BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ THỊ HẢI LÊ

SỬ DỤNG MÔ THỨC VÀ KHÔNG GIAN LÀM VIỆC
HÌNH HỌC ĐỂ PHÂN TÍCH KHÓ KHĂN CỦA HỌC
SINH VÀ QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VỀ DẠY
HỌC HÌNH HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2015

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả



MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA .................................................................................................. i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. ii
LỜI CÁM ƠN ....................................................................................................... iii
MỤC LỤC.............................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................ 3
LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. 4
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 7
1.1. Vị trí của bộ môn Hình học trong chương trình phổ thông ............................. 7
1.2. Sơ lược về dạy học hình học ở bậc trung học................................................. 8
1.3. Kiến thức toán của giáo viên trong việc dạy hình học .................................... 8
1.4. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học .................................. 9
1.4.1. Nguồn gốc những khó khăn của học sinh trong việc học hình học ........... 9
1.4.2. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học .......................... 10
1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề ................................................................................ 10
Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................ 11
2.1. Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học................................ 11
2.2. Hình học từ một tiếp cận nhận thức ............................................................. 14
2.3. Mô thức và mô thức hình học ...................................................................... 16
2.3.1. Khái niệm mô thức ................................................................................ 16
2.3.2. Mô thức hình học .................................................................................. 16
2.3.3. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học ................................................ 18
2.4. Không gian làm việc hình học ..................................................................... 18
2.4.1. Khái niệm về không gian làm việc hình học .......................................... 18
2.4.2. Các loại không gian làm việc hình học .................................................. 21
2.5. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele ....................... 22
2.6. Câu hỏi nghiên cứu...................................................................................... 22
2.7. Kết luận chương 2 ....................................................................................... 23
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU............................................................... 24

5.2. Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 57
PHỤ LỤC............................................................................................................. P1

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Hình học I

Natural geometry (hình học tự nhiên)

Hình học II

Natural axiomatic geometry (hình học tiên đề
tự nhiên)

Hình học III

Formal axiomatic geometry (hình học tiên đề
hình thức)

GWS

Geometric work space (không gian làm việc
hình học)

3





hoạch điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp để giúp học sinh vượt qua các
khó khăn khi học hình học.
Vì vậy nghiên cứu về vấn đề sử dụng mô thức và không gian làm việc hình
học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học hình
học là một đề tài có tính cấp thiết, khoa học và ý nghĩa. Trong nghiên cứu này,
chúng tôi hướng đến các mục tiêu sau:
 Phân tích các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một bài toán
hình học. Nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn và cách giáo viên xử lý
các khó khăn này.
 Phân tích quan niệm của giáo viên về dạy học hình học ở phổ thông.
 Tìm hiểu các mô thức hình học được giáo viên sử dụng dạy trong lớp học,
các không gian làm việc hình học cá nhân của giáo viên.
Cấu trúc luận văn bao gồm 5 chương:
 Chương 1: Đặt vấn đề. Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về
việc dạy học hình học ở bậc phổ thông, các kiến thức toán trong việc dạy
hình học và các khó khăn của học sinh trong việc học hình học. Từ đó chúng
tôi đặt ra một số vấn đề cho nghiên cứu này.
 Chương 2: Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi đã điểm bình qua
một vài nghiên cứu liên quan đến dạy học hình học, làm rõ các khái niệm
mô thức hình học và không gian làm việc hình học, cũng như mối quan hệ
giữa chúng.
 Chương 3: Thiết kế nghiên cứu. Chương này trình bày về ngữ cảnh và
phương pháp nghiên cứu. Chúng tôi giới thiệu nội dung bảng hỏi, phiếu học
tập, phân tích tiên nghiệm các nội dung trong bảng hỏi, phiếu học tập.
 Chương 4: Kết quả nghiên cứu. Trong chương này, chúng tôi phân tích các
kết quả của phiếu học tập và bảng hỏi. Đối với phiếu học tập chúng tôi phân
loại theo ba hướng: lời giải bài toán dựa trên mô thức Hình học II, lời giải
bài toán dựa trên mô thức Hình học I và lời giải bài toán dựa trên việc kết nối

