 3 4𝜋𝑝2 𝑑𝑝
Sau khi thay cac biểu thức trên vao (2) ta được:

Đặt biến số mới:
𝑝

𝑥= 𝑚𝑐
rồi lại thay vào (3) ta được:

Do hệ của ta là hệ khí điện tử suy biến nên các điện tử sẽ lấp đầy từ mức thấp nhất đến mức
cao nhất nên số điện tử trong hệ sẽ là:

Ta cóhai trường hợp cho khí điện tử suy biến:
a. Khi pF

8


2. Phương trình cân bằng hấp dẫn (gravitational equilibrium)
Lực hấp dẫn là động lực chính cho sự tiến hóa của các ngôi sao. Nó nén vật chất lại và đưa
đến sự hình thành các sao. Ta chỉ chú ý tới sự phân bố có tính đối xứng cầu của vật chất và
tạm thời không chú ý tới chuyển động quay. Xét phần tử khối lượng có mặt cắt như hình vẽ.
Phần tử có diện tích mặt cắt vuông góc với bằng một đơn vị. Ta có áp suất tại r là P. Áp suất
tại mặt ứng với r + dr là P + dP.

Sự thay đổi áp lực lúc này là do lực -dP tác dụng lên phần tử khối lượng ta đang xét theo
hướng tăng của r. (dấu trừ là do lực 𝑫𝑷 ngược vớichiều tăng của𝒓 ). Áp lực này sẽ được cân
bằng bởi lực hút hấp dẫn xuất phát từ khối lượng M(r) của khối cầu lên phần tử khối lượng
đang xét là 𝝆𝒅𝒓. Theo định luật Newton lực đó sẽ bằng:

Do hệ đang xét nằm tại trạng thái cân bằng nên

(12)

9


Ta có thể biến đổi (12) thành dạng rất gọn như sau:

Phương trình này có tên phương trình cơ bản của cân bằng hấp dẫn. Phương trình này liên
quan đến hai ẩn số là P và ρ. Ta có thể chuyển thành phương trình của một hàm chưa biết
bằng cách giả định rằng tồn tại mối liên quan không phức tạp giữa P và ρ và mối liên hệ này
đúng cho toàn bộ ngôi sao. Áp suất P do khí điện tử suy biến trong sao đóng góp và được tính
theo công thức (11)

đến ξ1 mà thôi.
Khi phản ứng nhiệt hạch chấm dứt, nhiệt độ trong lõi ngôi sao giảm dần và nó sẽ co lại do lực
hấp dẫn của chính mình vì áp suất nhiệt động không đủ sức chống lại lực hấp dẫn. Lúc này áp
suất của khí điện tử suy biến sẽ phát huy vai trò của mình trong việc duy trì sự cân bằng với
lực hấp dẫn. Tuy vậy, nếu khối lượng của sao tăng sẽ làm lực hấp dẫn mạnh lên làm thể tích
sao nhỏ lại dẫn tới việc tăng mật độ khối lượng. Khí điện tử suy biến sẽ từ không tương đối
tính trở nên tương đối tính và trạng thái giới hạn sẽ là siêu tương đối tính. Trạng thái này xảy
ra khi x>>l hay
𝑃𝐹
≫ 1 ⟹ 𝑃𝐹 ≫ 𝑚𝑐
𝑚𝑐
m: khối lượng của điện tử
Trường hợp này ứng với γ = 4/3 hay ứng với n = 3. Với n = 3 phương trình Lane_Emdem cho
ta kết quả :

Thay vào (21) ta được

11


Nếu lõi sao chứa toàn Helium thì μe = 2. Ta có khối lượng tới hạn của sao
là:
Mtới hạn=Mchan = 1,43 MSUN
Nếu lõi sao chứa toàn là sắt thì μe= 2,17. Khối lượng tới hạn lúc này sẽ là:
Mtới hạn= Mchan = 1,4 MSUN
Khi khối lượng lõi sao đạt giá trị Chandrasekhar thì điện tử trở nên siêu tương đối tính,
mật độ sẽ đạt giá trị vô cùng lớn còn bán kính sẽ tiến về zero. Vậy những ngôi sao mà áp suất
của khí điện tử suy biến đóng vai trò chính trong việc duy trì sự cân bằng với lực hấp dẫn của
chính nó thì khối lượng của nó không thể vượt quá Mtới hạn
Chandrasekhar là người đầu tiên tìm ra khối lượng cực đại cho sao lùn trắng (ông nhận

