I-Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn Các bài toán liên quan
Bài1 (DH KB 2009)Cho hm s y = 2x
4
4x
2
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2. Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh
2 2
x x 2 m =
cú ỳng 6 nghim thc phõn bit?
Bài2 (DH KD 2009)Cho hm s y = x
4
(3m + 2)x
2
+ 3m cú th l (C
m
), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho khi m = 0.
2. Tỡm m ng thng y = -1 ct th (C
m
) ti 4 im phõn bit u cú honh nh hn 2.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
A,y = x
4
-2x
2
+1 B, y= -1/2 x
4
-x
2

x
2
+1
Bài 7: ĐHNN 1999 1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=
1
4
x
4
-2x
2
-
9
4
2.Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của nó với trục ox.
Bài 8: ĐH Huế 2000
1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y= x
4
-5x
2
+4
2.Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị 3 đoạn thẳng bằng nhau.
3.Tìm m để y = m cắt đồ thị hàm số tại bốn điểm phân biệt,
Bài 9: ĐH Y TPHCM 1998 Cho hàm số y = x
4
-2(m+1) x
2
+2m+1
A,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = -2
B,Tìm m để đồ thị hàm số cắt ox tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Bài 10; ĐHNT 1994 Cho hàm số y = x

mx
2
+ m -1
1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=8.
2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt.
Bài 14 Đề tham khảo 2005
1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y= x
4
-6 x
2
+5
2.Tìm m để pt sau có 4 nghiệm x
4
-6 x
2
log
2
m =0
Bài 15. cho hàm số y= x
4
-2 m
2
x
2
+1
1,Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
2.Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 16 khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số
1,y =-x
4

2,Giải và biện luận theo m số nghiệm của pt x
3
-3 x + 2 =








+
m
m
1
2
2

Bài 3 : (Học viện quan hệ qt 2000)
1.Ks và vẽ đồ thị của hàm số (C) y = 4x
3
-3 x
2,Tìm số nghiệm của pt 4 x
3
-3x =
x
2
1
Bài 4 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau
1,y = 2x

2
= ?
Bài 5 : (ĐH Mỏ 1997 ) Cho C
m
:y = (m+2)x
3
+ 3 x
2
+ mx-5
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 2,Tìm m để hàm số có CĐ và CT
Bài 6: (HVCNBCVT-2001) Cho hàm số y=x
3
-3x (C)
A,khảo sát hàm số
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
2
b,CMR khi m thay đổi thì đờng thẳng y = m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị tại một điểm A cố
định.Hãy xác định m để đờng thẳng cắt (C) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và
C vuông góc với nhau.
Bài 7:(ĐHL-ĐHD-2001) Cho hàm số y= x
3
-3(a-1)x
2
+ 3a(a-1)x +1
A,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
B,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập sao cho
21

x
.

1
23
+
mxm
xx
(1) với m là tham số
Cho m =1/2
*hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến song song với (d):y=4x+2
Bài 11.ĐHCĐ-B-2003: Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+m
1,Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
2.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2
Bài 12>ĐHCĐ dự bị 2003 Cho hàm số y=(x-1)(x
2
+mx+m) với m là tham số
1,Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt
2,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 4
Bài 13>ĐHCĐ dự bị 2003
1,Khảo sát y = 2x
3
-3x
2
-1 (C)
2, Gọi d
k
là đờng thẳng đi qua M(0:1) và có hệ số góc bằng k.Tìm k để đờng thẳng cắt đồ thị

1
23
+=
xx
m
y
(*)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị với m= 2
2.Gọi điểm M thuộc đồ thị có hoành độ = -1,tim m sao cho tiếp tuyến tại M song song với đ-
ờng thẳng 5 x y = 0
Bài 17>CĐ SP Hà Nam A 2005 Cho hàm số
mxmy
xx
+=
23
(1 ) có đồ thị (C
m
)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
2.tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
3.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
3
Bài 18>CĐSP KT 2005 Cho hàm số y=x
3
+3x
2
+4 (1)
1,Khảo sát và vẽ đò thị hàm số
2.Chứng minh đồ thị hàm số luôn có tâm đối xứng

y
1,khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2,Giải và biện luận số giao điểm của (l) 2x-y +m=0 với (C).Khi chúng có hai giao điểm M và N.Hãy
tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Bài 2: Đại học an ninh 1997
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
12