học. Ngoài ra, các kiến thức về hình học còn hỗ trợ học sinh học tập các môn học
khác như khoa học, địa lý, nghệ thuật, thiết kế và công nghệ…Việc học hình học
góp phần giúp học sinh phát triển các kỹ năng như trực quan, tư duy phê phán, trực
giác, suy đoán, giải quyết vấn đề, lập luận suy diễn, lập luận và chứng minh logic…
Do đó việc dạy, học hình học là rất quan trọng trong chương trình phổ thông, học
sinh cần nắm được các kiến thức hình học và đạt được các kỹ năng cơ bản trong khi
học hình học.
Bộ môn hình học đóng một vai trò hết sức quan trọng trong chương trình
giảng dạy phổ thông. Tuy nhiên, từ thực tiễn cho thấy rằng học sinh gặp rất nhiều
khó khăn để có thể hiểu và học tốt bộ môn hình học. Điều này đặt ra thách thức rất
lớn cho các giáo viên trong việc giảng dạy, các giáo viên cần phải hiểu rõ bản chất
của các khó khăn mà học sinh mắc phải khi học hình học, đồng thời xây dựng cho
mình một phương pháp giảng dạy hình học phù hợp để có thể giúp đỡ học sinh vượt
qua các căng thẳng trong việc học hình học.

7


1.2.Sơ lược về dạy học hình học ở bậc trung học
Theo Kuzniak (2011, [17]) một trong những mục tiêu chính của việc dạy
hình học là bảo đảm rằng các học sinh hoàn thành việc xây dựng không gian làm
việc hình học phù hợp và hiệu quả của riêng mình. Sau đó, học sinh có thể hiểu và
giải các bài toán hình học bằng cách sử dụng không gian làm việc này. Tuy nhiên,
lời giải của bài toán phụ thuộc vào các mô thức hình học khác nhau liên quan đến
các thể chế khác nhau - các quốc gia - nơi hình học được giảng dạy. Từ sự đa dạng
của các mô thức hình học dẫn đến một sự đa dạng rất lớn của không gian làm việc
hình học: điều này giải thích một số lượng lớn các khó khăn và sai lầm của học sinh
trong việc học hình học.
Hiện nay, việc dạy học hình học ở bậc trung học chủ yếu tuân theo mô thức
Hình học II – hình học Euclid cổ điển. Một chứng minh hình học trong mô thức này

học hình học.
1.4. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học
1.4.1. Nguồn gốc những khó khăn của học sinh trong việc học hình học
Theo các giáo viên trung học ở Pháp thì nguồn gốc của những khó khăn hay
hiểu lầm của học sinh trong hình học có bản chất ở khía cạnh tri thức luận và dạy
học. Dựa trên khái niệm chướng ngại tri thức luận của Bachelard (1938, [1]),
Brousseau (1997, [3]) đề xuất rằng việc học toán học có thể bị cản trở bởi ba loại
chướng ngại được phân biệt bởi nguồn gốc của chúng: cá thể, tri thức luận và dạy
học. Hai thuật ngữ đầu đề cập đến các khả năng hoặc sự hiểu biết của học sinh, và
thuật ngữ cuối liên quan nhiều hơn đến những sự lựa chọn về phương pháp dạy học
mà giáo viên thực hiện trong một hệ thống giáo dục. Trong khi các chướng ngại tri
thức luận là không thể tránh khỏi do vai trò định hình của nó trong tri thức mới sắp
được học, các chướng ngại về dạy học có thể được hình thành như là kết quả của
việc lựa chọn phương pháp tổ chức dạy học đặc thù của từng giáo viên hoặc từ việc
thiếu hiểu biết của giáo viên về khả năng nhận thức của học sinh.
Các vấn đề thuộc về khía cạnh dạy học cũng có thể xuất hiện khi học sinh
không thực hiện công việc hình học chính xác như giáo viên mong đợi, cho dù học
sinh nghĩ rằng công việc này hợp lệ. Cụ thể, sự hiểu lầm xảy ra khi quan điểm của
học sinh về những gì học sinh cần phải làm đi chệch khỏi các mong đợi của giáo
viên. Ví dụ, trong thực hành, khi học hình học, học sinh thường mất nhiều thời gian
để vẽ các hình hình học chính xác, trong khi đối với giáo viên, chúng đơn thuần chỉ
là các công cụ hỗ trợ về mặt trực quan.
9


