SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG TRỊ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2008 – 2009
Môn : Toán
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
− + +
= − −
− + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .
Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức :
2 2
1 2
2 1

x x
+ −
+ =
+ + − −
.
a) Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
b) Giải phương trình .
Bài 5 (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và
AB BD⊥
. Hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và
đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB
a) Chứng minh
FDG
∆
đồng dạng với
ECG
∆
.
b) Chứng minh
EGF F
⊥
.
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2008-2009
Giải

=
3 2
2 9 9 2 4 2
=
3 2
1 2
2 1
=
3
3 2 3 2
x x x
A
x x x x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x x x
− + +
= − −
− + − −
− + +
− +
− −

Phương trình : x
2
+ 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

, 2 2
4 0 4(*)k k⇔ ∆ = − > ⇔ >
.
Khi đó ta có :
1 2
1 2
2
4
x x k
x x
+ = −


=

Vậy :
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2
1 2 1 2

+ −
     
+
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

− ≤ −
 
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔

 ÷
− ≥
 



≤ −
⇔

≥ +


Kết hợp (*) và (**) ta có :
2
2

< −
và
2x
>
.
Bài 3 (3 điểm)
Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
1 1
M
x y
= +
.
Ta có : x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) +4(x + y) + 4 = 0

2 4
ì
x y y
+ + + + + +
 
+ − + + + + >
 
 
Nên (*)
⇔
x + y + 2 = 0
⇔
x + y = - 2
1 1 2
Ta c :
x y
ó M
x y xy xy
+ −
= + = =
vì
( )
2
1 2
4 4 4 1 2x y xy xy
xy xy
−
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ −
.
Vậy MaxM = -2

+ + − −
+ −
⇔ + =
+ + − −
Đặt
4 2 x+
= a ;
4 2 x−
= b ( a ; b
≥
0) .
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
8
Ta c :
2
2 2
8

2 8 4 2
8
4 2 4 0


⇔

− + − + =



+ =

⇔

− − + =


Vì ab + 4 > 0 nên :
( )
( )
2
2
2
2 8
2
2
2
2
2

1 3
2
2

⇔ ⇔
 
− =
− =





=


=

=
  
⇔ ⇔ ⇔
  

= +
  
− =
− − =





= − <


⊥
.
ABCD : AB // CD ; CD > AB ;
AB BD⊥
.
AB BD⊥
; AG = CE ; BG = DF .
Chứng minh :
a)
FDG
∆
~
ECG
∆
.
b)
EGF F⊥
Chứng minh :
a) Ta có AB // CD
BG GD
AG GC
⇒ =
, mà AG = CE ; BG = DF
DF GD
CE GC
⇒ =
Xét
FDG
∆
và

GFCE nội tiếp
⇒

·
·
GCE GFE=
cùng chắn
»
GE

mà
·
·
0 0
90 90GCE GFE GF FE= ⇒ = ⇒ ⊥
\\
//
X
X
F
E
D
C
G
B
A