+
=
x
x
y
2,Tìm M

(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 đờng tiệm cận là nhỏ nhất.
Bài 3:Đại học ngoại thơng tp.HCM 1997
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
1

+
=
x
x
y
2,Tìm M

(C) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất.

+
++
=
)1(
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m=1
2.Tìm M
( )
C

để tổng khoảng cách đến 2 đờng tiệm cận nhỏ nhất.
3.CMR
m

0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định.
Bài 6; [ĐHQG.TP.HCM1997]
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
4
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
12


=
x
x
y
2,Tìm M
( )
C


Bài 9 : Đại học cảnh sát 1997
1,Khảo sát,vẽ
2
23
+
+
=
x
x
y
2,Viết pt tiếp tuyến với hệ số góc =4.Tìm tiếp điểm.
Bài 10 Đại học quốc gia 1998.
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
1

+
=
x
x
y
2.Tìm trên oy các điểm kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị .
Bài 11: [CĐSP-TP.HCM 1998]1,Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
1
1

+
=
x
x

=






++++++
cos
1
sin
1
cot
2
1
cossin1
Bài 3:Đại học tài chính kế toán 1997
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
5
1,khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=
1
32
2

+
x
mx
x
với m=2
2,Biện luận số nghiệm của pt

x
Bài 5:HVKTQS 2000
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=
2
54
2
+
++
x
x
x
2,Tìm M
( )
C

để khoảng cách từ M đến
( )

:y+3x+6=0
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6 ĐHQG.HCM 1997
1,khảo sát và vẽ đồ thị y=
1
1
2
+
++
x
x
x

x
x
=

+
1
1
2
Bài 9:ĐHCĐ dự bị 2002
Cho hàm số y=
2
2
2

+
x
mx
x
(1) (m là tham số )
1,Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [-1;0]
2,Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1
3,Tìm a để pt sau có nghiệm
012)2(
39
22
1111
=+++
++
a
t

( )
12
34
2
2


=
x
x
y
x
2.Tìm m để pt 2x
2
-4x-3 +2m
1

x
=0 có2 nghiệm phân biệt
Bài 13.ĐHCĐ D 2004
1,Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
42
2

+
=
x
x
y

4
os os x-
4


+ + =
ữ ữ

(KD-05)
f) (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sin2x-sinx (KD-04)
g)
2 2
x x
sin tan x c 0
2 4 2
2
os


=
ữ

(KD-03)
Bi 2: Tỡm x thuc on
[ ]
0;14
nghim ỳng phng trỡnh: cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (KD-02)
Bi 3: Gii phng trỡnh
a) sinx+cosxsin2x+
( )

sin2x
(KB-03)
h)
2 2
sin 3x c 4x sin 5x c 6x
2 2
os os− = −
(KB-02)
Bài 4: Giải phương trình
a)
( )
( ) ( )
1 2s c
3
1 2s 1 sin
inx osx
inx x
−
=
+ −
(KA-09)
b)
1 1 7
4sin x
3
s 4
sin x
2
inx
π

(KA-06)
e)
c 3xc x 0
3 2
os os2x-cos =
(KA-05)
f)
2
1
c sin x sin 2x
2
cos2x
otx-1=
1+tanx
+ −
(KA-03)
Bài 5: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của phương trình:
5 s c
1 2sin 2x
cos3x+sin3x
inx+ os2x+3
 
=
 ÷
+
 

(KA-02)

Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
8
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y =
x +1
a x x x x x
x d
− − + + + −
− +
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
− + + − +
− +
+
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.

nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x
+
=
+
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c. Hàm số
2
8y x x= − + +
nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x= + + +
đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số