1.4.2. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học
Việc học toán ở nhà trường cung cấp cho học sinh một “thế giới toán học”,
trong lĩnh vực hình học, “thế giới hình học” có đặc trưng cơ bản là khiến cho một
sự trừu tượng gần với thực tế. Vì vậy, hình hình học, hoàn toàn được xác định bởi
định nghĩa của nó, phải đối mặt với một hình vẽ, là cơ sở để định nghĩa. Điều này

2.1. Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học
Lý thuyết Van Hiele có nguồn gốc từ luận án tiến sĩ của Dina Van HieleGeldof và chồng bà là Pierre Van Hiele tại đại học Utrecht, Hà Lan vào năm 1957.
Đặc trưng nổi bật nhất của lý thuyết này là sự phân biệt 5 cấp độ nhận thức đối với
sự phát triển nhận thức hình học của học sinh.
Theo lý thuyết Van Hiele (1986, [21]), lý do chính của việc dạy học hình học
truyền thống thất bại ở các trường trung học là vì chương trình giảng dạy được trình
bày theo một cấp độ cao hơn so với khả năng của học sinh. Nói cách khác, học sinh
không thể hiểu được giáo viên cũng như giáo viên không hiểu tại sao học sinh lại
không hiểu! Mặc dù lý thuyết Van Hiele phân biệt sự khác nhau giữa 5 cấp độ nhận
thức nhưng chúng ta chỉ tập trung vào 4 cấp độ đầu tiên vì chúng thích hợp cho hình
học ở cấp độ tiểu họcvà trung học. Các đặc trưng của mỗi cấp độ được trình bày
như sau:
 Cấp độ 1: Nhận biết - trực quan
Học sinh có khả năng nhận ra, gọi tên, so sánh các hình hình học cơ bản
theo hình dạng bên ngoài bằng cách so sánh chúng với các hình vẽ mẫu, đo đạc
các yếu tố liên quan đến một hình (góc, cạnh…). Ở cấp độ này, học sinh chưa xác
định được tính chất của các hình và đưa ra quyết định chỉ dựa vào trực giác, không
phải dựa vào suy luận. Chẳng hạn, ở cấp độ này, khi giáo viên mô tả các hình thoi,
chữ nhật, hình vuông, học sinh có thể vẽ lại chúng trên bảng, học sinh nhận ra
hình vuông và hình chữ nhật là khác nhau nhưng chưa thể nhận ra hình thoi cũng
là một hình bình hành…
 Cấp độ 2: Phân tích
Ở cấp độ này, học sinh xem một hình như là tập hợp các tính chất (lớp các
hình). Học sinh có khả năng nhận ra và mô tả tính chất các hình cơ bản, nhưng
không thấy được mối quan hệ giữa các tính chất này. Học sinh có thể phân tích các
hình theo các thành phần của chúng và khám phá tính chất của các hình bằng thực
11


nghiệm (gấp, đo đạc, sử dụng tọa độ ô vuông…). Khi mô tả một hình, học sinh có



tập con các tính chất trực quan của các hình, dẫn đến việc khó khăn trong phân biệt
các hình. Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt tam giác và tứ giác, nhưng khó khăn
trong phân biệt hình thoi với hình bình hành.
Theo lý thuyết Van Hiele, lập luận suy diễn xuất hiện lần đầu ở cấp độ 3 khi
mạng lưới các mối quan hệ logic giữa các tính chất được thiết lập. Ở cấp độ 1 và 2,
học sinh chỉ có thể trải nghiệm một chứng minh như một nỗ lực nhằm xác minh kết
quả. Tuy nhiên, vì học sinh không nghi ngờ tính hợp lệ của các quan sát thực
nghiệm nên trải nghiệm mà học sinh hướng tới là vô nghĩa. Ngoài ra, cần lưu ý rằng
quá trình chuyển đổi từ cấp độ 1 lên cấp độ 2 đặt ra vấn đề đặc biệt cho người học
sử dụng ngôn ngữ thứ 2 vì nó đòi hỏi sự tiếp nhận các thuật ngữ chuyên môn để mô
tả và khám phá các tính chất của các hình.
Bên cạnh việc cung cấp một cái nhìn sâu sắc trong tư duy, cụ thể cho từng
cấp độ tư duy hình học, Van Hiele đã xác định một số đặc trưng chung của lý thuyết
này. Các tính chất này đặc biệt quan trọng đối với nhà giáo dục bởi vì chúng cung
cấp hướng dẫn để đưa ra quyết định giảng dạy:
 Tính chất 1: Học sinh không thể ở cấp độ nhận thức n mà chưa đi qua cấp độ
n – 1.
 Tính chất 2: Mỗi cấp độ liền sau đều cao hơn cấp độ liền trước về bản chất
lập luận.
 Tính chất 3: Mỗi một cấp độ tương ứng với một ngôn ngữ, ký hiệu và hệ
thống các quan hệ riêng.
 Tính chất 4: Hai học sinh lập luận ở trong hai cấp độ khác nhau thì không thể
« hiểu nhau ».
 Tính chất 5: Quá trình chuyển từ một cấp độ sang cấp độ cao hơn ở học sinh
đòi hỏi nhiều thời gian, chủ yếu phụ thuộc vào các trải nghiệm dạy học mà
học sinh được tiếp nhận, hơn là vào tuổi tác của học sinh.
Theo lý thuyết Van Hiele, học sinh tiến bộ qua mỗi cấp độ tư duy thông qua
việc học được tổ chức thành 5 bước kiểu kiến tạo:


