A. Lý thuyÕt
1. BÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè kh«ng ©m:
Cho a
1
, a
2
≥ 0 th×
21
21
aa
2
aa
≥
+
. (1)
Chøng minh. Ta cã
(1) ⇔
0aa2aa
2121
≥−+
⇔
( )
0aa
2
21
≥−
. (2)
Do (2) ®óng nªn (1) lu«n ®óng.
DÊu “ = ” cña (1) x¶y ra ⇔ a
1
= a

aaaa2aaaa
≥+
, (4)

(
)
4
3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 4 4a a a a a a a a a a a a a a a+ ≥ =
. (5)
Céng tõng vÕ cña (3), (4), (5), ta ®îc a
1
+ a
2
+ a
3

3
321
aaa3
≥
⇔
3
321
321
aaa
3
aaa
≥

3
a
1
+ a
2

21
aa2

,
(5)
a
3
+ a
4

43
aa2

, (6)
2
21
aa(
+
)aa
43

4
4321
aaaa4

n21
+++

n
n21
a...aa
. (*)
Dấu = của (*) xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
Chú ý: Trong sách giáo khoa Đại số 10 thì bất đẳng thức Cô-si đợc phát biểu cho
hai hoặc ba số dơng, nghĩa là nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si với nhiều hơn ba
số thì ta cần phải chứng minh. Bạn đọc đã biết nếu chỉ áp dụng bất đẳng thức Cô-si
cho hai hoặc ba số thì rất khó khai thác hết cái hay và các ứng dụng rộng của nó.
Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho trờng hợp hai hoặc ba số mà chứng minh đợc
tơng đối ngắn gọn thì ta trình bày cách đó, còn nếu không ta sẽ áp dụng luôn.
B.Bài tập
Ví dụ 1 . Cho tổng S = a +
3
a
1
( a > 0 ).
+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S
1
có tích không đổi:
S =

a
1
.
3
a
.
3
a
.
3
a
3
=
.
+) Ta sẽ biến đổi tổng S thành tổng S
2
có tích là
4
)a2(
1
:
4
S =
333
a2
1
a2
1
2
a

4
x cos
2
x .
+) Ta sÏ biÕn ®æi tÝch P thµnh tÝch P
1
cã tæng kh«ng ®æi :
P = sin
4
x. cos
2
x = 4
xcos.
2
xsin
.
2
xsin
2
22
.
TÝch P
1
=
xcos.
2
xsin
.
2
xsin

x
=
.
TÝch P
2
=
xcos2.
2
xsin
.
2
xsin
2
22
cã tæng

xcos1xcos2xsinxcos2
2
xsin
2
xsin
2222
22
+=+=++
.
C¸c BÊt §¼ng Thøc ®¹i sè
5

5

ab
4
25

.
Dấu = xảy ra
2
5
ba
5ba
ba
==



=+
=
.
2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:

3
b
2
a
2
a
3
b

2
b
27
500

.
Dấu = xảy ra







=
=






=+
=
3
5
b
3
10
a

2
a
2
a

++++

2 3
5
5 108
a b a b+
2 3
5
1
108
a b

a
2
b
3
108.
Dấu = xảy ra






; 2) abc
6
1086

.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, ta có:

3
32
32
cab
3
cba

++

3
32
cab
3
11

ab
2
c
3

27

3
11
b
3
11
a
11cba
cba
.
2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 11 số không âm,ta có:
7
2 2 2 3 3
6
...
6 6 3 3 3 2 2
11
a a b b b c c
+ + + + + + +
142 43

{
2 2 2 3 3
11
6
... . . . . .
6 6 3 3 3 2 2
lan
a a b b b c c
≥
⇔

=
⇔





=++
==
⇔
3
32
32
2c
3b
6a
11cba
2
c
3
b
6
a
.
Bµi 3. Chøng minh r»ng:
1) Víi a, b ∈
[ ]
0;1
th× (1 – a )(1 – b)( a + b )
27