giá trị tới hạn nào đó. Tuy vậy ta cần chú ý tới một số khác biệt sau :
- Tại mật độ rất cao ta phải tính đến sự tương tác giữa các hạt neutron.
- Trường hấp dẫn trong sao rất mạnh nên phải thay thế thuyết hấp dẫn Neutron bằng
thuyết hấp dẫn Einstein để mô tả sự cân bằng của hộ các neutron trong trường hấp dẫn.
- Mặc dù có sự khác nhau quan trọng trên nhưng nó không hề ảnh hưởng tới việc tồn
tại khối lượng tới hạn của sao neutron. Ảnh hưởng chính của sự khác biệt trên là ở chỗ nó
làm cho sự tính toán khối lượng tới hạn trở nên vô cùng khó khăn và vì vậy cho tới ngày nay
vẫn chưa tìm ra một giá trị chính xác cho khối lượng tới hạn.
Giá trị chính xác khối lượng cực đại của sao neutron đóng vai trò chủ đạo trong việc
tìm kiếm lỗ đen của các nhà thiên văn. Khối lượng của các thành viên trong hệ sao đôi có thể
được xác định nhờ vào sự quan sát chuyển động tương đối giữa chúng. Nếu một trong số hai
thành viên của hệ sao đôi là vật thể nén không nhìn thấy có khối lượng lớn hơn khối lượng
cực đại lý thuyết của sao neutron thì gần như chắc chắn nó là lỗ đen.

13


1 - Hệ khí neutron suy biến và khối lượng tới hạn của sao neutron
Lõi sao còn sót lại sau vụ nổ Supernova sẽ tiếp tục co lại nếu khối lượng của nó lớn
hơn khối lượng Chandrasekhar. Lõi sao co lại làm mật độ tăng lên và khi mật độ đạt giá trị cỡ
l010 g.cm-3 thì phản ứng beta ngược sẽ xảy ra. (e- + p→ n + v). Kết quả này làm giảm mật độ
điện tử kéo theo sự giảm áp suất của khí điện tử suy biến làm sao tiếp tục co lại. Sự bức xạ
neutrino trên cũng sẽ làm nhiệt độ của lõi sao giảm từ 1011K xuống 109K. Đây là nhiệt độ rất
cao nhưng so với mật độ vật chất trong sao neutron thì đây lại là tiêu chuẩn "lạnh" cho hệ khí
neutron. Tính toán cho thấy nhiệt độ Fermi của hệ cỡ 1013K trong khi nhiệt độ trong lõi sao
neutron cỡ l09 - 1010K. Khi mật độ đạt tới giá trị cỡ 4.l011 g.cm-3 thì hầu như các điện tử tự do
đều kết hợp với proton để cho ta neutron và neutrino. Khi mật độ khối lượng vượt qua giá trị
trên thì một hiện tượng mới xuất hiện gọi là giọt neutron - neutron drip - Đây là một hỗn hợp
gồm toàn neutron với một số ít điện tử và proton cùng tồn tại trong trạng thái cân bằng. Lúc
này phản ứng phân rã beta trừ n → p + e- + 𝒗bị cấm do hệ đang ở trạng thái cân bằng nên các

những hệ vật lý thuyết thật nhưng ít phức tạp nhất.
Ta xây dựng mô hình sao tương đối tính như sau:
- Sao có tính đối xứng cầu, tĩnh và bỏ qua sự quay.
- Sao được cấu tạo bởi chất lưu lý tưởng - Perfect fluid. Điều này có nghĩakhông có ứng
suất xoắn - ứng suất cắt - Shear stress.
Mô hình trên được xét trong không - thời gian được mô tả bởi phương trình Einstein mà
nghiệm đơn giản nhất là nghiệm Schwarzschild. Do sao có tính đối xứng cầu nên ta chọn yếu
tố độ dài dưới dạng sau:

Do ta xét quá trình tĩnh nên Φ và Λ chỉ là hàm của r từ (1) ta tính được tenxơ Einstein