Quá trình sử dụng các công cụ để dựng các mô hình.

◦

Thước kẻ, compa, gấp hình, phần mềm… là các công cụ dựng hình
chủ yếu.

Ở đây cần phân biệt hai khái niệm quan trọng là hình vẽ và hình hình học:
Hình vẽ
Đối tượng vật chất cụ thể được vẽ

Hình hình học
Một hình phản ánh một đối tượng lý
thuyết được biểu diễn

Hình vẽ biểu diễn một hình hình học Hình được lập nên từ các đối tượng
hoặc một đối tượng vật lý

hình học (điểm, đường thẳng…) và các
tính chất giữa chúng

Hình vẽ không thuộc không gian hình Thuộc về không gian hình học
học
14


 Suy luận (reasoning)
◦




1. Ba loại quá trình nhận thức phải được phát triển riêng biệt.
2. Công việc phân biệt sự khác nhau giữa quá trình trực quan hóa và quá
trình suy luận là cần thiết trong chương trình giảng dạy.
3. Việc phối hợp ba loại quá trình chỉ thực sự có thể xảy ra sau khi thực hiện
việc phân biệt.
2.3. Mô thức và mô thức hình học
2.3.1. Khái niệm mô thức
Khái niệm mô thức (paradigm) được Thomas Samuel Kuhn giới thiệu trong
tác phẩm The structure of scientific revolutions (1962, 1966), một trong những tác
phẩm khoa học được trích dẫn nhiều nhất thế kỷ XX. Theo Kuhn (1966, [11]), thuật
ngữ mô thức đại diện cho toàn bộ tập hợp các niềm tin, giá trị, kỹ thuật, thực
hành… được chia sẻ bởi các thành viên trong một cộng đồng khoa học.
Khái niệm mô thức mở rộng khái niệm lý thuyết và liên kết nó với sự tồn
tại của một cộng đồng các cá nhân cùng chia sẻ một lý thuyết chung. Một mô
thức là những gì các thành viên của một cộng đồng khoa học chia sẻ và một cộng
đồng khoa học bao gồm những người chia sẻ cùng một mô thức (Kuhn, 1966, tr.
180, [11]).
Khi mọi người chia sẻ cùng một mô thức chung, họ có thể giao tiếp với nhau
rất dễ dàng và theo một cách rõ ràng. Ngược lại, khi họ ở trong những mô thức khác
nhau, những sự hiểu lầm có thể thường xuyên xảy ra. Chẳng hạn, các hình vẽ được
sử dụng như thế nào trong hình học phụ thuộc vào mô thức hình học nào được chấp
nhận: sử dụng các hình vẽ để chứng minh một tính chất hình học bằng cách đo đạc
nhiều lúc không được chấp nhận.
2.3.2. Mô thức hình học
Theo quan điểm nhận thức luận của Gonseth (1945-1955, [6]), ba mô thức
hình học sau đây được đưa ra bởi Houdement & Kuzniak (1999; 2003, [8], [9]) để
tổ chức sự tương tác giữa trực giác, suy diễn và lập luận. Ba mô thức hình học lần
lượt được gọi là Hình học I (Hình học tự nhiên), Hình học II (Hình học tiên đề tự

luận logic hình thức là chủ đạo trong mô thức hình học này. Hình học Euclide trừu
tượng, hình học phi Euclide, hình học affine… là các ví dụ về Hình học III. Ta có
thể xem Hình học III như là « hình học ở cấp độ đại học ».

