KHAI THÁC T BÌNH PH NG C AỪ ƯƠ Ủ
T NG VECT D NGỔ Ơ Ạ
( )
2
0MA MB MC+ + ≥
uuur uuur uuuur
NGUYỄN LÁI
GV THPT chuyên Lương Văn Chánh
Xét bất đẳng thức (BĐT):
2
( ) 0MA MB MC
+ + ≥
uuur uuur uuuur
(*) trong đó M là một điểm tuỳ ý nằm trong mặt
phẳng chứa tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, BA = c. Đẳng thức xảy ra khi M
≡
G (trọng
tâm tam giác). Ta khai thác BĐT trên theo hai hướng tích vô hướng sau
A/ SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG :
( )
2 2
2
2 .u v u v u v= + − −
uur ur uur uur
r r
.
Tacó:
0)(
2
≥++
MCMBMA

sin sin sin
4
A B C
+ + ≤
. (2). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
+ Áp dụng BĐT Bunhiacovski ,từ (1) có
3
1
(a+b+c)
2

≤
a
2
+ b
2
+ c
2
≤ 9R
2

⇒
3
1
(a+b+c)
2
≤ 9R
2
⇒ 4R
2

a b c
R
h h h S
 
+ + ≤
 ÷
 
. (6) ;
2 3 3p R
≤
. (7) :
2 3 3 .S R r≤
(8)
sinBsinC (1 – cosA) + sinCsinA (1 – cosB) +sinAsinB (1 – cosC)
≤
8
9
. (9)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
trong đó S, p ,R, r ,ha, hb, hc

là diện tích,nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp ,độ
dài các đường cao phát xuất từ đỉnh A,B,C của tam giác ABC.
II/ Khi M ≡ I : (tâm đường tròn nội tiếp tam giác, bán kính r).
Từ (*):
( )
222222
3 MCMBMAcba
++≤++
⇒ a

; IC =
2
sin
C
r
.

Thay IA, IB, IC các biểu thức trên vào (10)
I
B
C
A
E

⇒













++≤++
2

CBA
++
≥++
( )
2
2
2
3
2
9






=
++
≥
r
p
r
cba
.

2
2 2 2
1 1 1 2
3
sin sin sin

vào (10)
⇒
2(a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 3p
2
– 9r
2
. (12). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
+Tiếp tục khai thác trong mọi tam giác ABC ta luôn có
cotgA + cotgB + cotgC
≥

3 3
8
p r
r p
 
−
 ÷
 
. (12);
2 2 2
6 3p R r≤ +
. (13)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

2
, GB =
b
m3
2
, GC =
c
m3
2
vào (14) ta có đẳng thức
2 2 2
a b c
m m m+ +
=
( )
2 2 2
3
4
a b c
+ +
. (15)
+ Ta có a
2
+ b
2
+ c
2
≤ 9R
2
;

a b c
m m m R
≤
. (17)
+Từ (15) ta có :
( )
( ) ( )
22222222
2222
4
27
sinsinsin3
4
3
3
1
RCBARcbammmmmm
cbacba
≤++=++=++≤++

⇒ ma + mb + mc ≤
R
2
9

Rmmmmmm
cbacba
29111
≥
++

+ HC
2
). (19)
+Giả sử tam giác ABC có ba góc nhọn.
Vì tam giác ABC nhọn nên trực tâm H nằm trong tam giác ABC.
Giả sử A’, B’, C’ là chân các đường cao AH, BH, CH xuống các cạnh BC, AC, AB
Xét tam giác HA’C vuông tại A’ ta có

.cos2
sin
cos.
sin
'
'sin
'
CR
B
CAC
B
CA
CHA
CA
HC
====
Tương tự ta cũng có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC
Thay các giá trị HA, HB, HC vào (19) ta có a
2
+ b
2
+ c

2
C)

⇒
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≥
2
3
p
R
 
 ÷
 
(20). Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
+Ta có S=
cba
chbhah
2
1
2
1
2
1
==


2
+ HB
2
+ HC
2
)
⇒

)(3)
111
(4
222
222
2
HCHBHA
hhh
S
cba
++≤++
⇒
)(3
111
3
4
222
2
2
HCHBHA
hhh
S

’
, B
’
, C
’
, là chân đường cao AH, BH, CH lần lượt xuống các
cạnh BC, CA, AB ta có:
ABC BHC CHA AHB
S S S S= + +

⇒

1=++
ABC
AHB
ABC
AHC
ABC
BHC
S
S
S
S
S
S

⇒

1
'

2
≥ (a
2
+ b
2
+ c
2
)( HA
2
+ HB
2
+ HC
2
) ≥ (aHA + bHB +cHC)
2
= 16S
2
⇒ HA
2
+ HB
2
+ HC
2
≥
4
3
S
. (22). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Mời các bạn tiếp tục khai triển (*) theo hướng
B/ SỬDỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG DẠNG:

+Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
sin sin sin sin sin sin
2 2 2 2 2 2
(24)
A B C A B C
 
 ÷
+ + ≥ + +
 ÷
 ÷
 
+Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau, trong đó A, B, C là 3 góc của một tam giác .
( )
2 2 2
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
sin sin sin
2 2
25
2
A B C
A B C
 
 ÷
 
+ + + +

; IC =
2
sin
C
r
. C
Và chú ý:
2
sin.)
2
90cos(.)
2
180cos(.cos..
00
C
IBIA
C
IBIA
BA
IBIAAIBIBIAIBIA
−=+=
+
−==
Tương tự:
ICIB.
=
2
sin.
A
ICIB







++≤
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
2
sin
1
2

≥++
CBA












++
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2

sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
BA
C
CA
B
CB
A












2
sin
1
2
sin
1
2
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
1
222
CBACBA
(đpcm)
Đẳng thức xãy ra khi tam giác ABC đều .
Lời giải (25)
Nhân 2 vế của BĐT (24) cho






++
2

2
sin
1
2
sin
1
2
sin
2
sin
2
sin
222
CBA
CBA












++≥
2
sin

1
2
sin
1
2
sin
1
2
sin
2
sin
2
sin
222
=












++



2
B + sin
2
C ≤ 3. (28)
Lời giải

Gọi A
’
, B
’
, C
’
, lần lượt là trung điểm BC, CA, AB
và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác,vì tam giác
nhọn nên O nằm trong tam giác ABC ta có:
0 ≤
( )
2
'''
OCOBOA
++
⇔ ( OA
‘2
+ OB
‘2
+ OC
‘2
)
2
≥ 2 OB

C ≤ 3 (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều.
*Bài toán trên cần chứng minh: cosA.cosB.cosC
≤

1
8
và sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C
≤

9
4

rồi suy ra kết quả trên thì không thể ngắn hơn.
Trong khi khai thác BĐT tưởng chừng đơn giản
2
( ) 0MA MB MC+ + ≥
uuur uuur uuuur
chúng ta lại “khám phá”
ra cách giải bài này. Điều đó chứng tỏ toán học rất lạ! Toán học có ở quanh ta, mong các bạn
tiếp tục khai thác bình phương của một tổng Vectơ khác để “khám phá” ra điều mới, hấp dẫn
hơn ./.
O
A