VII- Bất đẳng thức hoán vị các số vòng quanh
Bài 134. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1)
b
ca
a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a
333
++++
; 2)
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb
c
ba
3

a
bc
c
ab
ab
c
ca
b
bc
a
3
5
3
5
3
5
++++
.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:

)1(
c
ab
2
ca
b
bc
a
33

ab
ab
c
ca
b
bc
a
333
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
cba
ac
cb
ba
bc
a
ab
c
ab
c
ca
b
ca
b
bc
a
33
33
33

a
bc
c
ba
3
3
+
;
)2(
a
bc
2
b
ca
a
cb
3
3
+
;
)3(
b
ca
2
c
ab
b
ac
3
3

c
ba
b
ac
b
ac
a
cb
a
cb
c
ba
23
23
23
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
==



bc
c
ba
5
33
++
;
3 3
5
3 . (2)
b c ca ab bc
a b c a
+ +
3 3
5
3 . (3)
c a ab bc ca
b c a b
+ +
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc
b
ca
a
bc
c
ab
b
ac
a
cb

ca
a
bc
c
ba
5
33
5
33
5
33
==





=
=
=











c
a
++++
; 2)
3
2
3
2
3
2
111111
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
;
3)
3
2
3
2

11
7
11
7
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
++++
.
Giải
1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có:
6 6 3 2 2
4 4 2 3 3
2 2 2 ( 1 ). (1)
a c a c a a
abc do abc
c b b b b
+ = = =

)2(
a

+ = =
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

3
2
3
2
3
2
4
6
4
6
4
6
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức

523
523
523
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
===







=
=
=
=




11 3 9 3 3 6 3
2 2 2 ( 1). (1)
( )
a b a a a
do abc
b c b c abc b b
+ = = =
Tơng tự, ta có:

)2(
c
b
2
a
c
c
b
3
2
3
2
11
+
;
2 2
11 3 3
2 . (3)
c a c
a b a
+

bc
1abc
acb
cba
bac
1abc

b
a
a
c

a
c
c
b

c
b
b
a
1310
1310
1310
1211
1211
1211
1111
1111
1111







=
=
=
=

.
3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có:

8 2 2 5 6 2
3
3
12 3 3 10 9 3
3 3 3 ( 1). (1)
( )
a b c a a a
do abc
b c a b c abc b b
+ + = = =
Tơng tự, ta có:

)2(
c
b
3

12
8
12
8
12
8
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
. (đpcm).
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức
175

1cba
1abc
a
c
c
b
b

c
c
b
b
a
12
8
12
8
12
8
7
7
7
12
8
12
8
12
8
235
235
235
3
2
3
2
12
8
3











=
==
=
=
=












=
==
==

2
11
7
11
7
++
;
7 7 2 2
11 11 3 3
3 . (3)
c a c a
b c a b
+ +
Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc

3
2
3
2
3
2
11
7
11
7
11
7
a
c
c

a
b
c

c
b
b
c
a
b

b
a
a
b
c
a
11
7
11
7
11
7
1013
1013
1013
3
2
11
7

=












=
==
==
==

.
Nhận xét:
Với cách chứng minh nh trên, bạn đọc hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
Cho a, b, c > 0 x, y, z . Ta luôn có:
a)
z
yx
z
yx
z
yx
zyx

z
yx
z2y
y2xzx2
z2y
y2xzx2
z2y
y2xzx2
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
++++
+
++
+
++
+
++
;
c)
z

;
d)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
.
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
x y x y x y
z z z
a b b c c a
c a b
a b b c c a
c a b
+ + + + + + + + +
+ + + + + +
+ +
+ +

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
177