Ví dụ 10
Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )+∞
c. Tìm m để hàm số giảm trên
( ;1)−∞
Ví dụ 11
Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + +
. Tìm m để hàm số:
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
9
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng
(2; )+∞
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a= − − − + + − −
đồng biến trên
[2:+ )∞
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT


 
b. Chứng minh rằng
2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x
π
+ > ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
( ) t anx - xf x =
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 
b. Chứng minh
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
π
> + ∀ ∈
Ví dụ 3
Cho hàm số
4

x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
10
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị B4: Dựa vào dấu của f ” (x
i
) suy ra cực trị
( f ”(x
i
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x
i
; ( f ”(x
i
) < 0 thì
hàm số có cực đại tại x
i
)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
Qui tắc I.
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36

∞
-
∞
y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và y
cđ
=71
x= 2 là điểm cực tiểu và y
ct
= - 54
Qui tắc II
TXĐ: R
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x

3.(2) 6 .2 1 0 1m m m + = =
Vi m = 1 ta c hm s: y = x
3
3x
2
+ 2 cú :
2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
=

= =

=

ti x = 2 hm s t giỏ tr cc
tiu
Vy m = 1 l giỏ tr cn tỡm
Bi 1. Xỏc nh m hm s
3 2
3 5 2 đạt cực đại tại x = 2y mx x x= + + +
Bi 2. Tỡm m hm s
3 2
2
( ) 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số có CĐ hay CT
3

'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
=
+
+ Nu
0 thì f'(x) > 0 với x -1. Do đó hàm số luôn đồng biến . Hàm số không có cực trị.q
+ Nu q > 0 thỡ:
2
2
1
2 1
'( ) 0
( 1)
1
x q
x x q
f x
x
x q

=
+ +
= =

+

= +

P x P x
y x
Q x Q x
= =
Vớ d . Xỏc nh m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu
2
3 2
1 x 2 4
. y = ( 6) 1 . y =
3 2
mx m
a x mx m x b
x
+
+ + +
+
Hng dn.
a. TX: R

2
' 2 6y x mx m= + + +
.
hm s cú cc tr thỡ phng trỡnh:
2
2 6 0 có 2 nghiệm phân biệtx mx m+ + + =
2
3
' 6 0
2
m

m m
+ + + + + +
= =
+ +
= + + + =
> >

<

+ +

Bi 1. Tỡm m hm s
3 2
3 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?y x mx= +
Bi 2. Tỡm m hm sụ
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ + +
=

luụn cú cc i v cc tiu.
Bi 3. Cho hm s
3 2
2 ã 12 13y x x= +
. Tỡm a hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tiu ca th
cỏch u trc tung.
Bi 4. Hm s
3 2

Vớ d .
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
13
Bi1. Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
+
+
3
f. y = - x - 5x
Bi 2. Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau:
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y =
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x


y = 2sinx + cos2x với x [0; ]
Bi 5. Xỏc nh m hm s
3 2
3 5 2 đạt cực đại tại x = 2y mx x x= + + +
Bi 6. Tỡm m hm s
3 2
2
( ) 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số có CĐ hay CT
3
y x mx m x= + +
Bi 7. Tỡm m hm s
2
1
đạt cực đại tại x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bi 8. Tỡm m hm s
3 2 2
2 2 đạt cực tiểu tại x = 1y x mx m x= +
Bi 9. Tỡm cỏc h s a, b, c sao cho hm s:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
t cc tiu ti im x = 1, f(1) = -3 v th
ct trc tung ti im cú tung bng 2
Bi 10. Tỡm cỏc s thc q, p sao cho hm s

y x m x mx= + +
. Tỡm m hm s cú cc i cc tiu.
Bi 15. Cho hm
2
1
x mx
y
x
+
=

. Tỡm m hm s cú cc tr
Bi 16. Cho hm s
2
2 4
2
x mx m
y
x
+
=
+
. Xỏc nh m hm s cú cc i v cc tiu.
GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S
DNG 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s
tỡm GTLN, GTNN ca hm s y = f(x) trờn
( )
;a b
:
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy

f a f x f x f x f b
}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
y x
x
= +
trên khoảng
(0; )+∞
Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên
(0; )+∞
2
2
2 2
1 1
' 1 ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ±
.
Dễ thấy
1 (0; )x = − ∉ +∞
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2