++−+−
≤+−−

27
8
)ba)(b1)(a1(
≤+−−⇔
.
8
Dấu = xảy ra
3
1
ba
bab1
b1a1
==



+=
=

.
2) Vì
[ ]
2; 2a
,

Đặt p = ( 2 a)( 3 b)( 4 c )( 2a + 3b + 4c + 3).
Ta có 2 . 3 . 4p = (4 2a ) (9 3b ) (16 4c )( 2a + 3b + 4c + 3).
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm, ta có:
( 4 2a)( 9 3b)( 16 4c)( 2a + 3b + 4c + 3 )

4
4
3c4b3a2c416b39a24






++++++
.
24p 8
4
p
3
512

.
Dấu = xảy ra





+++=

2c
3
1
b
2a
.
9
Bài 4. Cho
x


0;
2


ữ

;
,p q
*
N

. Tìm GTLN của hàm số y =
sin cos
p p
x xì
( ĐHBK HN 1997 ).
Giải. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (p + q) số dơng, ta có:

2 2 2 2

q
2
p
2
qp
22
q
xcos
.
p
xsin
qp
xcosxsin


















q.p

+
+

qp
qp
qp
)qp(
q.p
xcos.xsin
+
+

.
Dấu = xảy ra
2 2
2
2 2 2
sin cos
cos
sin cos 1 sin
(0; )
(0; )
2
2
q
x x
x
p q







+
=
+
=
qp
p
xsin
qp
q
xcos
.
10
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y =
xcos.xsin
qp
bằng
qp
qp
)qp(
q.p
+
+
,
đạt đợc khi

27 3
x x
x
+ +
+

4

( ĐH An ninh 1997).
Giải
1) Vì
cos 1, sin 1x x
nên







xsinxsin
xcosxcos
2
2
.
Từ đó suy ra 4
2 2
cos sin
cos sin
2 4 2

+ ì ì

3
2
)xcosx.(sin2
xsinxcos
2
2
.324
22
22
+
+
= 3
324
xsinxcos
+
.
11
DÊu “=” x¶y ra ⇔







−=
=
=

2
cos cos
sin sin cos 0 ( )
2
cos 0
x x
x x x x k k
x
π
π

=


= ⇔ = ⇔ = + ∈


=


Z
.
2) Ta cã
2 2 2 2
2 2
2002 1 2002 1 2002 1 2002 1
3
1 1 1
27 3 3 3 3 3
3 3 3

− + + − +
+ ≥
⇔
4
x60061x2002x
x
3.4327
2
2
≥+
++−
≥ 4.
DÊu “=” x¶y ra ⇔
0x
0x
3.
3
1
3
1x2002x
x3
2
2
=⇔





=

+++
. (*)
( Tạp chí Toán học & tuổi trẻ ).
Giải. Xét vế trái (VT) của (*):
VT =
( )
1xyz
+
x
y
y
z
z
x
z
1
y
1
x
1
+++








++

++








+
.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si lần lợt cho hai số dơng, ta có:
z2
y
z
yz
+
; (1)
x2
z
x
zx
+
; (2)
y2
x
y
xy
+
; (3)

1
x
1
+++








++
6zyx
+++
.
Dễ thấy dấu = của (*) xảy ra
1zyx
===
.
Bài 7. Cho x
+
. Chứng minh rằng:
1)
++
1x3xx
345
0. (1)
2)
02x7x3xx

x x
x
ì ì
= 3.
Vậy (3) đúng nên (1) đúng.
Dấu = của (1) xảy ra
1x
x
1
x
xx
3
2
=





=
=

.
2) Nếu x = 0 thì (2) luôn đúng.
Nếu x > 0, chia cả hai vế của (2) cho x
4
, ta đợc:

7
x








=
==
=

4
2
23
x
1
x
1xxx
xx
.
Bài 8 . Chứng minh rằng:
1) Với a >1 thì

2
5
)1a)(1a(2
27
a
3