(Cách tính Gab được trình bầy chi tiết trong luận văn tốt nghiệp : nghiệm Schwarzschild gvhd: Lê Nam- SVTH : Nguyễn Nhị Hà)
Do vật chất trong sao được lý tưởng hóa thành chất lỏng lý tưởng nên ta có các thông số sau:
𝜌 = 𝜌(r)- mật độ khối - năng lượng của chất lỏng tính trong hệ quy chiếu chuyển động cùng
với chất lỏng.
p = p(r) - áp suất đẳng hướng tính trong hệ quy chiếu trên

15


Tab = (ρ + p ) uaub + pgab - tenxơ năng - sức căng của chất lỏng
(Stress - energy tensor of fluid)
Để cho sao là tĩnh thì các phần tử của chất lỏng phải luôn đứng yên trong hệ quy
chiếu tĩnh. Nói cách khác là phần tử của chất lỏng phải chuyển động theo đường world-line
với r, θ, ϕ là const.
nghĩa là ur = uθ = uϕ = 0
Do 𝒖 . 𝒖 = gabuaub = -1 nên ta suy ra 𝒖𝒕 = 𝒆−𝚽
Vậy cấu trúc của sao được mô tả bởi 𝒆𝟐𝚽 , 𝒆𝟐𝚲 , ρ , p và các đại lượng này liên hệ với nhau
bởi hai phương trình sau:
1- Phương trình Einstein có tính đến vật chất sinh ra trường

Thay lại vào (10) và tích phân ta được

Thay tiếp (3) và vào (4) ta được
Ta tính 𝚽 / và chú ý tới (11) . Kết quả ta được

Ghép (8) với (14) vào ta được

Phương trình này gọi là phương trình cân bằng thủy tĩnh tương đối tĩnh do oppenheimer Volkoff tìm ra vào năm 1939 (relativistic equation for hydrostatic equilibrium)



Bước 3:

Mô hình sao tương đối tính sẽ thỏa mãn các phương trình sau:
1 / Vùng không - thời gian bên ngoài sao là không - thời gian Schwarzschild.

2/ Phương trình tính khối lượng sao.

17


3/Phương trình cân bằng thủy tĩnh Oppenheimer – Volkoff

Với áp suất tại tâm sao p(r = 0) = pc
4/ Phương trình liên hệ giữa 3 đại lượng Φ, m, p

Mô hình sao ta vừa thiết lập ở trên là lý tưởng và một ngôi sao như vậy có khả năng
tồn tại hoặc cũng có thể không tồn tại. Điều cơ bản nhất là ở chỗ nó đủ đơn giản để cho ta
biết giới hạn cực đại của sao.



𝜌 = 4.1014g.cm-3 ⇒ Mmax ≈ 5,7MSUN
𝜌 = 4,6.1014g.cm-3 ⇒ Mmax ≈ 5,3MSUN
𝜌 = 10.1014g.cm-3 ⇒ Mmax ≈ 3,5MSUN
Với hệ khí neutron suy biến có khối lượng bằng 1,5 khối lượng mặt trời thì ta tính
được bán kính của hệ khí neutron suy biến và mật độ vật chất của hệ. Giá trị cụ thể là:
R ≈ 11km
;
𝜌 = 4.1014g.cm-3
Đây cũng là mật độ trung bình của sao neutron ổn định. Từ đây suy ra hai cách chọn
mật độ cực đại của sao neutron
- Một là ta chọn 𝜌𝑚𝑎𝑥 = hai lần mật độ hạt nhân trong nguyên tử
= 4,6.1014g.cm-3
Nếu ta chọn

19


- Hai là ta chọn 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 10.1014g.cm-3 vì đây là giới hạn cho sự hiểu biết của chúng ta
về hệ khí neutron suy biến. Cao hơn giá trị này thì các lý thuyết hiện nay không áp dụng
được.
Vậy nếu ta cho rằng sao neutron chỉ ổn định khi mật độ vật chất của sao nhỏ hơn
14
4,6.10 g.cm-3 và nếu mật độ vật chất của sao lớn hơn giá trị trên thì sao không nằm tại trạng
thái cân bằng nữa mà nó sẽ tiếp tục co lại do hấp dẫn thì ta có
Mmax = 5,3MSUN
(27)

Kết luận:
Ta đã sử dụng 2 phương pháp không được tinh tế lắm để tìm được khối lượng cực đại

Cambridge UK
9/ Shapiro and Teukolsky (1983), Black Holes, White Dwarts, neutron Stars, john Wiley New York.

21