= −

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

= −

− −
− = − = − − = = −
= −
−
=
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
3 2 3
4 2 3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x x
x x x
+ − + + −
− + + − −
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
2
x 1
. f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )
x + 2 x- 1
c. f(x) = x 1 - x d. f(x)
a ∞
1 3
= trªn kho¶ng ( ; )
cosx 2 2

b
x
0
a
x
+
∞
+
∞
0
2
+
-
y
y'
+
∞
1
0
x
• x = x
0
là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:
0 0 0 0
lim , lim , lim , lim
x x x x x x x x
+ − + −
→ → → →
= +∞ = +∞ = −∞ = −∞
• Đường thẳng y = ax + b (

→∞
=
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
2
2
2x- 1 x 7 x + 2
. y = b. y = c. y =
x + 2 3 x 1
x
a
x
− −
− −
Hướng dẫn
a. Ta thấy
2 2
2 1 2 1
lim ; lim
2 2
x x
x x
x x
− +
→− →−
− −
= −∞ = +∞
+ +
nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì

→
− −
= −∞
−
. Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
1
2
3
y x
x
= + −
−
. Ta thấy
1
lim[y - (x + 2)]= lim 0
3
x x
x
→∞ →∞
−
=
−
Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.
c. Ta thấy
2
1
2
lim .
1

lim 0
1
1
1
x
x
x x
x
x
→+∞
+
+
= =
−
−
. Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ
2
ax ( 0)y bx c a= + + >
Phương pháp
Ta phân tích
2
ax ( )
2
b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +
Với

có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè:
2
9 18 20y x x= − +
Híng dÉn
2
9( 2) 6y x= − +
Chuyªn ®Ò líp 12 GV NguyÔn V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
17
Các tính giới hạn vô cực của hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=
lim ( )
0
f x
x x
lim ( )
0
g x
x x
Dấu của g(x)
( )
lim
( )
0

2 2 2 2
2
x 12 27 x 2 x 3 2- x
. y = b. y = c. y = d. y =
4 5 ( 1) 4 x 4 3
1 x 2
. y = 2x -1 + f. y =
x 3
x x x
a
x x x x x
x
e
x
+ +
+ +
+

3 2
2 2
1 2x
g. y = x- 3 + h. y =
2(x- 1) 1
x
x

+
Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2

có đúng 2 tiệm cận đứng.
Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số:
2 2
3x 1 -3x 4
. y = b. y =
1 2
x x
a
x x
+ + +
+
Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2( 1) 4 3
2
x m x m
y
x
+ +
=

tạo với hai trục toạ độ
một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
Bài 7. Cho hàm số:
2
(3 2) 3 3
1
x x m m
y
x

2. Xét sự biến thiên của hàm số
a. Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn tại vô cực (nếu có). Tìm các đờng tiệm cận.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:
+ Tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị.
+ Điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Vẽ đờng tiệm cận nếu có.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (không cần chứng minh)
Ví dụ 1. Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tuỳ theo giá trị của m, biện luận số nghiệm của phơng trình:
3 2
3 1x x m + =
Hớng dẫn
a.
1. TXĐ:
D
=
Ă
2. Sự biến thiên của hàm số
a. Giới hạn tại vô cực
3 3
2 3
3 3
2 3
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )

CĐ
=y(2)= 3
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =0 và y
CT
= y(1) = -1
3. Đồ thị
+ Giao với Oy: cho x = 0
0y =
. Vởy giao với Oy tại điểm O(0; -1)
+
'' 0 6 6 0 1y x x= + = =
. Điểm A (1; 1)
+ Nhận điểm A làm tâm đối xứng.
b.
Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của 2 đồ thị
3 2
3 1y x x= + và y =m
Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận:
m > 3: Phơng trình có 1 nghiệm.

