DẠY HỌC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN
Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà
Khoa Tự nhiên trường CĐSP Hà Nam
Bất đẳng thức là một chuyên đề rất lí thú đối với các em học sinh khá
giỏi. Nhưng, trong thực tế học tập, phần lớn các em học sinh thường
tỏ ra lúng túng khi áp dụng các bất đẳng thức đã học vào các bài toán
cụ thể. Bất đẳng thức Cô si đã được các em học sinh làm quen từ
chương trình THCS song hầu hết các em chưa khai thác tốt vai trò của
BĐT này trong quá trình giải toán.Bài viết này của tôi với mong muốn
giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi có cái nhìn
sâu sắc hơn nữa về BĐT Cô si. Đồng thời giúp các em rèn luyện kĩ
năng sử dụng thành thạo BĐT Cô si trong quá trình giải toán chứng
minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Trong khuôn khổ bài viết, tôi chỉ
nêu một phương pháp sử dụng BĐT Cô si, đó là phương pháp “Cân
bằng đều”.
Trước hết, ta nhắc lại BĐT Cô si:
BĐT Cô si với 2 số: cho a,b
≥
0 :
ab
ba
≥
+
2
BĐT Cô si với 3 số: a,b,c
0
≥
:
abc
cba

...
21
Phương pháp chứng minh sử dụng bất đẳng thức Cô si:
Bước 1: Dự đoán khi nào bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Bước 2: Với dự đoán trên sử dụng kĩ thuật cân bằng đều ghép các
hạng tử của bài toán với các hạng tử thích hợp.
Bước 3: Áp dụng BĐT Cô si.
Bài toán 1: Cho
4
≥
a
, chứng minh rằng:
4
171
≥+
a
a
B1: Dự đoán:
4
4
171
=⇔=+
a
a
a
.
Khi
4
11
4

=
4
1
a
a
a
α

16
1
=⇒
α
Lời giải:
Ta có:
16
151
16
11 a
a
a
a
a
++=+
Theo BĐT Cô si:
2
1
.16
1.
2
1

. Dấu = xảy ra khi
4
=
a
.
Nhận xét: Từ bài toán trên, ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn với
cách làm tương tự như sau: cho
na
≥
(
1
≥
n
).Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
a
a
1
+=Α
hoặc
a
a
β
α
1
+=Β
với
βα
,
là các số thực dương.

cbacba
Theo BĐT Cô si:
a
a
311
3
≥++

b
b
311
3
≥++

c
c
311
3
≥++
suy ra
( )
363
333
=−++≥++=Α
cba
cba
(1)
Đẳng thức xảy ra khi
1=== cba
.

ααα
ββ
αα
2
46464
3
3333
33
3333333
−−+++






+++++=++=Β
cbacba
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số hạng trong ngoặc, ta có:
cba
333
64
++=Β

β
αα
β
α
2
43

3
4
2
=+⇒
β
α
Hơn nữa, để biểu diễn vế phải của (*) theo
cba ++
thì các hệ số
α
β
α
3
4
3
2
2
2
,3,
×
phải bằng nhau, do đó ta có:





=+
×=
3
4






+++








+++








++=++
17
24
17
24
17
12

3
24
×−×−
Theo BĐT Cô si:
17
24
17
24
3
3
3
3
3
++
a

≥

a
××
17
24
2
2
3

(2)
17
12
17

c

≥

c
××
17
24
2
2
3

(4)
⇒

cba
333
64
++

≥

( )
17
12
17
12
17
24
2

64
++=Β

17
12
2
3
=
.
Bài toán3: Trước hết, ta cũng có ví dụ đơn giản sau:
1) Cho
0,,
≥
cba
và
3
=++
cba
.Tìm GTLN
( )
.
333
bcacab
++
Phân tích:Việc có mặt căn bậc 3 mà chỉ có 2 thừa số trong căn làm ta
nghĩ đến sự xuất hiện của số 1 và biến đổi hợp lí để xuất hiện giả
thiết:
Lời giải:
Theo Cô si:
1..

3
1
++
cb
⇒

333
bcacab ++

≤

( )
3
3
32
=
+++
cba
Đẳng thức xảy ra khi
1
===
cba
.
Vậy GTLN
( )
3
333
=++
bcacab
.

++
2

≤

( )








++++






+
β
β
α
α
c
bca
b
a

2
2
1
β
β
α
α
Đẳng thức xảy ra khi










=++
=
=
=
3cba
c
b
ca
b
a
β
β

βα
,
thoả mãn thêm điều kiện:
2
11
2 +=+=+
β
β
α
α