Chuyên đề bồi d ỡng HSG toán 9 :
Phơng pháp đại số trong giải bài tập hình học
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng Hà - Thái Bình
A.Các ví dụ hình thành ph ơng pháp :
Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông có chu vi bằng 72 cm ; Hiệu giữa trung tuyến và đờng cao tơng
ứng với cạnh huyền bằng 7 cm. Tính diện tích tam giác .
Giải :
Đặt AM = x ( cm ) , x > 7 BC = 2x và AH = x 7 .
Ta có S
ABC
= x( x 7) . áp dụng định lí Pitago ta có : AB
2
+ AC
2
= 4x
2
Hay ( AB + AC )
2
2.AB.AC = 4x
2
(1)
Ta có : AB + AC = 72 2x ; 2.AB.AC = 4S
ABC
= 4x(x 7) ,thay vào
(1) ta đợc phơng trình : ( 72 2x)
2
4x( x 7) = 4x
2

x

( a x)
2

b
2
x
2
= c
2
a
2
+ 2ax x
2

2 2 2
2
a b c
x
a
+
=
.
Thay x vào tính h ta đợc h
2
= b
2

2
2 2 2
2

= ì
ữ ữ

h
2
= [( c + a b)( c a + b)( c + a + b)( a + b c) ] : 4a
2
, thay a + b + c = 2P vào ta có :
x
H
M
B
A
C
c
b
a
a - x
x
h
H
A
B
C
h
2
= [( 2P 2b)(2P 2a)(2P 2c).2P ] : 4a
2
= [16P( P a)( P b)( P c) ] : 4a
2

V
ABC , ta có :
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
5 2 3
4 4
5 15
4 15
x xy y
x y x y
x
x x


+ =
+ + =



=

+ =



Ta tính đợc

x
2
3ax + a
2
= 0 , = 5a
2
> 0 ph-
ơng trình có hai nghiệm là :
1 2
3 5 3 5
;
2 2
a a a a
x x
+
= =
, vì x < a nên chỉ chọn x
1
.
Khi đó :
2
2
3 5 7 3 5
2 2
MNHIK
ABCDE
S
x a a
S a a


E
D
C
A
O
B
1)Đặt GN = x BG = 2x ; GM = y AG =
2y Xét
V
AGN : 4y
2
+ x
2
= b
2
/ 4 ( Pitago)
Xét
V
BGM : 4x
2
+ y
2
= a
2
/ 4 ( Pitago )
5x
2
+ 5y
2
= ( a

2
+ b
2
) / 20. từ đó c
2
=
( a
2
+ b
2
) / 5 . Từ đó khai phơng ta đợc
2 2
5
a b
c
+
=
1) Điều kiện tồn tại của loại tam giác này là
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 5( ) 10 5 4( ) 10 0
2 5( ) 2 5 4( ) 10 0
a b c
a b ab c a b ab c a b ab
a b c
a b ab c a b ab c a b ab
+ >


+ + > + + > + + >

ì + <
ữ

. Đặt a / b = k ta có bất phơng trình
2k
2
5k + 2 < 0
2
2
5 25 9 5 9 5 3
2 2 0
4 16 16 4 16 4 4
k
k k k

ì + < < <
ữ ữ


3 5 3 5 1
2
4 4 4 4 2
k k
+ < < + < <
từ đó ta có kết quả của bài tập.
Ví dụ 6 : Tính các góc B và C của ABC vuông tại A biết tỷ số giữa bán kính của đờng tròn
ngoại tiếp và bán kính đờng tròn nội tiếp của tam giác này bằng
3 1
+
Giải tóm tắt :

y
a
=
, Ta có hệ phơng trình :
2 2 2
3 1
1 ( ) 2 1
2
3 1 3 1
3
2 2
4
x y x y xy
x y
x y x y
xy

+

+ = + =
+ =




+ +
+ = + =

=


C
A
F
I
D
E
Giải phơng trình này ta đợc các nghiệm là
1 2
1 3
;
2 2
X X= =
suy ra hệ trên có hai nghiệm , và từ
đó tính đợc
à
à
0 0
30 ; 60B C
= =
hoặc
à
à
0 0
60 ; 30B C
= =
.
Ví dụ 7 : Cho ABC và một hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên hai cạnh AB , AC và hai đỉnh
còn lại nằm trên đáy BC . Trong tất cả những hình chữ nhật nh vậy , hãy tìm hình chữ nhất có
diện tích lớn nhất .
Giải tóm tắt :

2
2 2 2
2
2
4 4 2 4 2 4
MNPQ
a h h xh a h h ah
S x x
h h
= + ì =

ữ
ữ

. Dấu bằng xảy ra khi x = h/2
Vậy MaxS
MNPQ
= ah/4 khi MN là đờng trung bình của ABC .
Ví dụ 8 : Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C sao cho AB = 14 cm , BC = 28 cm . Vẽ trên
cùng nửa mặt phẳng bờ AC các nửa đờng tròn tâm I , K , O có đờng kính thứ tự là AB , BC , AC .
Tính bán kính đờng tròn tâm M Tiếp xúc ngoài với các nửa đờng tròn (I) ; (K) và tiếp xúc trong
với nửa đờng tròn (O).
Giải tóm tắt:
....

=

y
x
28
14
H KI OA C
M
B
S
h
y
x
Q P
N
H
A
B C
M
( 21 x )
2
[ 21 ( 7 + y)]
2
= ( 14 + x)
2
( 21 y)
2
( 14 + x)
2
( 21 y)


và DK = x + 1 . Khi đó
S
DBC
= DK.BK = (x + 1)
2
36 x

với x < 6
Đặt S
DBC
= S
1
thì :
S
1
2
= ( x
2
+ 2x + 1)( 36 x
2
) . Ta chứng minh
( x
2
+ 2x + 1)( 36 x
2
) 500 với mọi x < 6 là bài toán xong . Thật vậy :
( x
2
+ 2x + 1)( 36 x

( x 4)( x
3
4x
2
+ 10x
2
40x + 29x 116) 0
( x 4)[x
2
( x 4) + 10x( x 4) + 29( x 4)] 0
( x 4)
2
( x
2
10x + 25 + 4 ) 0
( x 4)
2
[ ( x 5)
2
+ 4 ] 0 đúng
Vậy S S
1
500 đúng đpcm.
2) Từ câu 1 , dấu bằng xảy ra khi AD = AM = AH = 1 và MK = IH = 4 A trùng D
hay ABC cân tại A và M nằm trên đờng cao AH sao cho MA = 1 ; MH = 4 AH
= 5 , MB = MC = 6 . Khi đó BK = BH =
36 16 20 2 5
= =
.
S