3 phương trình có 2 nghiệm
-1< m < 3: Phương trình có 3 nghiệm.
m = -1: Phương trình có 2 nghiệm
m < -1: Phương trình có 1nghiệm
m =
Các bài toán về hàm bậc ba
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
19
3
-

3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.
Bi 3 (TNTHPT - 2007)
Cho hm s y=
3
3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
Bi 4 (TNTHPT - 2006)
Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
Bi 5 (TNTHPT 2004- PB)
Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
Bài 9 (ĐH-B- 2007)
Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị cách đều điểm O.
Bài 10 (ĐH - D - 2004)
Cho hàm số y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2
b. Tìm m để nghiệm của phơng trình y= 0 thuộc đờng thẳng y = x+ 1
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
20
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 3
Cho hàm số
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =2
b. Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu.
Bài 5 (ĐH 2006- D)

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1
b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Chuyên đề lớp 12 GV Nguyễn Văn Phu Trờng THPT Minh Châu _Hy
21
Hàm bậc bốn trùng phơng và một số bài tập có liên quan
I. Một số tính chất của hàm trùng phơng
Hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho
0a
Hàm số đạt giá trị cực đại, cực tiểu
2
' 0 2 (2 ) 0y x ax b = + =
có ba nghiệm phân biệt
0
2
b
a
<
Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng.
Nếu hàm số có ba cực trị trị chúng tạo thành một tam giác cân.
Dạng toán: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Ví dụ 1 (TNTHPT-2008)
Cho hàm số
4 2
2y x x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 3 2
4 3( 1) 1y x mx m x= + + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m =0

2 1 0x x m + =
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số
4 2
m
2 (C )y x mx= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Hãy xác định m để hàm số đồ thị hàm số có 3 cực trị
Bài 5. (ĐH Vinh - 2002)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
5 4y x x= +
2. Xác định m để phơng trình
4 2 2
5 3 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6
Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số
2
2y k x=
Bài 7

)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Ta có :
Họ đường cong
)(
m
C
đi qua điểm
);(
000
yxM

⇔

),(
00
mxfy
=
(1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M
0
Cụ thể:

) đi qua. Khi đó phương trình:

),(
00
mxfy
=
nghiệm đúng
∀
m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0
=+
BAm

m
∀
Dạng 2:
0
2
=++
CBmAm

m
∀
Áp dụng đònh lý:
0
=+
BAm


(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx
Bµi tËp
Bµi 1. Cho hä (C
m
)
3 2 2
3( 1) 2( 4 1) 4 ( 1)y x m x m m x m m= − + + + + − + . CMR: Khi m thay ®ỉi th× hä ®êng cong lu«n
qua mét ®iĨm cè ®Þnh.
Chuyªn ®Ị líp 12 GV Ngun V¨n Phu Trêng THPT Minh Ch©u _Hy
24
Bài 2. Cho họ đồ thị (C
m
):
1mx
x m
+
=
+
. Tìm các điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi 1m
Bài 3. Cho họ (C
m
) có phơng trình:
2
1
1
x mx m

, họ đờng cong luôn qua 2 điểm cố định.
b. Gọi M là giao điểm của 2 tiệm cận. Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.
Bài 6. Cho hàm số:
3 2
m
( 2) 2( 2) ( 3) 2 1 (C )y m x m x m x m= + + + + +
. Chứng minh rằng họ đồ thị luôn qua ba
điểm cố định và 3 điểm cố định đó cùng nằm trên một đờng thẳng.
Dạng 2: Tìm điểm họ đồ thị hàm số không đi qua
Phơng pháp:
B1: Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
B2: Khi có phơng trình:
),(
00
mxfy
=
vô nghiệm với m từ đó tìm đợc (x
0
; y
0
)
B3: Kết luận về điểm mà họ đờng cong không thể đi qua.
Bài 1. Cho hàm số
2 2
m
( 2)( 2 1) (C )y x x mx m= +