bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán
Bài toán xuất phát :
¾ 1. Chứng minh rằng với ba số thực tuỳ ý x, y, z ta luôn có :
222222
x
xy y x xz z y yz z+++ ++≥ ++
Khi tôi đọc sách tham khảo đều có lời giải như sau :
Trong mặt phẳng Oxy cho các véctơ
AB
J
JJG
và
A
C
J
JJG
lần lượt có các toạ độ sau đây :
2
2
33
;
22 2 2
yy
A
Bx y AB x y
⎛⎞ ⎛
⎛⎞
=+ ⇒ = + +
⎜⎟ ⎜
⎜⎟
⎜⎟ ⎜

2
2
33 33
;
222 2 22 2 2
yz yz
CB y z CB y z
⎛⎞ ⎛
⎛⎞
⇒=− + ⇒ = − + +
⎜⎟ ⎜
⎜⎟
⎜⎟ ⎜
⎝⎠
⎝⎠ ⎝
JJJGJJJG
⎞
⎟
⎟
⎠

Do đó :
22 22 2
;;
2
A
B x xy y AC x xz z CB y yz z=++ =++ =++
JJJG JJJG JJJG

Vì


Thiết nghĩ khi đi thi ĐH nếu cần những kiến thức mà mấy ổng ngoài đó không cho thì chứng minh
luôn hoặc cứ phết 1câu “ dễ dàng chứng minh…cái này” – Không phải ngày xưa Fermat cũng thế mà
nổi tiếng sao ?????
Bất đẳng thức Mincôpxki :
()()
22
22 2 2
,,,, (1a b c d a c b d abcd R++ + ≥ + ++ ∀ ∈ )
Chứng minh :
()
(
)
222 2
(1) a b c d ac bd⇔+ +≥+ (luôn đúng)

copyright by zero in maths.vn

bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán
Như vậy áp dụng BĐT (1) để chứng minh bài 1 như sau :
VT =
2
2
3

33
22 2 2
yz
yz
⎛⎞
⎛⎞
≥−+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=VP
Thực ra thì kiểu làm này cũng như kiểu véctơ thôi, nhưng nhìn đỡ sốc hơn. ( khôn học Đại dại học Hình
mà ….)

I. ỨNG DỤNG CHỨNG MINH BĐT VÀ BÀI TOÁN TÌM MAX, MIN .

Ví dụ : Cho a, b, c > 0 : ab+bc+ca =abc . Chứng minh rằng :
22 22 22
222
3
ba cb ac
ab bc ca
+++
++
≥ (2)
Lời giải : Áp dụng BĐT Mincôpxki :
2
2

. Đpcm
( vì : a, b, c > 0 : ab+bc+ca =abc
111
1
abc
⇔
++=
) II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH .

Ví dụ : Giải phương trình :
22
11xx xx 2
+
++ −+=

Lời giải :
Áp dụng BĐT Mincôpxki ta có :
22
22
22
13 13
11
22 22
xx xx x x
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞
+++−+= ++ +−++ ≥

Mx yBM x y=++ =−+−
JJJJG JJJJG
, Do đó :
() ()( )
22
2
313AM BM x y x y+=+++−+−≥
JJJJG JJJJG
2
5
. Vậy Min(AM+BM) = 5 khi …

… Chết nghĩ lại mới thấy mình dốt. Thôi dừng lại kẻo các thầy lại bảo mày dốt còn bày đặt viết lách.
Để một vài nơron thần kinh còn lại mà tiếp tục theo đuổi tình iu…!!!!!!!!!!!!!!

copyright by zero in maths.vn