17


2.3.3. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học
Theo Houdement & Kuzniak (2003, [9]), mối quan hệ giữa các mô thức hình
học được trình bày trong bảng sau:
Hình học I
Trực giác

Trải nghiệm

Suy diễn

Kiểu không gian

Hình học II

Cảm giác, gắn với tri
giác, trải nghiệm

Gắn với các hình
Gắn với một sơ

Gắn với đo đạc

đồ của thực tế

Sơ đồ của một
Vai trò

Đối tượng nghiên cứu

của hình vẽ

(và chứng minh)

Hỗ trợ lập luận

khái niệm lý
thuyết, công cụ
thử nghiệm

Khía cạnh ưu tiên

Thực chứng và tạo

Tính chất và

dựng hình

chứng minh

Chứng minh và
mối liên hệ giữa
các đối tượng

Bảng 2.1. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học (Houdement & Kuzniak, 2003, [9])

Chứng minh
Dựng hình

Không gian thực

Mô hình lý thuyết
Công cụ

Hình 2.2. Không gian làm việc hình học (Kuzniak, 2012, [14])
19


 Mức độ thành phần bao gồm ba yếu tố sau đây:
 Một không gian có tính địa phương và thực.
 Một tập hợp các công cụ, chẳng hạn như các công cụ vẽ hoặc phần mềm.
 Một mô hình lý thuyết tham chiếu dựa trên các định nghĩa và tính chất.
Trong đó:
 Không gian địa phương và thực phụ thuộc vào từng mô thức hình học
◦

Đối với Hình học I, đó là các hình vẽ, hình mẫu thực.

◦

Đối với Hình học II, đó là các hình hình học.

◦

Đối với Hình học III, đó là các đối tượng trừu tượng (điểm, đường
thẳng, mặt phẳng).

20


2.4.2. Các loại không gian làm việc hình học
Khi GWS được tạo ra trong khuôn khổ thể chế nhà trường, việc giới thiệu
các cấp độ khác nhau của GWS là cần thiết để mô tả sự đa dạng tồn tại trong giáo
dục nhà trường. Kuzniak (2011, [16], [17]) đã phân chia GWS thành ba loại sau:
 GWS qui chiếu
◦

Cộng đồng (nhà toán học, nhà thiết kế chương trình…) nhất trí về một
mô thức hình học để dạy.

◦

Là GWS tương ứng với cấp độ chương trình (nghiên cứu ý định của
chương trình).

 GWS tương thích
◦

GWS qui chiếu phải được sắp xếp, tổ chức lại để trở thành một GWS
thích hợp, hiệu quả cho việc tổ chức dạy học hình học.

◦

Là GWS tương ứng ở cấp độ sách giáo khoa (nghiên cứu nội dung
sách giáo khoa).

 GWS cá nhân


Hình học I (cụ thể, hình họa)

Hình học II
(tựa tiên đề)

Hình học III
(tiên đề
chính thức)

Đối tượng

Vật lý

Lý thuyết

Kiểu hợp thức
(chứng minh)

Trực giác

Suy diễn

Cấp độ Van
Hiele

Level 1:

Level 2:


Từ bảng trên, có thể thấy rằng cấp độ suy luận diễn dịch trong hình học
thường gặp ở phổ thông nằm hoàn toàn trong mô thức Hình học II, trong khi đó
mức độ suy diễn không chính thống nằm ở phần tương giao giữa hai mô thức Hình
học I và II.
2.6. Câu hỏi nghiên cứu
Các phân tích trong chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho
nghiên cứu. Cơ sở lý thuyết trình bày ở trên định vị cách nhìn khoa học của chúng
tôi đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu
thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
 Câu hỏi 1: Học sinh THCS (lớp 9) gặp phải khó khăn như thế nào khi thực
hiện một công việc hình học? Nguyên nhân của các khó khăn đó là gì?

22